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Édition du: 23/04/2022

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Brèves de Maths

 

INDEX

 

Polygones

Géométrie

Aire des polygones

Formulaire

Polygones réguliers

Théorème de Pick

Formule de Héron

Quadrilatère

Formule du laçage

Faites un double-clic pour un retour en haut de page

 

 

Aire du polygone

avec la formule du laçage

 

Méthode ou algorithme qui permet de calculer l'aire d'un polygone quelconque (concave, convexe) en connaissant les coordonnées des sommets. La méthode peut être adaptée pour les polygones croisés.

La formule fut établie en 1769 par Albreicht Meister (1724-1788) sur des indications de Gauss et Jacobi.

Contrairement à la formule de Pick, elle s'applique aussi à des coordonnées irrationnelles comme celles des polygones réguliers.

Source Image wikipedia

 

 

Sommaire de cette page

>>> Approche avec un triangle rectangle

>>> Cas d'un quadrilatère

>>> Cas d'une forme polygonale

>>> Cas des polygones réguliers

Débutants

Périmètre et aire

 

Glossaire

Aire

Anglais: Shoelace formula or algorithm

 

Mots clés

Aire

Coordonnées

Formule De Pick

Matrice

Parallélogramme

Polygone

Quadrilatère

Rectangle

Repère

Sens

Triangle équilatéral

Triangle rectangle

Voir Lexique

 

 

Approche avec un triangle rectangle

haut

 

Un triangle rectangle

Dans un repère orthonormé.

On note les coordonnées des sommets en parcourant le triangle dans le sens direct:

Produits en croix xy  et yx: le premier facteur sur la ligne de calcul et le second sur la suivante; en bouclant pour la dernière ligne.

Différence entre xy et yx.

Somme de ces différences.

 

Tableau de calculs

M

x

y

xy

yx

Δ

A

0

0

0×0 = 0

0×5 = 0

0

B

5

0

5×3 = 15

0×0 = 0

15

C

0

3

0×0 = 0

3×0 = 0

0

Σ

 

15

0

15

 

L'aire du triangle rectangle est égale à la moitié de cette somme: 15 / 2 = 7,5.
Ce que l'on savait évidemment.

 

 

Figure

 

 

Formule de l'aire du triangle

A = (xA·yB – yA·xB)
+ (xB·yC – yB·xC)  
+ (xC·yA – yC·xA)  

Voir Brève 876

 

Cas d'un quadrilatère

haut

 

Un quadrilatère quelconque

On reprend la procédure vue précédemment.

 

Tableau de calculs

M

x

y

xy

yx

Δ

A

1

1

1×2 = 2

1×6 = 6

–4

B

6

2

6×6 = 36

2×8 = 16

20

C

8

6

8×6 = 48

6×2 = 12

36

D

2

6

2×1 = 2

6×1 = 6

–4

Σ

 

88

40

48

 

L'aire du quadrilatère est égale à 48/2 = 24

 

 

Figure

 

 

Pourquoi les lacets ?

 

Le fait de prendre les produits croisés fait penser à un procédé de laçage des chaussures (shoelace en anglais).

 

 

Calcul classique de l'aire du quadrilatère

 

 

A = aire du rectangle enveloppe – (somme des triangles et rectangles en trop autour du quadrilatère)

A = 7×5 – (½  5×1 + 2 +  ½ 2×4 + ½ 1×5)
 =  35 – 11  = 24

  

 

Écriture matricielle

Matrice ? En fait, mise sous forme d'une suite de tableaux 2 x 2

 

 

 

 

 

Cas d'une forme polygonale

haut

 

Un polygone quelconque

On reprend le calcul matriciel.

 

     

      

 


 

Figure

 

 

 

Calcul classique de
l'aire du quadrilatère

 

A = 8×5 – (2 + 4 + 1 + 1,5 + 6 + 4,5 + 2,5)

A = 40 – 21,5 = 18,5

 

 

 

Cas des polygones réguliers

haut

 

 

Théorème

Sauf pour le carré, pour tout polygone régulier, y compris le triangle équilatéral, les coordonnées d'au moins un sommet sont irrationnelles.

 

Conséquence: sauf pour le carré, la formule de Pick est inapplicable.

      

 

Démonstration

La formule de l'aire par la méthode du laçage montre que:
Si on suppose que les coordonnées des sommets sont rationnelles, alors l'aire doit être rationnelle.

L'aire d'un polygone régulier est aussi donnée par cette formule:

Or, la cotangente est irrationnelle pour tout n, sauf 4.

Cette contradiction prouve le théorème.

 

 

 

Bilan

Que le polygone soit concave ou convexe, la méthode du calcul de l'aire par laçage s'applique.

Elle repose sur le fait que l'aire d'un triangle de coordonnées (0, 0; a, b; c, d) est égal à la moitié du produit croisé ad – bc.

Voir Aire du parallélogramme avec coordonnées

 

 La méthode peut être étendue aux polygones croisés, comme aux lignes polygonales courbes. La vidéo en référence vous montre tout cela

 

 

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*      Régions et intersections dans les polygones

*      Groupe de symétrie des polygones réguliers

Sites

*      Shoelace formula – Wikipedia

*      Gauss's magic shoelace area formula and its calculus companion – Mathologer – VIDEO – En anglais, mais les animations sont parlantes

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Polygone/Lacet.htm