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ORIENTATION GÉNÉRALE    -   M'écrire   -   Édition du: 12/11/2014

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Triangle

TRIANGLE   TRIANGLES

Glossaire Triangle

 

Droites du triangle

 

Droites et points

Droite d'Euler

Droite de Simson

Th. de Desargues

 

Sommaire de cette page
>>> Droite de Wallace-Simson

>>> Démonstration

>>> Historique

 

 


 

 

DROITE de WALLACE-SIMSON

*           Un point M sur le cercle circonscrit à un triangle quelconque.

*           Les perpendiculaires aux trois côtés; leurs pieds sont alignés sur la droite de Simson.

 

Réciproquement

*           Les pieds des perpendiculaires abaissées d'un point sur les côtés d'un triangle sont alignés si, et seulement si, ce point appartient au cercle circonscrit au triangle.

*           Lorsque le point M se déplace sur le cercle, la droite de Simson enveloppe un deltoïde de Steiner. Cette enveloppe est indépendante de la forme du triangle initial, à une similitude près.

*           Deltoïde: courbe décrite par un point d'un cercle roulant sans glisser à l'intérieur d'un cercle triple.

Généralisation

*           Le théorème reste valable si on remplace l'angle droit des pieds des perpendiculaires par un angle quelconque par rapport à chacun des côtés.

 

 

 

Démonstration

 

Hypothèses

Un triangle ABC et son cercle circonscrit; un point M sur ce cercle.

Les trois perpendiculaires en M aux côtés du triangle: P, Q et R.

La droite PR coupe AB en O.

 

Ce qu'il faut démontrer

Les points Q et O sont confondus

 

Théorèmes invoqués

Dans un cercle, les angles inscrits interceptant un même arc sont égaux.

Deux triangles rectangles ayant leur hypoténuse en commun forment un quadrilatère inscriptible. l'hypoténuse est un diamètre du cercle.

 

Démonstration

Quadrilatère BPMR, avec deux angles droits est inscrit dans un cercle:

PBM = PRM

ABM = ORM

Quadrilatère MRCQ, avec deux angles droits est inscrit dans un cercle:

QRM = ACM

Quadrilatère ABCM, par hypothèse:

ABM = ACM

En rapprochant ces égalités:

ORM = QRM

Avec le même angle, sachant que Q comme O sont sur AC, les points O et Q sont confondus.

Les points P, Q et R sont alignés.

  

 

Historique

 

Robert Simson (1687-1768) – Mathématicien anglais.

 

Le théorème a été attribué à Simson. Aucune trace évidente de son travail sur ce sujet.

On connaît Simson pour être le premier à avoir traduit les Éléments d'Euclide en anglais. Il a étudié la suite de Fibonacci et son rapport au nombre d'or: Fn+1 / Fn tend vers le nombre d'or.

 

William Wallace        (1768-1843) – Mathématicien écossais.

 

Le premier écrit connu sur ce théorème date de 1799 et, il est dû à W. Wallace.

 

 

Voir Contemporains en 1600 et en 1700

 

 


 

Voir

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