NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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   TRIANGLES

 

Débutants

Triangle

Propriétés – Curiosités

 

Glossaire

Triangle

 

 

INDEX

 

Types de triangles

 

Triangle

Droites et points

Droite d'Euler

Droite de Simson

Th. de Desargues

 

Sommaire de cette page

>>>  Droite d'Euler

>>>  Point Exeter

>>> Triangle pédal

>>>  Historique

Voir Propriétés fondamentales des triangles

                                                                                                                        

 

 

 

 

Droite d'Euler

 

En géométrie, cette droite fut nommée en l'honneur de Leonard Euler (1707-1783) son découvreur (1763).

Cette droite d'Euler  passe par une multitude de points remarquables de tout triangle, sauf le triangle équilatéral. Elle fut découverte comme la droite portant le centre de gravité, l'orthocentre et le centre du cercle circonscrit au triangle.

Euler explique sa découverte dans: une solution simple à un problème difficile. Il était alors à Berlin, travaillant pour le compte de Frédéric le Grand.

 

Anglais: Euler line /

 

 

DROITE d'EULER

 

 

Dans tout triangle, l'orthocentre, le centre de gravité et le centre du cercle circonscrit appartiennent à une même droite, la droite d'Euler. Si le triangle est équilatéral les trois points sont confondus.

 

De plus: HG = 2 GO.

 

Cette droite passe également par le centre du cercle de neuf points.

Elle passe également par le point Exeter.

D'autres points existent, les uns plus sophistiqués que les autres (Voir site ETC).

 

 

English corner

Leonhard Euler noticed that three of the many centers of a triangle are always collinear. This line has come to be named after him - the Euler line. The three centers that have this property are the triangle's centroid, circumcenter and orthocenter.

Voir Anglais

 

 

 

Point Exeter

Un triangle ABC (bleu). Son cercle circonscrit.

 

Les médianes coupent se cercle et forment le triangle A'B'C' (vert).

 

Les tangentes au cercle passant par les sommets forment le triangle A"B"C" (rose).

 

Les droites (de jonction) A'A", B'B" et C"C' sont concourantes en E, le point Exeter.

 

Ce nom vient du fait que ce point a été découvert au Philips Exeter Academy en 1986.

 

 

 

 

Triangle pédal

 

Le triangle pédal d'un triangle est le triangle dont les sommets sont les milieux des côtés.

Sur cette figure le triangle de départ (bleu) et son triangle pédal (jaune), lequel est répété en haut à droite.

Sur chacun, on construit la droite d'Euler (rouge).


 

 

Les deux droites d'Euler sont confondues.

Le point de concours des médiatrices du triangle est confondu avec le point de concours des hauteurs du triangle pédal (point rouge de droite).

Le point de concours des médianes du triangle est confondu avec le point de concours des médianes du triangle pédal (point rouge du centre).

Les troisièmes points de la droite d'Euler sont généralement distincts.

Ce qui engendre un nouveau point sur la droite d'Euler: le point de concours des médiatrices du triangle pédal, le centre du cercle circonscrit au triangle pédal.

 

 

 

Historique

 

En 1763, Euler explique sa découverte dans: une solution simple à un problème difficile (Solutio facilis problematum quorumdam geometricorum difficillimorum). Il était alors à Berlin, travaillant pour le compte de Frédéric le Grand.

C'est en 1767 qu'il publie son article à l'Académie de Saint-Pétersbourg du temps de Catherine la Grande.

 

Euler commence par récapituler les quatre points remarquables du triangle: orthocentre, centre de gravité, centre du cercle circonscrit, centre du cercle inscrit.

 

Il note que si deux point son confondus, ils le sont tous et le triangle est équilatéral.

 

Il fait état des formules de Héron pour calculer l'aire du triangle quelconque.

 

A² =1/16 (a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)

A² = 1/16 (2a²b² + 2a²c² + 2b²c² -a4-b4-c4)

Il se fixe un système de d'axes et calcule les coordonnées des points remarquables

 

Orthocentre H >>>

Centre de gravité G  >>>

Centre du cercle circonscrit O >>>

Centre du cercle  inscrit I >>>

 

La suite comporte de nombreuses pages de calcul impliquant les solutions d'une équation cubique.

 

z3  - pz² + qz – r = 0

 

Euler montre que des trois d'entre eux sont colinéaires.

Il donne aussi une relation entre les quatre points.

 

HO = 3/2 HG

 

4OI² + 2HI² = 3HG² + 6GI²

 

En fait, il poursuit, car son but était la marche à l'envers: construire un triangle connaissant ces quatre points.

 

À nouveau un calcul complexe!

Pour une explication plus détaillée voir le site: How Euler did it

 

 

 

 

 

Suite

*    Cercle des neuf points

*    Droite de Simson

Voir

*    Éléments de géométrie

*    EulerBiographie

*    Triangle – Débutants, novices

*    TriangleGlossaire

*    TriangleIndex

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Sites

*    Euler Line – Math Open reference

*    Euler LineMathWorld

*    Euler Line – How Euler did it – Ed Sandifer

*    Exeter point – Cut The Knot

*    Exeter pointMathWorld

*    Encyclopedia of triangle centers (ETC) – Tous les centres du triangle possibles et imaginables (plus de 400!)

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Triangle/Propriet/DrEuler.htm