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Voir Propriétés fondamentales des triangles

ANGLES, TRIANGLES & CERCLES

Fameux théorèmes donnant la relation entre les angles inscrits et les angles au centre interceptant le même arc.

Quels sont les cercles associés au triangle?

Approche
Sur cette figure, les segments OM et OB ont la même mesure, égale à la longueur du rayon R. Le triangle OMB, dont deux côtés sont égaux, est isocèle. Dans ce triangle isocèle, les angles à la base sont égaux (A1). Dans un triangle, la somme des angles est égale à 180°: A + 2A1 = 180°. Or AM est un diamètre et l'angle AOM est un angle plat (180°): A + A2 = 180°. En rapprochant les deux égalités: A + 2A1 = 180° = A + A2 A + 2A1 = A + A2 2A1 = A2 L'angle au centre AOB et l'angle inscrit AMB, interceptant le même arc AB, sont l'un le double de l'autre.
Variation relative des deux angles selon la position de B

Les deux fameux théorèmes
Théorème de l'angle au centre Sur cette nouvelle figure, la partie de droite est la même que celle vue ci-dessus. La partie de gauche procède du même principe, avec le même résultat. Ce qui permet d'affirmer: L'angle au centre AOB et l'angle inscrit AMB, interceptant le même arc grand arc AB, sont l'un le double de l'autre. Notez que le point M est situé sur le plus grand des deux arcs AB.	Somme des angles en bleu = angle en marron.
Théorème de l'angle inscrit Un cercle de centre O. Deux points A et B sur le cercle. Un point quelconque M sur le grand arc AB. Tous les angles inscrits AMB, avec M situé sur le grand arc AB, sont égaux et de valeur moitié de celle de l'angle au centre AOB. Si M est situé sur l'autre partie de l'arc AB, il est supplémentaire aux précédents. Voir Quadrilatère inscrit dans un cercle

Cas des tangentes En positionnant le point M ver le point B, une limite est atteinte. Lorsque M et B sont confondus, l'angle inscrit est formé par la corde AB et la tangente en B. Sa valeur est la même que celle de l'angle inscrit pour M quelconque. Les angles entre la corde Ab et les tangentes en A et B sont égaux (A1).

Cas du petit arc AB Dans le cas où le point N est situé sur le petit arc AB, l'angle au centre AOB, vaut 360° - 2 fois l'angle inscrit ANB. En effet: dans les triangles isocèles AON et NOB les angles à la basse A11 et A12 sont égaux. Dans ces triangles, la somme des angles vaut 180°. A21 + 2 A11 = 180° A22 + 2 A12 = 180° En effectuant la somme A2 + 2 A1 = 360° C'est d'ailleurs la somme des angles d'un quadrilatère. Valeur de l'angle inscrit A1 = 180° – A2 / 2

Exemples

Cas ou AOB sont alignés Si AOB est un angle plat (AB est un diamètre), alors l'angle en M est un angle droit et le triangle AMB est rectangle. Un angle inscrit qui intercepte un diamètre est un angle droit. Le diamètre AB est l'hypoténuse des triangles rectangles.

Suite Angles dans le cercle

Cordes et triangles semblables
Les angles inscrits A1 interceptent le même arc CD, ils sont égaux. Les angles inscrits A2 interceptent le même arc AB, ils sont égaux. Les angles opposés A sont égaux Dans les deux triangles AMD et BMC, les angles sont égaux deux à deux; ils sont semblables. Les longueurs des côtés sont dans les mêmes proportions. Les cordes se coupent en segments dont le produit des uns et égal au produit des autres.	Les triangles MAD et MBC sont semblables. MA.MC = MB.MD

Sécantes et triangles semblables
Les angles de même nom sur la figure sont égaux. Le même type de démonstration que ci-dessus conduirait à montrer que les triangles MAC et MDB sont semblables. Les sécantes se coupent en segments tels que: MA.MB = MC.MD	Les triangles MAC et MDB sont semblables. MA.MB = MC.MD

Tangente et triangles semblables
La sécante MA et la tangente MC. En tenant compte du cas limite de la tangente, les angles A1 interceptent le même arc, et également pour A4; de sorte que les A2, supplémentaires à A4, sont égaux. Les triangles MAC et MCB, avec un angle commun (A1) et les deux autres angles égaux, sont semblables; d'où les proportions:	Les triangles MAC et MCB sont semblables. MC² = MA.MB

CERCLES classiques
Le triangle est en jaune. Cinq cercles lui sont associés: - 1 cercle inscrit petit bleu foncé >>> - 1 cercle circonscrit grand bleu clair >>> - 3 cercles exinscrits rose >>>
Leur centre est le point de concours des bissectrices intérieures et extérieures (inscrit et exinscrits) et le point de concours des médiatrices (circonscrit). Relation d'Euler dans le triangle R est le rayon du cercle circonscrit r est le rayon du cercle inscrit d est la distance entre les centres de ces deux cercles Alors: d² = R² - 2R.r Note: Le cercle des neufs points est tangent aux cercles inscrit et exinscrits. Le cercle qui passe par les pieds des hauteurs d'un triangle est tangent aux quatre cercles tangents aux côtés du triangle; il est tangent intérieurement au cercle inscrit et extérieurement aux cercles exinscrits. Propriété découverte par Feuerbach.

Voir Carré et rectangle / Cercles et cercles

AUTRES CERCLES
Cercle trigonométrique >>> Cercle de Brocard >>> Cercle des neuf points >>>

English corner

Central angle: angle subtended by an arc of the circle from the center of the circle. Inscribed angle: angle subtended by an arc of the circle from any point on the circumference of the circle. The inscribed angle theorem states that an angle A inscribed in a circle is half of the central angle 2A that subtends the same arc on the circle. Therefore, the angle does not change as its apex is moved to different positions on the circle. The circle which passes through the vertices of a triangle is called its circum-circle, and is said to be circumscribed about the triangle.

Suite	Triangles et carrés Cercle inscrit Cercle circonscrit
Voir	Triangle – Index Cercle DicoMot Losange et son cercle inscrit Points caractéristiques du triangle
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