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Pavage

 

Débutants

Pavage

du PLAN

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

 

Géométrie

Avec polygones

Disque (Pizza)

Dominos

Triangles

Rectangles

Carrés parfaits

Échiquier

Pentagone

Hexagone

Dodécagone

Penrose

 

Sommaire de cette page

>>> Pavage – Carrés et rectangles

>>> Pavage – Triangles

>>> Pavage – Triangles quelconques – Méthode

>>> Pavage – Quadrilatères quelconques – Méthode

>>> Bilan

>>> Pavage d'Escher

>>> Les 20 triangles rectangles en carré

 

 

 

 

 

Pavage avec les

CARRÉS, RECTANGLES et TRIANGLES

Une introduction au problème du pavage

 

 

Le pavage consiste à recouvrir une surface avec des pièces de formes données, comme on le fait en réalisant un puzzle. Pas de chevauchement, pas d'espaces on recouvert.

Le pavage le plus simple est celui du carreleur avec des carreaux de forme  carrée ou rectangulaire.

Cette page est une introduction au problème géométrique du pavage. LA forme utilisée et le triangle.

Anglais: Jigsaw puzzle

 

 

Pavage avec des carrés et rectangles

Pavage avec des carrés

Une seule possibilité

 

Pavage avec des rectangles                               Nombreuses possibilités

 

Pavage mixte, avec des carrés  et des rectangles                    Nombreuses possibilités

Voir Carrés et rectangles / Pavage carré parfait

 

Pavage avec des triangles

 

Pavage avec des triangles                  y compris le triangle quelconque

 

Voir Triangle

 

 Pavage avec le triangle quelconque – Méthode

 

Partant d'un triangle quelconque, en créer un autre par rotation de 180° autour du point milieu d'un des côtés (point bleu). Ces deux triangles forment un parallélogramme. Le pavage est créé en collant plusieurs de ces formes entre elles.

 

Étapes de la construction

 

Chaque nouveau triangle est le même que celui qui lui est adjacent par l'un de ses côtés en le basculant de l'autre côté et en le faisant pivoter.

 

Cette construction est toujours possible quel que soit le triangle. Ceci est dû à la propriété de tout triangle:

 

La somme de ses trois angles est égale à 180°.

 

 

 

 

Pavage avec le quadrilatère quelconque – Méthode

Comme pour le triangle, et parce que la somme des angles est égale à 360%, il est possible de paver le plan avec un quadrilatère quelconque.

 

La maille répétitive, formée de quatre quadrilatères ayant pivotés, est marquée en bleu foncé.

Voir Quadrilatère

 

Bilan

Le pavage du plan est toujours possible avec les triangles et les quadrilatères de toutes natures, c'est-à-dire avec les polygones à trois et quatre côtés. Et pour les autres?

Nous verrons qu'il existe de nombreuses possibilités mais que ce n'est pas toujours possibles pour les polygones réguliers.

 

 

Pavage d'Escher – À la façon d'Escher

Dessin itératif, typique de Maurits Cornelis Escher (1898-1972).

 

Il disait: recouvrir le plan est devenu une réelle manie addictive et j'ai parfois du mal à m'y arracher.

 

Le principe de construction de ces dessins de base est simple, le reste st dû à la créativité de l'artiste.

 

 

Un des principes, à base de carrés

 

1) Réalisez un quadrillage carré (bleu pointillé);

 

2) Dessinez une ligne passant par trois sommets, laissant le quatrième en bas à droite libre (ligne rouge).

 

3) Répétez cette ligne dans le quadrillage.

 

 

 

 

Réalisation pratique

 

Pour réaliser une pièce du pavage (du puzzle):

 

1) Dessinez un rectangle (ou un parallélogramme) dans de la cartoline (papier cartonné);

 

2) Tracez une ligne entre les deux sommets du haut: ligne courbe, brisée, sortante, rentrante.

 

3) Copiez cette courbe entre les deux sommets du bas.

 

4) Pratiquez une opération semblable pour les bords verticaux.

 

5) Découpez la pièce et reproduisez la autant que vous voulez. Elles s'emboitent entre elles.

 

Certains découpe un rectangle, puis les parties n creux  et les colle avec du ruban adhésif pour former les partie saillantes.

 

 

 

 

 

Cas du triangle

 

Appliquez la même méthode en déformant un côté en une ligne à votre goût et reproduire cette courbe su les deux autres côtés.

 

Avec cette méthode, la somme des angles est conservée et six telles pièces s'assemblent pour former un angle complet de 360°.

 

 

Les vingt triangles rectangles en carré

 

Problème

 

Comment disposer un minimum de ce type de triangle rectangle pour obtenir un carré ?

Comment faire un carré avec vingt de ces triangles ?

 

 

 

Le triangle à utiliser

 

 

Carré

 

Nous remarquons qu’il s’agit d’un triangle rectangle qui, par deux, forment :

-      Un rectangle 4 x 8, ou

-      Un triangle isocèle de côté8.

 

 

Pour former un carré 8 x 8, il suffit de doubler le rectangle. Seuls quatre triangles suffisent.

 

 

Quatre tels carrés assemblés forment un carré plus grand. Son côté vaut 16 et il faut 16 triangles. Avec cette méthode, impossible de créer un carré avec vingt triangles. Comment s’y prendre, alors ?

 

 

 

 

 

Triangles semblables

 

Comment former un triangle plus grand semblable à l’original ?

 

Un assemblage de quatre triangles fera l’affaire.

 

Évidemment pas question de trouver un assemblage de ces grands triangles selon la méthode précédente pour trouver un carré.

Il faut une astuce !

 

 

 

Carré avec vingt triangles

 

La solution consiste à assembler quatre grands triangles (contours bleus) comme indiqué et à combler le carré central (vert) avec le grand carré vu plus haut.

 

Le grand carré compte alors :

4 x 4 + 4 = 20 triangles.

 

La longueur de son côté (C) est égale à deux fois l’hypothénuse (H) de chaque triangle élémentaire :

 

Calcul

H² =  4² + 8² = 16 + 64 = 80

H  =   8,94427 ...

C  = 17,88854...

 

 

 

 

 

 

 

Suite

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Sites

*    Shapes that tesssellate – Illustrations de nombreuses possibilités; possibilité de créer votre propre pavage.

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http://villemin.gerard.free.fr/Pavage/Polygone.htm