NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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TRIANGLES

 

Débutants

Triangle

Types de TRIANGLES

 

Glossaire

Triangle

 

 

INDEX

TRIANGLE

Types

Quelconque

Rectangle

Isocèle

Obtusangle

Équilatéral

Isocèle de 45° au sommet

Homologique

Calabi

Sphérique

Isocèle – Intersections

Isocèle – Bissection

 

Sommaire de cette page

>>> La rosace isocèle?

>>> Triangle isocèle

>>> Triangle isocèle dans triangle isocèle

>>> Triangle isocèle-rectangle

>>> Triangle isocèle 30-30-120

>>> Triangle d'or

>>> Aire du triangle isocèle

>>> English corner

 

 

 

TRIANGLE ISOCÈLE

 

Triangle qui a deux côtés égaux. Ou deux angles égaux.

Avec trois côtés (ou trois angles) égaux, le triangle est équilatéral.

 

 

                                                                                     Voir Trapèze isocèle

 

Combien de triangles isocèles dans le triangle isocèle?

Un triangle isocèle contient quatre triangles isocèles de dimension moitié

ou encore seize pour le quart.

 

 

Jeux – La ROSACE ISOCÈLE

 

*    Vous voyez de manière évidente les quatre triangles isocèles colorés en marron. Il en existe d'autres comme AOB. Combien peut-on en trouver sur cette figure? 4, 8, plus …

Solution

 

 

TRIANGLE ISOCÈLE

 

*    BC est la base du triangle isocèle

A est le sommet.

L'angle en A (alpha) est l'angle au sommet.

Les angles en B et en C sont égaux.

 

*    Aire:

A = 1/2 a² sin  

 

Voir Justification et autre formule

 

*    La médiatrice de la base BC
est aussi hauteur, médiane et bissectrice. Elle constitue aussi un axe de symétrie du triangle.

 

*    Les droites BN et CM étant les bissectrices dans un triangle; si BN = CM, alors le triangle est isocèle.

Théorème de Steiner-Lehmus

 

*    Le triangle isocèle est rectangle si l'angle alpha est un angle droit.

 

 

 

Un triangle qui a deux côtés de même longueur est isocèle.

 

 

 

TRIANGLE ISOCÈLE-RECTANGLE

 

 

*    Le triangle isocèle est rectangle si l'angle au sommet est un angle droit.

*    Certaines équerres sont en forme de triangle isocèle-rectangle.

*    Les angles à la base valent 45° chacun.

*    Deux triangles isocèles-rectangles identiques forment un carré.

*    Deux triangles isocèles-rectangles tête-bêche forment un quadrilatère dont les diagonales sont perpendiculaires (sommet-droit en commun).

 

Voir illustration >>>

 

 

triangle

 

Angles de 45°

Voir Tangram / Carré max. en triangle unitaire

 

Problème classique

Question

Quelle est la hauteur du triangle isocèle? Je connais les longueurs de la base (49,5 cm) et du côté (57 cm).

 

Réponse

La hauteur partage le triangle isocèle en deux triangles rectangles.

Le bon vieux Pythagore fera l'affaire.

57² = 24,75² + h²

h² = 57² - 24,75² = 3249 - 612,5625 = 2636,4375

h = 51, 3462 cm

 

Je veux aussi connaître l'angle à la base (A).

Là, il faut faire appel à la trigonométrie.

Cos A = 24,75 / 57 = 0,434

A = Arccos (A) = 64,2649°

Sin A = h / 57

Sin 64,2649 = 0,900811

h = 0,900811 x 57 = 51, 3462 cm

Voir Calculs des coordonnées de points d'intersection

 

 

 

 

Triangle isocèle dans triangle isocèle

 

*      Triangle isocèle SBC avec ses côtés SC et SB mesurant 2a.

*      Triangle isocèle MBC avec ses côtés valant a.

*      Ces deux triangles isocèles ont un angle de base commun en B, ils sont semblables.

*      Et, leur base est égale à la moitié des côtés. Soit pour le petit: BM = a/2.

 

*      Ce triangle illustre une découpe possible avec les nombres:

½ ,  1 , 1½   et  2.

 

 

 

Voir Construction géométriques des nombres /

Construction du milieu de AB au compas seul

 

 

 

Voir Nombre 0,5

 

Triangle isocèle 30-30-120

Cette figure illustre une des constructions de racine de 3.


Elle est la rencontre:

*  du triangle isocèle 30-30-120,

*  du triangle rectangle 30-60 et

*  de l'hexagone.

Voir Construction de racine de 3

*  Le petit triangle rose est un triangle rectangle 30-60 dont l'hypoténuse mesure une unité; son petit côté mesure ½ et son grand côté  /2.

*  Dans le grand triangle rectangle (bleu + rose):

(1 + ½)² + ( / 2)² = 1 + 1 + ¼ + ¾  = 3 = (

 

 

TRIANGLE D'OR 36-36-72   b = 1  c = PHI

 

*  Triangle d'or classique, celui qui constitue les branches de l'étoile à cinq branches.

 

 

*  Constitué de deux triangles rectangles 18-72.

*  Le triangle isocèle est tel que sa base mesurant 1, ses côtés égaux mesurent le nombre d'or.

 

cos  = b/2c = 1/1,618 = 0,309

       = 72° = 2/5

 

TRIANGLE D'OR 72-54-54     a = PHI   c = 2

 

*  Deuxième triangle d'or  avec angle de 54° à la base.

*  La hauteur vaut Phi et les côtés égaux mesurent u nombre entier.

 

sin  = a/c = 1,618 / 2 = 0,809

       = 54° = 3/10

Voir Autres valeurs de dimensions (pentagone)

 

TRIANGLE D'OR           a = PHI  b = 1

 

*  Troisième triangle d'or  de hauteur égale au nombre d'or; c'est la bas, cette fois, qui mesure un nombre entier.


Trois triangles d'or

*  Les trois triangles respectent deux mesures:

*    un côté est entier, et

*    un autre vaut le nombre d'or.

*  Chacun d'eux utilise une ligne trigonométrique différente: sinus, cosinus et tangente.

 

tan  = 2a/b = 2 x 1,618 = 3,236

       = 72° 82796214…

 

 

Aire du triangle isocèle

 

h    = a cos ( / 2)

b/2 = a sin  ( / 2)

 

 AHC = ½ h . b/2 = ¼ h . b

 

 ABC = 2 AHC = ½ h . b

= ½ a cos ( / 2) x 2 a sin ( / 2)

= a² sin ( / 2) cos ( / 2)

 

Or sin(a) cos(b)

= ½ [ sin(a + b) + sin(a – b) ]

 

Avec a = b =  / 2:

sin ( / 2) cos ( / 2)

= ½ [ sin  + sin (0) ]

= ½ sin

 

En reprenant la formule pour l'aire:

 ABC = ½ a² sin

 

 

 

Autre évaluation de l'aire

h² = a² - (b/2)²

= ¼ (4a²- b²)

h = ½ (4a²- b²)1/2

 ABC = h . b/2

= ¼ b (4a²- b²)1/2

Cas typiques

Avec le triangle isocèle unité (a = 1).

 

Degrés

0

10

20

30

34,36

36

Radians

0

0,17453293

0,34906585

0,52359878

0,59969513

0,62831853

Sin

0

0,17364818

0,34202014

0,5

0,56439083

0,58778525

Aire Trg

0

0,08682409

0,17101007

0,25

0,28219541

0,29389263

 

Degrés

40

45

50

60

70

80

Radians

0,6981317

0,78539816

0,87266463

1,04719755

1,22173048

1,3962634

Sin

0,64278761

0,70710678

0,76604444

0,8660254

0,93969262

0,98480775

Aire Trg

0,3213938

0,35355339

0,38302222

0,4330127

0,46984631

0,49240388

 

Degrés

90

120

180

270

360

Radians

1,57079633

2,0943951

3,14159265

4,71238898

6,28318531

Sin

1

0,8660254

0

-1

0

Aire Trg

0,5

0,4330127

0

0

0

  

Voir Trigonométrie

 

 

Linguistique

 

Langues

Français                   triangle isocèle          

Anglais                     isosceles triangle

Espagnol                 triangulo isosceles

Italien                        triangolo isoscele

Allemand                  gleichschenkliges Dreieck

 

Étymologie

*    Du grec isoskêles: avec iso, égal et skelos, jambe.
Via le bas latin isosceles.
Pour une fois le français a simplifé en faisant sauter le "c".

 

Anglais

*    Prononciation: ˌsɒsəliːz ˈtraɪæŋɡ)l quelque chose comme "aille zo lis traille angol" (en gras: mettre une intonation plus forte, une accentuation).

 

*    An isosceles triangle is a triangle with (at least) two equal sides. This property is equivalent to two angles of the triangle being equal.

 

*    An equilateral triangle is a special case of an isosceles triangle having not just two, but all three sides and angles equal. Another special case of an isosceles triangle is the isosceles right triangle.

 

 

 

 

 

Suite

*    Triangle isocèle de 45° au sommet

*   Triangle isocèle – Intersections

*    Triangle isocèle – Bissection 

*    Types de triangles

*    TriangleIndex

Voir

*    Allumettes et quatre triangles isocèles

*    Angle

*    Carrés

*    Cercles

*    Droite

*    Égalités des triangles

*    Jeux

*    Malhorne

*    Médianes

*    Polygones

*    Probabilité d'obtenir un triangle obtusangle

*    Quadrupler le triangle

*    Résolution du triangle quelconque

*    Symétries

*    Triangle de Pythagore

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Triangle/Types/TrgIsoce.htm

 

 

 

 

 

Rosace isocèle:  24 triangles isocèles

 

*    Avec AO, nous pouvons former AOB, AOC, AOD, AOE, AOF, AOG et AOH. Soit 7 triangles dont un AOE est réduit à un angle plat. En l'éliminant il reste 6 triangles.

*    Avec BO, sans revenir sur le point A déjà fait: BOC, BOD, BOE, BOF, BOG et BOH. BOF retiré, il a 5 triangles.

*    Avec CO: COD, COE, COF, COG et COH. En retirant COG, il a 4 triangles.

*    Avec DO: DOE, DOF, DOG et DOH. Sans DOH, il ya 3 triangles.

*    Avec EO: EOF, EOG et EOH. Tous retenus; soit 3 triangles.

*    Avec FO: FOG et FOH. 2 triangles.

*    Avec GO: GOH. 1 triangle.

 

Combien de triangles isocèles dans cette figure en utilisant les sommets de A à H?

 

Somme: 6 + 5 + 4 + 3 + 3 + 2 + 1 = 24

 

Attention à un dénombrement trop rapide qui passerait à côté du doublon de 3.

 

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Cité par Stella Baruk – Dico de mathématiques – Seuil