NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

Accueil                           DicoNombre            Rubriques           Nouveautés      Édition du: 24/01/2021

Orientation générale        DicoMot Math          Atlas                   Actualités                       M'écrire

Barre de recherche          DicoCulture              Index alphabétique        Références      Brèves de Maths

       

Addition des Nombres

 

Débutants

Général

Racine numérique

&  voisins

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

 

Premiers

Nombres

Opérations

Chiffres

 

Preuve par 9

Racines numériques

Somme des chiffres

Clé de divisibilité

Racine numérique et Nombres premiers

Racine numérique des puissances

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Racine numérique

>>> Premiers mod 90 et racines numériques

>>> Listes jusqu'à 1000

>>> Bilan

 

 

 

 

 

Racines numériques

& Nombres premiers

 

La suite des nombres entiers non divisibles par (2, 3 ou 5) possède une propriété octodécimale (cycle 18) en les considérant en modulo 90 et en les caractérisant par leur racine numérique additive.

 

 

 

Approche

Dans la liste des nombres entiers, on se sépare des nombres composés divisibles par 2, 3 et 5. Restent les nombres premiers et les nombres composés divisibles par k > 5.

Le premier nombre composé qui subsiste est 49 = 7 x 7 (normal ! Les multiples de 7 précédents sont divisibles par (2,3 ou 4).

 

Divisibilité des nombres par 2, 3 ou 5

 

ND235

 

Tous les non-divisibles par 2, 3 ou 5;  avec les nombres composés en rouge

7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 77, 79, 83, 89, 91, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 119, 121, 127, 131, 133, 137, 139, 143, 149, 151, 157, 161, 163, 167, 169, 173, 179, 181, 187, 191, 193, 197, 199, …

 

Nombres composés avec leurs facteurs

49 = 7x7; 77 = 7x11; 91 = 7x13; 119 = 7x17; 121 = 11²; 133 = 7x19; 143 = 11x13; 161 = 7x23; 169 = 13²; 187 = 11x 17, …

 

 

Racine numérique

La racine numérique des nombres premiers n'est jamais 3, 6 ou 9, mais peut prendre toutes les autres valeurs: (1, 2, 4, 5, 7, 8).

 

La liste ci-contre indique la racine numérique des plus petits nombres premiers dans l'ordre.

 

Mais, pas de répétition cyclique.

2, 3, 5, 7,

2, 4, 8, 1, 5,

2, 4, 1, 5, 7,

2, 8, 5, 7, 4, 8, 1, 7,

2, 8, 7,

2, 4, 8, 1, 5, 1, 5,

2, 4, 5, 7, 4, 1, 5,

2, 8, 1,

2, 4, 8, 1, 4, 7,

2, 4, 8, 5, 7, 8, 5,

2, 8, 1, 7,

2, 4, 5, 1, 5, 7,

2, 7, 4, 5, 7,

2, 8, 7, 4, 1, 5,

2, 1, 5, 4, 5, 7, 8, 1, 7,

2, 8, 7,

2, 4, 8,

2, 1, 5, 4, 8, 5, 8, 1, 1, 7, 8, 5,

 

 

Premiers mod 90 et racines numériques

 

Liste des résidus mod 90 des premiers successifs (hors 2, 3 et 5)

En bleu, une ligne d'en-tête donnant la racine numérique des nombres premiers présents dans la colonne.

Les lignes suivantes indiquent le résidu mod 90 des nombres premiers dans l'ordre jusqu'à 1163. Retour à la ligne pour chaque résidu 89 mod 90. 

En rouge, les nombres composés qui subsistent.

 

1

7

2

4

8

1

5

2

4

1

5

7

2

4

8

5

7

4

8

1

5

7

2

8

 

7

11

13

17

19

23

29

31

37

41

43

47

49

53

59

61

67

71

73

 

79

83

89

 

7

11

13

17

19

23

 

 

37

41

 

47

49

 

59

61

67

 

73

77

 

83

89

1

 

11

13

17

19

 

 

31

 

 

43

47

49

53

59

61

 

71

 

77

 

83

89

1

7

11

13

 

 

23

 

 

37

41

43

47

 

 

 

61

67

 

 

77

79

83

89

 

7

13

 

 

19

23

29

 

37

41

 

 

49

 

59

61

 

71

73

 

79

83

89

 

7

11

13

17

 

 

29

 

37

41

 

 

49

53

59

 

 

71

73

 

 

 

 

1

7

 

 

17

 

23

29

31

37

 

 

47

 

53

59

61

67

 

73

77

79

 

 

1

 

11

13

17

 

23

29

31

 

 

43

47

 

53

 

61

 

71

 

 

79

 

89

 

7

 

13

 

19

23

 

31

37

41

 

 

49

53

 

 

67

 

 

77

 

 

89

1

 

11

13

17

19

29

 

 

 

 

43

47

49

53

 

 

67

71

73

77

 

 

 

 

7

11

 

 

19

29

37

 

 

41

 

47

 

53

 

 

67

71

 

77

 

83

 

1

7

 

 

 

19

23

29

31

 

41

43

 

49

 

59

61

 

71

73

 

79

 

 

 

7

11

13

17

23

29

 

 

37

 

43

 

49

 

 

 

 

71

73

 

 

83

 

 

En jaune, les colonnes avec racines numériques égales à 1, ce qui constitue la suite (1, 19, 37, 73), qui, par effet du modulo 90, se répète pour les nombres supérieurs à 89.

Avec ce principe, on crée six classes de nombres selon la racine numérique. Voir ci-dessous.

 

 

 

Listes jusqu'à 1000

RN1

Nombres {1, 19, 37, 73} + 90k

1, 19, 37, 73, 91, 109, 127, 163, 181, 199, 217, 253, 271, 289, 307, 343, 361, 379, 397, 433, 451, 469, 487, 523, 541, 559, 577, 613, 631, 649, 667, 703, 721, 739, 757, 793, 811, 829, 847, 883, 901, 919, 937, 973, 991, 1009, …

Y figurent tous les nombres premiers dont la racine numérique est 1.

RN2

Nombres {11, 29, 47, 83} + 90k

11, 29, 47, 83, 101, 119, 137, 173, 191, 209, 227, 263, 281, 299, 317, 353, 371, 389, 407, 443, 461, 479, 497, 533, 551, 569, 587, 623, 641, 659, 677, 713, 731, 749, 767, 803, 821, 839, 857, 893, 911, 929, 947, 983, 1001, 1019, 1037, 1073, 1091, 1109, …

Y figurent tous les nombres premiers dont la racine numérique est 2.

RN4

Nombres {13, 31, 49, 67} + 90k

13, 31, 49, 67, 103, 121, 139, 157, 193, 211, 229, 247, 283, 301, 319, 337, 373, 391, 409, 427, 463, 481, 499, 517, 553, 571, 589, 607, 643, 661, 679, 697, 733, 751, 769, 787, 823, 841, 859, 877, 913, 931, 949, 967, 1003, …

Y figurent tous les nombres premiers dont la racine numérique est 4.

RN5

Nombres {23, 41, 59, 77} + 90k

23, 41, 59, 77, 113, 131, 149, 167, 203, 221, 239, 257, 293, 311, 329, 347, 383, 401, 419, 437, 473, 491, 509, 527, 563, 581, 599, 617, 653, 671, 689, 707, 743, 761, 779, 797, 833, 851, 869, 887, 923, 941, 959, 977, 1013,…

Y figurent tous les nombres premiers dont la racine numérique est 5.

RN7

Nombres {7, 43, 61, 79, 97} + 90k

7, 43, 61, 79, 97, 133, 151, 169, 187, 223, 241, 259, 277, 313, 331, 349, 367, 403, 421, 439, 457, 493, 511, 529, 547, 583, 601, 619, 637, 673, 691, 709, 727, 763, 781, 799, 817, 853, 871, 889, 907, 943, 961, 979, 997, 1033,…

Y figurent tous les nombres premiers dont la racine numérique est 7.

RN8

Nombres {17, 53, 71, 89} + 90k

17, 53, 71, 89, 107, 143, 161, 179, 197, 233, 251, 269, 287, 323, 341, 359, 377, 413, 431, 449, 467, 503, 521, 539, 557, 593, 611, 629, 647, 683, 701, 719, 737, 773, 791, 809, 827, 863, 881, 899, 917, 953, 971, 989, 1007, …

Y figurent tous les nombres premiers dont la racine numérique est 8.

Toutes

La réunion de ces huit suites constitue la suite de tous les nombres non divisibles par 2, 3 ou 5. Y figurent tous les nombres premiers supérieurs à 5.

Accompagnés de nombres composés.

Propriété

Les génératrices des suites (en jaune) sont toutes formées de nombres en progression pseudo-arithmétique de raison 18. Pseudo, car on trouve une fois 2 x 18 = 36.

 

 

Bilan

Soit l'ensemble E des nombres non-divisibles par 2, 3 et 5.

Il comprend tous les nombres premiers et tous les nombres composés multiples des nombres premiers supérieurs à 5.

 

Cet ensemble E,  examiné en mod 90, peut être scindé en six sous-ensembles, chacun caractérisé par une racine numérique (RN) parmi (1, 2, 4, 5, 7 et 8).

Les quatre ou cinq nombres en tête de file (jaunes) se retrouvent dans les tranches suivantes augmentés de 90.

 

Propriété singulière: tous ces nombres considérés par sous-ensembles sont en progression (pseudo) arithmétique de raison 18 sauf une fois avec 36.

Soit une sorte d'organisation octodécimale englobant tous les nombres premiers au milieu de certains nombres composés.

 

 Page créée suite à la lecture d'un essai sur ce thème, développé par Gary Croft

Qui en déduit un crible spiral des nombres premiers (prime spiral sieve)

 

 

 

 

Voir

*    Preuve par neuf

*    Partition

*    Somme des chiffres

*    Procédés itératifs (Kaprekar …)

Aussi

*      Addition

*      Calcul mental

*      Divisibilité

*      Multiplication

*      Nombres géométriques

*      Nombres premiersIndex

*      Représentation des nombres

DicoNombre

*    Nombre 18

*    Nombre 30

*    Nombre 90

Sites

*      OEIS – Gary Croft – Numbers not divisible by 2, 3 or 5 with digital root k

*    The Prime Spiral Sieve – Gary Croft

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Addition/RNprem.htm