NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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DIVISION

 

Débutants

Division

Divisibilité

 

Glossaire

Division

 

INDEX

Divisibilité

 

Introduction

Critères généraux

Racine numérique

Clés de divisibilité

Preuve par neuf

 

Sommaire de cette page

Méthode des empreintes

>>> Truc avec 7

>>> Explications

>>> Cas de 11

>>> Quelques clés

Méthode de l'unité tronquée

>>> Divisibilités vues par les unités

>>> Critère de divisibilité par l'unité

 

 

 

 

Clés de DIVISIBILITÉ

ou empreintes de divisibilité

 

En exprimant un nombre sous sa forme générique en décimal, il est possible de caractériser son comportement lors d'une division par k.

Par ce procédé, le nombre laisse une empreinte caractéristique appelée clé de divisibilité.

Cette astuce pour reconnaître la divisibilité d'un nombre est due à Pascal (1654). 

Je conseille de lire au préalable:  Introduction à la divisibilité

 

  

TRUC avec 7

 

*    Effectuons la division par 7 du nombre 1. Notons les restes à chaque étape. On s'arrête lorsqu'on retrouve 1 pour reste (alors, le quotient se répète).

*    Clé du 7 (les restes en jaune)
Les chiffres se répètent à l'infini.

1 3 2 6 4 5 1 2 …

*    Critère de divisibilité par 7.

Un nombre est divisible par 7 si la somme pondérée par la clé de tous ses chiffres est divisible par 7.

Voir Exemples et explications / Méthodes pratiques pour 7

 

 

 

CAS de 11

*    Division de 1 par 11

*    Clé du 11 (les restes en jaune)

*    Ou en écart à 11, alors 10 devient – 1

10, 1, 10, 1, 10…

– 1, 1, – 1, 1, – 1 …

*    Critère de divisibilité par 7.

Un nombre est divisible par 11 si la somme alternée de ses chiffres est divisible par 11.

On retrouve la règle bien connue

 

 

 QUELQUES CLÉS

 

 

 

Exemple d'application  divisibilité de 4 144   par 37 ?

 

Remarques

La clé de divisibilité offre un procédé général pour tester la divisibilité par k. Mais cela est parfois laborieux. Il existe souvent des procédés plus pratiques.

 

Le procédé est valable pour tester la divisibilité par un nombre premier. Pour un nombre composé, le test portera sur les tous les facteurs.

 

 

 

 

 

Divisibilité vue par les unités

 

Il existe une méthode générale qui consiste à examiner l'unité du nombre (U) et la quantité totale de ses dizaines (D).

 

N = 10D + U

Supposons que ce nombre est divisible par d.

N = 10D + U = d . n

Le but est d'associer U et D de la manière suivante:
La somme de D et d'un multiple de l'unité U doit être divisible par d.

D + c.U = d . m

Prenons c fois la première égalité, et l'autre égalité telle quelle.

10D.c + c.U = c . d . n

     D    + c.U =       d . m

Différence entre les deux:

D (10c – 1) = d (c.n – m)

                    = d . l

Pour obtenir cette égalité quel que soit D:

10c – 1 doit être divisible par d

Exemples

 

Prenons les cas de d = 7:

10c – 1 = 7 l

Égalité satisfaite pour c = 2:

10 (–2) – 1 = –21

Exemple avec N= 154

X = 15 et Y = 4

15 – 2 x 4 = 15 – 8 = 7

Divisible par 7

Prenons les cas de d = 37:

10c – 1 = 37 l

Égalité satisfaite pour c = 11:

10 (–11) – 1 = –111 = – 3 x 37

Exemple avec N= 2 442

X = 244 et Y = 2

244 – 22 = 222

22 – 22 = 0

Divisible par 37

Truc pour calculer la valeur de c:

*    Trouvez le plus petit multiple en 1 de d;

*    Prenez pour c le négatif des dizaines

*    Si plus pratique prenez le complément à d.

13 x 7 = 91

c =  – 9 

c' = 13 – 9 = 4

Autre exemple avec 71: cela pourrait paraître compliqué pour un tel nombre premier. Pourtant la clé est immédiatement trouvée.

71 x 1 = 71

c = –7

c' = 71 – 7 = 64

 

Note: effectivement, la clé complémentaire  c' = (d – c) fonctionne aussi. Pour 7, il s'agit de c =  –2 et son complémentaire c' = +5.

Pour 43, la clé est 13, mais son complémentaire -30 est beaucoup plus simple à utiliser.

 

154 donne 15+ 5x4

= 35 divisible par 7.

 

989 donne 98 – 30x9

= – 172 divisible par 43.

Cas typique pour 19: le tableau indique -17, il sera plus facile de calculer avec 19 – 17 = 2.

8 664 donne 866 + 2x4 = 874

87 + 2x4 = 95 et 95 = 5 x 19

 

 

Critères de divisibilité par l'unité

La valeur de c ou c' mise en rouge est généralement la plus pratique.

 

 

 

 

 

 

Suite

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*         Divisibilité par 7

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