NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Rubrique

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Introduction

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Briques

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Avec un carré

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Les trois matrices

>>> Pyramide des triplets primitifs

>>> Théorie

 

 

 

 

 

TRIPLETS de PYTHAGORE

 

 Matrices génératrices

 

Formation de tous les triplets primitifs

 

  

 

APPROCHE

 

 

Une formule magique

 

*       À partir d'un triplet connu, il est possible d'en former une infinité en utilisant la formule indiquée.

 

A =   a + 2b + 2c

B = 2a +   b + 2c

C = 2a + 2b + 3c

 

Exemples

 

A

3

21

119

697

4 059

23 661

B

4

20

120

696

4 060

23 660

C

5

29

169

985

5 741

33 461

9

441

14 161

485 809

16 475 481

559 842 921

16

400

14 400

484 416

16 483 600

559 795 600

25

841

28 561

970 225

32 959 081

1 119 638 521

  

 

Empreinte

 

*       L'empreinte de la formule,

en omettant les variables

est appelée matrice.

*       Elle est matérialisée par un crochet.

*       Pour être exact, il faut inverser ligne et colonne.

Ici, elles sont symétriques et cela ne change rien.

 

 

 

Nouvelle écriture

 

*       Par convention, la formule s'écrit simplement de la manière suivante.

(A, B, C) = (a, b, c) M

 

 

 

LES TROIS MATRICES

 

 

Matrices

*       Il existe trois matrices génératrices

 

 

Exemples

*       Avec 3 4 5 =>

Notez l'ordre des opérations

 

Propriétés

*       Primitifs

 

 

 

 

*       Théorème de Roberts (1977)

 

Si (a, b, c) est un triplet primitif

(a, b, c) M     (a, b, c) N    (a, b, c) O

sont aussi des triplets primitifs

 

(a, b, c) est un triplet primitif

si et seulement si

(a, b, c) =  (3, 4, 5) L

La matrice L étant le produit fini des matrices M, N et O

 

 

Voir Matrices

 

 

PYRAMIDE DES TRIPLETS PRIMITIFS

 

 

 

Généralisation

 

*       Chaque matrice L, M ou N permet de créer des triplets primitifs en nombre infini.

*       Le théorème de Roberts permet conjuguer ces matrices et d'engendrer une infinité de combinaisons.

 

 

 

 

*       En partant du triplet de départ  3, 4 et 5, il est possible de construire la pyramide infinie de tous les triplets primitifs.

*       Voici les 4 premiers étages.

 

3 4 5

21 20 29

 

119 120 169

697 696 985

217 456 505

459 220 509

39 80 89

377 336 505

57 176 185

299 180 349

77 36 85

319 360 481

175 288 337

165  52 173

5 12 13

 

55 48 73

297 304 425

105 208 233

187  84 205

7 24 25

105 88 137

9 40   41

91 60 109

45 28 53

207 224 305

95 168 193

117  44 125

15 8 17

65 72 97

403 396 565

115 252 277

273 136 305

33 56 65

275 252 373

51 140 149

209 120 241

35 12 37

133 156 205

85 132 157

 63   6   65

 

 

 THÉORIE

 

 

Vérification des formules données

 

*       Reprenons l'une des formules.

 

A =   a + 2b + 2c

B = 2a +   b + 2c

C = 2a + 2b + 3c

*       Développons la côté gauche de l'égalité de Pythagore.

Le coefficient 5 n'est pas bien sympathique.

A² + B²

= 5a² +8ab +12ac + 12bc + 5b² + 8c²

*       Astuce pour se ramener à 4: retirer a² et b².

Or, le triplet de départ s'écrit:

retirez a² + b² OK,

mais il faut ajouter une quantité équivalente pour garder l'équilibre

cette quantité c'est c².

a² + b² = c²

 

 

- a² - b² + c² = 0

*       Voyons ce que cela donne =>

A² + B²

= 5a² +8ab +12ac + 12bc + 5b² + 8c²

- a² - b² + c²

= 4a² +8ab +12ac + 12bc + 4b² + 9c²

*       Sympathique, il y a du 4 et du 9 en coefficients des carrés.

Factorisation possible dans l'air.

En effet =>

 

 

A² + B² = (2a + 2b + 3c = C²

*       Les deux autres formules ne sont que des variantes de signes.

 

 

 

 

 

Suite

*    Triplets spéciaux

Voir

*    Addition - Glossaire

*    Années Pythagore

*    Décade de Pythagore

*    Pythagore - Biographie

Site

*    Pythagorean Triple de Eric Weisstein

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*      http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Addition/TripMatr.htm