NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Puissances

 

 

Rubrique

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INDEX PUISSANCES

 

Introduction

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Illustration

Triangles

Briques

Calculs

Avec un carré

 

Sommaire de cette page

>>> Tableau pour 1 à 25

>>> Tableau - construction

>>> Dessins

>>> Dessins - programme

>>> Cercle unité

 

 

 

 

TRIPLETS de PYTHAGORE

Illustration

 

 

*    Il est tentant de visualiser les triplets sur un système d'axes.

*    Sont-ils nombreux?

*    Comment remplissent-ils le plan?

*    Ce peut être aussi l'occasion d'excellents travaux pratiques avec un tableur.

 

 

 

   

TABLEAU pour 1 à 25

25                                                                                                                      

24                               25          26                                   30                             

23                                                                                                                      

22                                                                                                                      

21                                                                                              29                    

20                                                                      25                         29              

19                                                                                                                      

18                                                                                                                   30

17                                                                                                                      

16                                                       20                                                          

15                                   17                                                       25                    

14                                                                                                                      

13                                                                                                                      

12                     13               15                              20                                       

11                                                                                                                      

10                                                                                                                  26

9                                                         15                                                           

8                            10                                        17                                            

7                                                                                                                    25

6                                     10                                                                              

5                                                         13                                                          

4             5                                                                                                         

3                  5                                                                                                    

2                                                                                                                        

1                                                                                                                        

     1   2   3   4   5   6   7   8   9   10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

 

 

Exemple:

12² (abscisse) + 5² (ordonnée) = 13² (valeur indiquée à l'intersection).

On retrouve, bien sûr, chaque triplet et son symétrique.

On observe la ligne oblique  5, 10, 15 … des triplets multiples du premier

(et la ligne symétrique par rapport à la diagonale).

 

 

 

TABLEAU – Construction

 

 

Axes

*       Tapez 1 puis 2 sur une ligne.

*       Même chose en colonne.

*       Marquez les cellules 1 et 2 (cliquez dessus).

*       Pointez sur l'ancre en bas à droite.

*       En restant appuyé sur le bouton gauche de la souris tirez vers la droite jusqu'à obtenir 25, les valeurs suivantes jusqu'à 25 s'affichent automatiquement.

*       Même chose pour les colonnes en tirant l'ancre vers le haut.

2

 

 

1

 

 

 

1

2

 

2

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

2

3

4

5

 

Formule

*       Calcul.

 

*       Condition.

 

Valeur de la ligne(L) au carré plus valeur de la colonne (C) donne le carré de l'hypoténuse (H)

L² + C² = H²

H = RACINE (L² + C²)

Inscrire H que si sa valeur est entière

 

Cellule de départ

*       Supposons que nous commencions comme indiqué.

*       La première cellule à calculer est B100.

 

Calcul de H

*       Nous utilisons notre formule.

*       Cependant, si nous voulons une expression applicable aux autres cellules, il faut indiquer que la ligne à utiliser est la 101 et la colonne est la A.

*       Pour cela, les tableurs disposent de la fonction adresse absolue symbolisée par le signe dollar.

 

H entier ?

*       Le moyen consiste à vérifier si H est égal à sa valeur sans décimales (tronquée).

 

 

 

 

 

A

B

C

 

 

 

 

99

2

 

 

100

1

H

 

101

 

1

2

 

 

H = RACINE(A100*A100+B101*B101)

 

 

H = RACINE($A100*$A100+B$101*B$101)

 

 

 

RACINE($A100*$A100+B$101*B$101) -

TRONQUE (RACINE($A100*$A100+B$101*B$101) )

= 0 ?

 

 

 

Programmation

 

*       Attention, il faut procéder avec méthode.

*       Voici la formule en clair, puis en programmation.

 

SI(

H est entier

Inscrire H

Sinon Inscrire Blanc

)

SI(

RACINE($A100*$A100+B$101*B$101) -

TRONQUE (RACINE($A100*$A100+B$101*B$101) ) = 0;

 

 

 

 

 

RACINE($A100*$A100+B$101*B$101);

 

 

 

 

 

" "

)

Tapez "espace" entre les deux guillemets

 

*       Soit l'expression à recopier dans la cellule:

SI(RACINE($A100*$A100+B$101*B$101) - TRONQUE (RACINE($A100*$A100+B$101*B$101)) = 0;RACINE($A100*$A100+B$101*B$101); " ")

 

*       Pour étendre la formule à toutes les autres:

*    Marquez la cellule B100 et tirez l'ancre en bas à droite vers la droite pour toute la ligne

*    Marquez toutes les cellules de la ligne et tirez l'ancre vers le haut pour toutes les lignes

*       C'est fini!

 

 

 

DESSINS

 

Primitifs sur cette colonne

Tous sur cette colonne

Quantité de points: 2 x 6

2 x 11

2 x 18

2 x 63

2 x 179

2 x 1034

Il n'est pas étonnant de voir une tendance à former des cercles (ellipses) dont l'équation est x² + y² = R.

Il n'est pas étonnant de voir apparaître  des droites

Ce sont les multiples des triplets primitifs.

 

 

 


DESSIN – Programme pour obtenir les dessins ci-dessus

 

 

Principe

*       On reprend le calcul ci-dessus en langage Mapple.

*       La fonction "dessin de points" (poinplot) est utilisée.

*       Toute la séquence des points à dessiner sont à lui fournir en une seule fois.

*       Nous allons calculer tous les points et les mémoriser.

*       Nous définissons deux séquences: une séquence pour les X et une pour les Y

*       Le rang k dans la séquence donne les coordonnées d'un point-triplet.

X

n°1

n°2

n°k

 

Y

n°1

n°2

n°k

 

Programme

Initialisation

*       # permet d'introduire un commentaire (ici le titre du programme).

*       kt est un compteur de triplets.

*       mx est la valeur maximum de l'exploration.

*       X est la mémoire de la séquence des x des triplets.

*       Y est la mémoire de la séquence des y des triplets.

*       array est l'instruction qui réserve mx cases de mémoire.

 

Mise à zéro des mémoires

*       Boucle en i pour mettre toutes les cases mémoire de X à zéro.

*       Idem en j pour Y.

 

Recherche des triplets

*       Pointeur de triplet k placé à 1 pour commencer.

*       Double boucle d'exploration en i et j jusqu'à la valeur maximale d'exploration.

*       Test si i et j sont premiers entre eux. Leur plus grand commun diviseur (greatest common divisor - gcd) doit être égal à 1.

*       Calcul de h.

*       Test si h est entier.

*       Si c'est le cas, les valeurs de i et j sont placés dans X et Y en position k (k vaut 1 pour le premier triplet).

*       Le pointeur k est positionné pour le prochain triplet.

*       Le compteur de triplets kt enregistre qu'un nouveau triplet a été trouvé.

*       fi (c'est if à l'envers) et od (c'est do à l'envers) indiquent la fin des tests et des boucles.

 

 Dessin

*       La séquence des points est placée dans une mémoire nommée "points".

*       L'instruction "dessin de point" est appelée avec:

*    la séquence des points à dessiner en points,

*    les axes façon entourée (boxed),

*    la couleur rouge (red), et

*    le symbole carré (box).

 

Décompte

*       kt; permet l'impression de la valeur finale du compteur de triplets.

*       Le ";" permet l'impression alors que ":" bloque l'impression des données en cours de calcul.

 

 

 

#triplets primitifs

 

kt:= 0:

mx:= 100:

X:= array(1..mx):

Y:= array(1..mx):

 

 

 

for i from 1 to mx do X[i]:=0: od:

for j from 1 to mx do Y[i]:=0: od:

 

 

 

 

 

k:=1:

for i from 1 to mx do

for j from 1 to mx do

 

if gcd(i,j)=1 then

  h:=sqrt(i*i+j*j):

  if h - trunc(h) = 0 then

     X[k]:= i:

     Y[k]:= j:

 

     k:=k+1:

     kt:=kt+1:

  fi:

fi:od:od:

 

 

 

points:= { seq([X[i],Y[i]],i=1..k) }:

 

pointplot(points, axes=BOXED,

          color=red, symbol=box):

 

 

 

kt;

 

 

 

 

Suite

*    Triplets- triangles

*    Cercle unité et triplets

Voir

*    Addition - Glossaire

*    Années Pythagore

*    Décade de Pythagore

*    Programmation

*    PythagoreBiographie

Site

*      Pythagorean Triple de Eric Weisstein

*     Some Unique Pythagorean Triples And Some Ways To Work With Them by William V. Thayer

Cette page

*      http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Addition/TripIllu.htm