NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 20/10/2020 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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TRIPLETS de PYTHAGORE

PRIMITIFS

Nombres tels que a² + b² = c² avec a et b étrangers ( ou premiers entre eux).

Il en existe une infinité.

À partir de chacun, il est possible d'en déduire une infinité.

Anglais: Reduced (or primitive) Pythagorean triples

a and b are relatively prime

DÉFINITION
Définition Un triplet est dit primitif si a et b sont premiers entre eux. (ou étrangers) Chaque triplet primitif est la racine d'une infinité d'autres triplets, obtenus en multipliant tous les termes par un entier k.	3² + 4² = 5² En multipliant par 2 (2.3)² + (2.4)² = (2.5)² 6² + 8² = 10² En multipliant par 3 (3.3)² + (3.4)² = (3.5)² 9² + 12² = 15² En multipliant par k (k.3)² + (k.4)² = (k.5)² …	9 + 16 = 25 36 + 64 = 100 81 + 144 = 225
Nombres étrangers ou premiers entre eux En vérité, la définition d'un triplet primitif veut que les trois termes du triplet soient étrangers, mais On démontre que si les deux côtés sont premiers l'hypoténuse l'est aussi.	PGCD (a, b, c) PGCD (a, b) = 1	= 1 => PGCD (a, b, c) = 1
Supposons qu'il existe un premier p qui divise a et c; Alors p divise aussi leur carré et la différence des carrés.	p | a et p | c Rappel: Barre verticale	p | a² et p | c² p | ( a² - c²) = divise
Égalité de Pythagore.	a² - c²	= b²
Rapprochement des résultats. Conséquence: Si p divise a et c, il divise aussi b. Il existerait un nombre p qui divise a et b. Ce qui est contraire à l'hypothèse. Il n'existe pas de premier p divisant à la fois a et c.	p | ( a² - c²) p | a et p | c un tel p a, b et c	=> p | b² p | b => p | b n'existe pas sont étrangers

Formalisation

Une solution primitive a₀, b₀, c₀ de l'équation pythagoricienne a² + b² = c² est une solution telle que (a₀, b₀, c₀) = 1.

Alors:

(a, b) = (b, c) = (c, a) = 1 (ces couples sont étrangers);

c est pair et a est de parité opposée à b;

si a est l'élément impair, alors (c – a, c + a) = 2

Triplets primitifs pour a et b < 100

a b c 3 4 5 5 12 13 8 15 17 7 24 25 20 21 29 12 35 37 9 40 41 28 45 53 11 60 61 16 63 65 33 56 65 48 55 73 13 84 85 36 77 85 39 80 89 65 72 97 20 99 101 60 91 109 Voir Association avec triplets de progression des carrés / Suite jusqu'à 500 Ils sont 18 primitifs pour a et b < 100. Ils sont 16 primitifs pour c < 100. Il y a un total de 50 triplets pour c < 100. Notez la présence de jumeaux de deux sortes: 5² + 12² = 13² 20² + 21² = 29² Même si les premiers apparaissent plus souvent, ils sont tous les deux en nombre infini.

Anglais: twin triple

Voir les Illustrations pour comparer la quantité de triplets primitifs et les autres

PROPRIÉTÉS

Triplets équivalents

Selon la formule génératrice.

( a, b, c) (u² - v² , 2uv, u² + v²)

(3, 4, 5) (2² - 1² , 2.2.1, 2² + 1²)

(5, 12, 13) (3² - 2² , 2.3.2, 3² + 2²)

Résumé des propriétés

a	b	c	u	v
Premiers entre eux			Premiers entre eux
Impair	Pair Multiple de 4	Impair	L'un est pair	L'autre impair
a ou b multiple de 3
a, b ou c multiple de 5
abc est multiple de 60

L'aire du triangle est un multiple de 6.

L'aire ne peut pas être un carré parfait (Théorème de Bachet).

Voir Démonstrations

Suite	Génération Tables des triplets dont les primitifs jusqu'à 500
Voir	Addition - Glossaire Années Pythagore Décade de Pythagore Nombres congruents – Création Pythagore - Biographie
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