NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 21/01/2019 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Brèves de Maths
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LOGARITHMES - TABLES

Quelques valeurs pour se familiariser.

Log 2 & Ln 2

Logarithme ou logarithme décimal de 2: log 2 = log10 2 = 0, 301 029 ... Calcul Calcul en remarquant que 2^10 1000 et, en prenant la réciproque 10 log 2 3 Logarithme naturel (ou népérien) de 2: ln 2 = log e 2 = 0, 693 147 … = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... Exemple 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 + 1/7 - 1/8 + 1/9 - 1/10 + 1/11 - 1/12 + 1/13 - 1/14 + 1/15 - 1/16 + 1/17 - 1/18 = 1632341 / 2450448 = 0,6661398242 Voir Courbe du nénuphar / Suites typiques / Nombre 0,393… Cent premières décimales log 2 = 0, 3010299956 6398119521 3738894724 4930267681 8988146210 8541310427 4611271081 8927442450 9486927252 1181861720 ... ln 2 = 0, 6931471805 5994530941 7232121458 1765680755 0013436025 5254120680 0094933936 2196969471 5605863326 9964186875 … Depuis avril 2016, ce nombre est connu avec 500 milliards de décimales (Ron Watkins) Constante de Mercator ou de Grégory Ln (1+x) = x - x²/2 + x^3/3 - x^4/4 + ... Ln (2) = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... = série harmonique alternée Logarithmes et nombres premiers Hypothèse Soit N le nombre de décompositions d'un nombre en somme de un ou plusieurs nombres premiers consécutifs. Exemple 41 = = 11 + 13 + 17 = 2 + 3 + 5 + 7 + 13 => N = 2 Alors La moyenne de N pour tous les nombres jusqu'à l'infini tend vers 0,693 … Record Connu en 1998 avec 58 486 400 décimales  Xavier Gourdon ; 53 heures de calcul Voir ln 2 est irrationnel / Transcendant / Logarithmes / Théorie des nombres

Presque entiers

2,995732274… = ln 2 + ln 10 = ln 4 + ln 5

8,000349495… = ln 42 + ln 71

8,999619342… = ln 81 + ln 100

8,999125391… = ln 88 + ln 92

8,999495877… = ln 89 + ln 91

8,999619340… = ln 90 + ln 90

10,99999763… = ln 102 + ln 587

10,00000743… = ln 198 + ln 822

…

Voir Presque-entiers en fractions

Calculer le nombre de chiffres
Principe N (2^n) = n . log 2 Pour calculer le nombre de chiffres d'une puissance n de 2, multiplier l'exposant (n) par log 2 et prendre l'entier immédiatement supérieur. Exemple 2^127 => 127 x 0,301 = 38,23 => 39 chiffres

TABLE log b n pour n de 2 à 10 et b de 2 à 10
Observez la table ci-dessous: La diagonale vaut 1. La ligne 6 est la somme des lignes 2 et 3 (car 2 x 3 = 6).	log b b = 1 log b 2 + log b 3 = log b 6
Exemples de calcul dans le cas d'une puissance de la base.

Voir Exemple avec le problème des quatre 4

	b = 2	3	4	5	6	7	8	9	10
x = 2	1	0,6309297534	0,5	0,4306765582	0,3868528073	0,3562071871	0,3333333333	0,3154648769	0,3010299957
3	1,584962501	1	0,7924812507	0,6826061949	0,6131471930	0,5645750342	0,5283208337	0,5	0,4771212549
4	2	1,261859507	1	0,8613531163	0,7737056145	0,7124143742	0,6666666666	0,6309297536	0,6020599913
5	2,321928094	1,464973520	1,160964047	1	0,8982444016	0,8270874751	0,7739760313	0,7324867603	0,6989700041
6	2,584962500	1,630929753	1,292481250	1,113282753	1	0,9207822211	0,8616541667	0,8154648768	0,7781512503
7	2,807354922	1,771243749	1,403677461	1,209061955	1,086033133	1	0,9357849738	0,8856218747	0,8450980400
8	3	1,892789260	1,5	1,292029675	1,160558422	1,068621562	1	0,9463946306	0,9030899871
9	3,169925001	2	1,584962501	1,365212389	1,226294385	1,129150068	1,056641667	1	0,9542425093
10	3,321928095	2,095903274	1,660964048	1,430676558	1,285097209	1,183294662	1,107309365	1,047951637	1

Voir suite en Table de logarithmes selon diverses bases

TABLE log ₁₀ n et ln n pour n de 2 à 100

Observez

Changement de base

log 10 N =	ln N	=	ln N
	ln 10		2,3026

Rappel de la propriété additive des logarithmes.

log ₁₀ 10 = 1

log ₁₀ 100 = 2

Rapport 2,3026 entre log et ln

2 x 10 = 20

log 2 + log 10 = log 20

0, 3010 + 1 = 1, 3010

n log ₁₀ ln

2 0,3010299957 0,6931471806

3 0,4771212549 1,098612289

4 0,6020599913 1,386294361

5 0,6989700041 1,609437912

6 0,7781512503 1,791759469

7 0,8450980400 1,945910149

8 0,9030899871 2,079441542

9 0,9542425093 2,197224577

10 1 2,302585093

11 1,041392685 2,397895273

12 1,079181246 2,484906650

13 1,113943352 2,564949357

14 1,146128036 2,639057330

15 1,176091259 2,708050201

16 1,204119983 2,772588722

17 1,230448921 2,833213344

18 1,255272505 2,890371758

19 1,278753601 2,944438979

20 1,301029996 2,995732274

21 1,322219295 3,044522438

22 1,342422681 3,091042453

23 1,361727836 3,135494216

24 1,380211242 3,178053830

25 1,397940009 3,218875825

26 1,414973348 3,258096538

27 1,431363764 3,295836866

28 1,447158031 3,332204510

29 1,462397998 3,367295830

30 1,477121255 3,401197382

31 1,491361694 3,433987204

32 1,505149978 3,465735903

33 1,518513940 3,496507561

34 1,531478917 3,526360525

35 1,544068044 3,555348061

36 1,556302501 3,583518938

37 1,568201724 3,610917913

38 1,579783597 3,637586160

39 1,591064607 3,663561646

40 1,602059991 3,688879454

41 1,612783857 3,713572067

42 1,623249290 3,737669618

43 1,633468456 3,761200116

44 1,643452677 3,784189634

45 1,653212514 3,806662490

46 1,662757831 3,828641396

47 1,672097858 3,850147602

48 1,681241237 3,871201011

49 1,690196080 3,891820298

50 1,698970004 3,912023005

51 1,707570176 3,931825633

52 1,716003344 3,951243719

53 1,724275870 3,970291914

54 1,732393760 3,988984047

55 1,740362689 4,007333185

56 1,748188027 4,025351691

57 1,755874856 4,043051268

58 1,763427994 4,060443011

59 1,770852012 4,077537444

60 1,778151250 4,094344562

61 1,785329835 4,110873864

62 1,792391689 4,127134385

63 1,799340549 4,143134726

64 1,806179974 4,158883083

65 1,812913357 4,174387270

66 1,819543936 4,189654742

67 1,826074803 4,204692619

68 1,832508913 4,219507705

69 1,838849091 4,234106505

70 1,845098040 4,248495242

71 1,851258349 4,262679877

72 1,857332496 4,276666119

73 1,863322860 4,290459441

74 1,869231720 4,304065093

75 1,875061264 4,317488114

76 1,880813592 4,330733340

77 1,886490725 4,343805422

78 1,892094603 4,356708827

79 1,897627091 4,369447852

80 1,903089987 4,382026635

81 1,908485019 4,394449155

82 1,913813852 4,406719247

83 1,919078092 4,418840608

84 1,924279286 4,430816799

85 1,929418925 4,442651256

86 1,934498451 4,454347296

87 1,939519253 4,465908119

88 1,944482672 4,477336814

89 1,949390007 4,488636370

90 1,954242509 4,499809670

91 1,959041393 4,510859507

92 1,963787827 4,521788577

93 1,968482948 4,532599493

94 1,973127853 4,543294782

95 1,977723605 4,553876892

96 1,982271233 4,564348191

97 1,986771734 4,574710979

98 1,991226076 4,584967479

99 1,995635195 4,595119850

100 2 4,605170186

---

Voir	Constantes de l'univers  Constantes Mathématiques Exemple de conversion Exponentielles Exposants et puissances Exposants – Index log 2 est irrationnel Logarithmes Nombre premier record Table de log (historique) Tables de valeurs – Index Théorie des nombres
DicoNombre	0,301 … 0,693 … Nombre 2
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