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ORIENTATION GÉNÉRALE    -   M'écrire   -   Édition du: 05/07/2016

Débutants

Logarithme

RUBRIQUE   Analyse

Glossaire

Général

 

LOGARITHME

 

Introduction

Calcul

Table

Changement de base

Historique

Propriétés

Maths

Exponentielle

 

Sommaire de cette page

>>> Ln 2

>>> CALCULER LE NOMBRE

>>> TABLE 2 à 10

>>> TABLE 2 à 100

 

 

 


 

LOGARITHMES - TABLES

 

 

Quelques valeurs pour se familiariser.

 

 

 

Log 2 & Ln 2

 

*               Logarithme ou logarithme décimal de 2:

 

log 2 = log10 2   = 0, 301 029 ...

 

Calcul

Calcul en remarquant que       210  1000

et, en prenant la réciproque  10 log 2  3

 

*               Logarithme naturel (ou népérien) de 2:

 

ln 2   = log e 2   = 0, 693 147 …

= 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...

 

Exemple

1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 + 1/7 - 1/8 + 1/9 - 1/10 + 1/11

   - 1/12 + 1/13 - 1/14 + 1/15 - 1/16 + 1/17 - 1/18

    = 1632341 / 2450448 = 0,6661398242

 

Voir Courbe du nénuphar / Suites typiques

 

 Cent premières décimales

 

log 2 = 0,

3010299956  6398119521  3738894724  4930267681  8988146210 

8541310427  4611271081  8927442450  9486927252  1181861720 ...

 

ln 2 = 0,

6931471805  5994530941  7232121458  1765680755  0013436025

5254120680  0094933936  2196969471  5605863326  9964186875 …

 

 

Constante de Mercator ou de Grégory

 

Ln (1+x) = x - x²/2 + x3/3 - x4/4 + ...

Ln    (2)  = 1 - 1/2  + 1/3   - 1/4 + ...  = série harmonique alternée

 

 

 

Logarithmes et nombres premiers

 

Hypothèse

Soit N le nombre de décompositions d'un nombre en somme de un ou plusieurs nombres premiers consécutifs.

 

Exemple

41 = = 11 + 13 + 17 = 2 + 3 + 5 + 7 + 13 => N = 2

 

Alors

La moyenne de N  pour tous les nombres jusqu'à l'infini tend vers 0,693 …

 

Record

Connu en 1998 avec 58 486 400 décimales 

Xavier Gourdon ; 53 heures de calcul

 

Voir  ln 2 est irrationnel / Transcendant / Logarithmes  / Théorie des nombres

 

 

Presque entiers

2,995732274… = ln   2 + ln 10 = ln 4 + ln 5

8,000349495… = ln 42 + ln 71

8,999619342… = ln 81 + ln 100

8,999125391… = ln 88 + ln 92

8,999495877… = ln 89 + ln 91

8,999619340… = ln 90 + ln 90

10,99999763… = ln 102 + ln 587

10,00000743… = ln 198 + ln 822

Voir Presque-entiers en fractions

 

 

 

 

Calculer le nombre de chiffres

 

Principe

 

N (2n) = n . log 2

 

Pour calculer le nombre de chiffres d'une puissance n de 2, multiplier l'exposant (n) par log 2 et prendre l'entier immédiatement supérieur.

 

Exemple

 

2127

=> 127 x 0,301 = 38,23

=> 39 chiffres

 

 

 

 

TABLE log b n pour n de 2 à 10 et b de 2 à 10

Observez la table ci-dessous:

La diagonale vaut 1.

La ligne 6 est la somme des lignes 2 et 3 (car 2 x 3 = 6).

log b b = 1

 

log b 2 + log b 3 = log b 6

Exemples de calcul dans le cas d'une puissance de la base.

 

 

 

 

 

 

Voir Exemple avec le problème des quatre 4

 

 

 

 

b = 2

3

4

5

6

7

8

9

10

x = 2

1

0,6309297534

0,5

0,4306765582

0,3868528073

0,3562071871

0,3333333333

0,3154648769

0,3010299957

3

1,584962501

1

0,7924812507

0,6826061949

0,6131471930

0,5645750342

0,5283208337

0,5

0,4771212549

4

2

1,261859507

1

0,8613531163

0,7737056145

0,7124143742

0,6666666666

0,6309297536

0,6020599913

5

2,321928094

1,464973520

1,160964047

1

0,8982444016

0,8270874751

0,7739760313

0,7324867603

0,6989700041

6

2,584962500

1,630929753

1,292481250

1,113282753

1

0,9207822211

0,8616541667

0,8154648768

0,7781512503

7

2,807354922

1,771243749

1,403677461

1,209061955

1,086033133

1

0,9357849738

0,8856218747

0,8450980400

8

3

1,892789260

1,5

1,292029675

1,160558422

1,068621562

1

0,9463946306

0,9030899871

9

3,169925001

2

1,584962501

1,365212389

1,226294385

1,129150068

1,056641667

1

0,9542425093

10

3,321928095

2,095903274

1,660964048

1,430676558

1,285097209

1,183294662

1,107309365

1,047951637

1

 

Voir suite en  Table de logarithmes selon diverses bases

 

 

 

 

 

TABLE log 10 n et ln n     pour n de 2 à 100

 

* Observez

 

* Changement de base

log 10 N =

ln N

=

ln N

 

ln 10

2,3026

 

 

* Rappel de la propriété additive des logarithmes.

 

log 10    10 = 1

log 10 100 = 2

 

 

Rapport 2,3026 entre log et ln

 

 

 

       2    x     10 =        20

log 2 + log 10 = log 20

0, 3010 + 1      = 1, 3010

 

 

n         log 10                 ln

2      0,3010299957    0,6931471806

3      0,4771212549    1,098612289

4      0,6020599913    1,386294361

5      0,6989700041    1,609437912

6      0,7781512503    1,791759469

7      0,8450980400    1,945910149

8      0,9030899871    2,079441542

9      0,9542425093    2,197224577

10     1               2,302585093

11     1,041392685     2,397895273

12     1,079181246     2,484906650

13     1,113943352     2,564949357

14     1,146128036     2,639057330

15     1,176091259     2,708050201

16     1,204119983     2,772588722

17     1,230448921     2,833213344

18     1,255272505     2,890371758

19     1,278753601     2,944438979

20     1,301029996     2,995732274

21     1,322219295     3,044522438

22     1,342422681     3,091042453

23     1,361727836     3,135494216

24     1,380211242     3,178053830

25     1,397940009     3,218875825

26     1,414973348     3,258096538

27     1,431363764     3,295836866

28     1,447158031     3,332204510

29     1,462397998     3,367295830

30     1,477121255     3,401197382

31     1,491361694     3,433987204

32     1,505149978     3,465735903

33     1,518513940     3,496507561

34     1,531478917     3,526360525

35     1,544068044     3,555348061

36     1,556302501     3,583518938

37     1,568201724     3,610917913

38     1,579783597     3,637586160

39     1,591064607     3,663561646

40     1,602059991     3,688879454

41     1,612783857     3,713572067

42     1,623249290     3,737669618

43     1,633468456     3,761200116

44     1,643452677     3,784189634

45     1,653212514     3,806662490

46     1,662757831     3,828641396

47     1,672097858     3,850147602

48     1,681241237     3,871201011

49     1,690196080     3,891820298

50     1,698970004     3,912023005

51     1,707570176     3,931825633

52     1,716003344     3,951243719

53     1,724275870     3,970291914

54     1,732393760     3,988984047

55     1,740362689     4,007333185

56     1,748188027     4,025351691

57     1,755874856     4,043051268

58     1,763427994     4,060443011

59     1,770852012     4,077537444

60     1,778151250     4,094344562

61     1,785329835     4,110873864

62     1,792391689     4,127134385

63     1,799340549     4,143134726

64     1,806179974     4,158883083

65     1,812913357     4,174387270

66     1,819543936     4,189654742

67     1,826074803     4,204692619

68     1,832508913     4,219507705

69     1,838849091     4,234106505

70     1,845098040     4,248495242

71     1,851258349     4,262679877

72     1,857332496     4,276666119

73     1,863322860     4,290459441

74     1,869231720     4,304065093

75     1,875061264     4,317488114

76     1,880813592     4,330733340

77     1,886490725     4,343805422

78     1,892094603     4,356708827

79     1,897627091     4,369447852

80     1,903089987     4,382026635

81     1,908485019     4,394449155

82     1,913813852     4,406719247

83     1,919078092     4,418840608

84     1,924279286     4,430816799

85     1,929418925     4,442651256

86     1,934498451     4,454347296

87     1,939519253     4,465908119

88     1,944482672     4,477336814

89     1,949390007     4,488636370

90     1,954242509     4,499809670

91     1,959041393     4,510859507

92     1,963787827     4,521788577

93     1,968482948     4,532599493

94     1,973127853     4,543294782

95     1,977723605     4,553876892

96     1,982271233     4,564348191

97     1,986771734     4,574710979

98     1,991226076     4,584967479

99     1,995635195     4,595119850

100    2               4,605170186

 

 


 

 

Voir

*    Constantes de l'univers 

*    Constantes Mathématiques

*    Exemple de conversion

*    Exponentielles

*    Exposants et puissances

*    ExposantsIndex

*    log 2 est irrationnel

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*    Nombre premier record

*    Table de log (historique)

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*    Théorie des nombres

DicoNombre

*    0,301 …

*    0,693 …

*    Nombre 2

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