NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Nombres et horloges

>>> ISOCHRONISME

>>> HORLOGE et position des aiguilles

>>> Paradoxe de l'horloge

 

 

 

Précision

En 1721, George Graham construit une pendule

dont précision atteignait une seconde par jour.

EN utilisant des lasers très stables, on sait désormais comparer deux horloges optiques via une liaison par fibre optique de 1 500 kilomètres (de Paris à Brunswick, en Allemagne). Grâce à un aller-retour de la lumière, les perturbations sont mesurées et compensées.

Il y a une vingtaine d'horloges optiques dans le monde, dernière générations des horloges atomiques. Elles prennent moins d'une seconde de retard en 13 milliards d'années, l'âge de l'Univers.

Janvier 2017

 

 

Question

Pouvez-vous dire dans quel contexte

cette égalité est réalisable:

         9 + 6 = 3

Réponse

En fait, il s'agit des heures:

         9 h + 6 h = 15 h ou 3 h

En langage mathématique, on écrit plutôt:

Question

Pouvez-vous dire dans quel contexte

cette égalité est réalisable:

       8 + 6 = 8 – 6

Réponse

Il s'agit également de calculs sur les heures. Dans les deux cas, il est 2 heures.

Voir Calcul de l'horloge ou calcul modulo / Égalités affolantes

 

 

 

 

HORLOGE

 

Deux sources d'émerveillement:

*       comment ça marche

*       la position des aiguilles

 


 

HORLOGE à folio

 

Voici un exemple qui me semble bien clair pour expliquer le fonctionnement:

 

*       le poids est suspendu à une corde enroulée sur une poulie.

*       la poulie sous l'effet de la traction du poids devrait se mettre à tourner et débobiner la corde.

*       c'est ce qu'elle va faire, mais … tranquillement!

 

*       qu'est-ce qui la contraint à une certaine lenteur?

*       c'est le balancier horizontal en haut, lesté d'une masselotte de chaque côté.

*       ce balancier va être entraîné dans un mouvement de va- et vient, d'oscillation.

*       en effet, la roue crantée (en forme de couronne de roi- dite roue à rochet) est entraînée par le mouvement de la poulie à travers divers engrenages.

*       notez la présence en haut et en bas de l'axe du balancier d'un petit ergot qui entrave la marche de la roue crantée, qui l'empêche de prendre de la vitesse.

*       cette entrave se fera au rythme du mouvement du balancier, laissant s'échapper un cran de la roue dentée à l'aller du balancier, puis le suivant au retour.

*       il ne reste plus qu'à adapter un train de pignons qui fera tourner l'aiguille des heures et celle des minutes.

 

horloge1

Le balancier du haut lâche la roue dentée au "goutte à goutte", cran par cran.

Anglais: Clocks have usually an hour hand and a minute hand

Notez la façon de dire aiguille

Horlogerie se traduit par HOROLOGY

 

Pendules à l'heure

Remettre les pendules à l'heure = remettre les choses en place, dire les quatre vérités, renvoyer dans ses vingt-deux.

Une pendule arrêtée est à l'heure deux fois par jour.

Une pendule qui retarde (ou avance) d'une minute par jour devra attendre 12 x 60 = 720 jours avant de se retrouver à la bonne heure. 

 

 

 

Nombres et horloges

 

*    Il y a:

*      12 nombres sur le cadran de l'horloge, et

*      15 chiffres sur le cadran de l'horloge.

 

*    On y utilise fréquemment les chiffres romains    >>>

 

*    L'horloge d'une église sonne 336 coups par jour:

*      Les heures: 1 + 2 + 3 + … + 12 = 12 x 13 / 2 = 78;

*      La répétition des heures quelques minutes après les heures: 78;

*      Les demi-heures: 12.

*      Total  78 + 78 + 12 pour une demi-journée: 168.

*      En une journée: 2 x 168 = 336 coups de marteau sur la cloche. (marteau de tintement).

 

 

Devinette sabliers

Deux sabliers mesurant 4 et 7 minutes. Comment mesurer 9 minutes?

Solution  / Autre présentation

 

 

 

ISOCHRONISME

 

Cas du cercle

 

*    Cas classique du pendule avec un bras de longueur fixe.

-         La période d'oscillation est dépendante de l'amplitude du balancier.

-         Les temps mis pour effectuer les oscillations ne sont pas égaux, surtout si les amplitudes sont grandes.

 

Cas de la cycloïde

 

*    Amélioration des pendules en contraignant le pendule à suivre une trajectoire de cycloïde.

-         Alors, la période des oscillations sera la même quelle que soit l'amplitude.

-         Propriété d'isochronisme de la cycloïde.

 

On réserve le mot de pendules aux horloges munies d'un balancier,

par référence au pendule de la physique.

 

 

Devinette 90°

Dans la journée, combien de fois les aiguilles de l'horloge sont-elles à 90° l'une de l'autre?

Solution

 

 

HORLOGE et position des aiguilles

Recherche

 

Quelle sont les horaires pour lesquels les aiguilles sont

*       alignées comme à midi,

*       en prolongement comme à 6 heures,

*       avec un angle de 90° comme à 3 heures, ou encore

*       avec un angle à 270° (= – 90°) comme à 9 heures.

 

Combien de fois dans la journée? La réponse n'est pas 24, mais 22 fois pour chacun de ces cas. Pourquoi? Voyons cela.

 

Mise en équation de la marche des aiguilles

 

La référence pour compter les angles et la position des aiguilles à 0 h 00 min.

 

La grande aiguille fait un tour toutes les 60 minutes. Son angle (G) en degrés avec la référence est égal à:
     G =  6m
si m compte les minutes. 
Ex: m = 15 minutes => G = 15 x 6 = 90°.

La petite aiguille avance plus lentement et elle est positionnée au niveau de l'heure indiquée:
   P = 30h + m/2
Ex: 10h10 => 10 x 30 + 10/2 = 305°.

 

 

60 minutes de marche pour la petite aiguille = 30°. Soit m/2 degrés pour m minutes de marche.

 

 

Aiguille superposées

 

Nous cherchons les valeurs telles que G = P

 

Soit: 6m = 30h + m/2

 

Ex: h = 1 => m = 5,4545…
et l'heure  de coïncidence est:
   1 h 5,45 min
ou développé en minutes et secondes:
    1 h 05 min 27, 27… sec

 

Après 11 heures, les minutes dépassent 60; d'où une correction en retirant 60 minutes et en ajoutant 1 aux heures.

Remarquez que les horaires de coïncidences l'après-midi sont ceux du matin.

Au total 22 coïncidences. C'est le passage aux 11 heures 60 minutes qui occasionne un saut éliminant une des occurrences.

 

 

Aiguille à 90°

 

Nous cherchons les valeurs telles que G = P + 90

 

Soit: 6m = 30h + m/2 + 90

 

Ex: h = 0 => m = 16,3636…
et l'heure  de coïncidence est:
   1 h 16,36 min
ou développé en minutes et secondes:
    1 h 16 min 21,81… sec

 

Le débordement des minutes intervient cette fois à 8h 60 min. D'où 22 configurations seulement et non 24.

 

Notez que cette fois comme pour le cas précédent, on passe d'une configuration à la suivante en progressant de:
     5,4545… minutes = 60/11

 

 

 

Allure du graphe pour les aiguilles à 90°

Point noirs: les aiguilles sont à 90°. Points rouges à 90° avec traversée de l'origine des angles en 0.

Tracé vert: écart de 90°  qui coupe la ligne 90° jusqu'à 8 heures.

Tracé violet: écart 270°  qui coupe la ligne 90° à partir de 9h

C'est ce phénomène de retournement de la mesure de l'angle qui explique les 11 points noirs au lieu de 12.

 

Le phénomène de passage à travers l'origine des mesures des angles

qui explique le fait qu'il n'y pas de configuration en 8 heures

 

 

Devinette 90° – Solution

Dans la journée, combien de fois les aiguilles de l'horloge sont-elles à 90° l'une de l'autre?

À raison de deux fois par heure, la réponse semblerait être 24. Un examen attentif (ci-dessus) montre que c'est 22. C'est 12h 45 qui crée le déraillement

 

Retour

 

 

A stopped clock tells the correct time twice a day.

Une horloge arrêtée donne l'heure deux fois par jour.

Voir Expressions avec deux / Pensées & humour

  

 

Paradoxe de l'horloge

 

Analogie avec le paradoxe du nénuphar ou de l'escargot dans le puits

 

Énigme

L'horloge a un gros problème de sensibilité à la température: le jour elle retarde de 1/2 minute le jour et elle retarde de 1/3 de minute la nuit.

Quand l'horloge aura-t-elle atteint une minute de retard?

 

Premier raisonnement

En 24 heures, le bilan est:

-1/2 + 1/3 = -1/6

Il faudra donc:

1 / (1/6) = 6 jours.

 

Second raisonnement

En y regardant de plus près, il y aura un jour où le retard sera atteint du fait du retard pris le jour.

En effet à la fin du jour 3, le retard est de

3  x 1/6 = 1/2

Or, durant le jour elle va retarder d'une demi-minute:

1/2 + 1/2 = 1 minute de retard

La bonne réponse est donc:

Le retard de 1 minute est atteint à la fin du jour du jour 4.

 

 

Graphe

Les flèches rouges montrent le passage à une minute de retard

soit en cumulé (raisonnement 1) ou en instantané (raisonnement 2).

 

 

Devinette sabliers – Solution

Deux sabliers mesurant 4 et 7 minutes. Comment mesurer 9 minutes?

Voici la solution en image:

Au bout des 8 min mesurées avec le premier sablier, l'astuce consiste à retourner à nouveau le sablier de 7 min qui vient d'égrainer une seule minute. En le retournant, le sable s'écoule à nouveau en une minute.

 Retour  / Énigmes de transvasement /  Jeux et énigmes

 

 

 

 

 

 

Suite

*    Histoire de la mesure du temps

*    Lire les fractions sur l'horloge

*    Comparaison des fractions sur l'horloge

*    Mathématiques comme les horloges

*    Horloge et ondes

Voir

*    1 à 12 avec des 9 – Horloge des 9

*    10 h10, pourquoi ?

*    Année

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Film

*    Hugo Cabret de Martin Scorcese: le monde des horloges géantes en 3D et hommage à Georges Méliès

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