NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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DIVISION

 

Débutants

Division

Divisibilité

 

Glossaire

Division

 

INDEX

Divisibilité

 

Introduction

Récapitulatif

 Par 641

Critères généraux

Terminale Spécialité

 

Sommaire de cette page

>>> Propriétés

>>> Calculette

>>> Calcul à la main

>>> Méthode classique

>>> Méthode astucieuse

>>> Programmation

 

 

 

 

DIVISIBILITÉ par 641

 

Nombre de Fermat n°5: divisible par 641.

 

Enjeu historique: on savait que les nombres de Fermat inférieurs à F5 étaient tous premiers. Fermat, lui-même, conjecturait qu'ils étaient tous premiers. On sait qu'ils sont tous composés à partir de F5 et jusqu'à F31.

 

Aujourd'hui: Sachant que ce nombre est divisible par 641, plusieurs méthodes de calcul sont possibles: à la main, calculette ou via les congruences classiquement ou via une astuce. Ne connaissant pas 641, la méthode directe consisterait à écrire un programme pour détecter cette valeur.

 

Voir Règles générales de divisibilité

 

 

Propriétés

 

Le nombre de Fermat F5 est composé.

Il est divisible par 641.

 

Autres puissances de 2

mod 641

 

N = r mod m veut dire que N divisé par m donne un reste r.

 

232  – 1 mod 641

264     1 mod 641

296  – 1 mod 641

etc.

 

 

 

 

Calculette

 

Calculette: la touche Mod permet un calcul immédiat. Sans cette touche, le calcul proposé ci-contre est facile à réaliser sur la calculette.

 

Les deux touches à utiliser

 

 

232 = 4 294 967 296; divisé par 32 = 6 700 416,99

     et 6 700 416  x 641 = 4 295 159 597

     soit 1 de moins que 232.

     Donc: 232  – 1 mod 641.

 

Certains affirment même que le calcul de la division à la main est un excellent exercice. Cependant, les démonstrations algébriques ci-dessous montrent où se nichent les beautés mathématiques.

 

 

 

Calcul à la main

 

 

Démonstration classique

 

Quel est le reste de la division de 232 par 641?

 

Notez la tactique algébrique pour s'approcher de 641 et ainsi faire tous les calculs de tête.

 

On se souviendra que:

640   – 1 mod 641.

 

 

 

 

En mod 641:

28  256

 

216 = 2828

       256 x 256 = 64 x 4 x 256

       64 x 1024 = 64 (1020 + 4) = 64 x 1020 + 256

      = 640 x 102 + 256

       256 + (-1) x 102 = 154

 

232 = 216216

        1542 = 14² x 11² = 196 x 121

       = (64 x 3 + 4) (64 x 2 – 7)

       = 6 x 64² + 8 x 64 – 21 x 64 – 28

       = 64 (384 + 8 – 21) – 28

       = 64 x 371 – 28 = 64 (370 + 1) – 28

       = 640 x 37 + 64 – 28 = 640 x 37 + 36

        36 + (–1) x 37 = –1

 

232         – 1 mod 641

232 + 1     0 mod 641

 

 

 

Démonstration astucieuse (Coxeter)

La barre verticale veut dire: divise.

 

On utilise l'identité remarquable:

n4 – 1 = (n + 1) ( …)

avec n = 5 x 27

 

641= 54 + 24 = 5 x 27 + 1

 

641  (54 + 24) x 228 = 228 x 54 + 232

                                     = (5 x 27)4 + 232

                                     = (5 x 27)4 – 1 + 1 + 232

641 232  + 1) = F5

 

 

 

Programmation

 

Le programme Maple est archi-simple et son exécution est instantanée.

 

N prend la valeur du nombre de Fermat.

Boucle  avec m qui prend toutes les valeurs de 2 à 1000 (c'est large).

R est le reste de la division, cad. le modulo de N par m.

Si ce reste est nul, on imprime la valeur de m.

Seul résultat: m = 641.

 

 

Même programme pour le nombre de Fermat suivant.

 

Dans ce cas la boucle examine un million de cas en quelques secondes.

 

 

5, ``(5)

17, ``(17)

257, ``(257)

65537, ``(65537)

4294967297, ``(641)

          *``(6700417)

etc.

 

 

Ceci-dit, Maple dispose d'une instruction qui donne la directement factorisation (ifactor).

 

Compte tenu de la quantité de chiffres (78 pour pour F8), la factorisation au-delà de F7 prend énormément de temps et devient vite impossible.

 

Voir ProgrammationIndex

 

 

 

 

 

 

 

Suite

*         Divisibilité par 576

*         Calcul modulo – Exemples

Voir

*         Nombres de Fermat

*         Fermat – Petit théorème

*         Nombres magiquesIndex

*         Théorie des nombresIndex

Diconombre

*         Nombre 641

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