NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Nombres

 

 

INDEX

 

Théorie des nombres

 

Introduction

Mod 9, 10, 11

Applications

Jeux

Théorie

Carrés

Propriétés

Calculs

Parité

7 ^ 7 ^ 7

Carrés et Cubes

Sun Zi

1110 = 32 mod 71

Terminale S

 

Sommaire de cette page

>>> Pièces de monnaies

>>> Grand nombre …

 

 

 

 

 

  

CONGRUENCES

Exemple de calculs

 

 

 

PIÈCES DE MONNAIE

 

Utilisation des congruences (modulo)

pour résoudre un problème de pièces de monnaie

 

J'achète 351 euros avec un lot de pièces de 17 et 18 euros.

Combien de pièces de chaque?

 

On pose l'équation

18 x + 17 y

= 351

On cherche une solution simple, en utilisant le fait que 17 et 18 sont deux nombres consécutifs

18 – 17

18 x 351 – 17 x 351

=     1

= 351

Retranchons membre à membre  les deux équations

18 x + 17 y

18 x 351 – 17 x 351

= 351

= 351

Résultat

18(x - 351)

= – 17(y + 351)

Et pour x

x

= – 17(y + 351)/18 + 351

Si on divise x par 17, on obtient les restes suivants (x mod 17)

x mod 17

= 0 + 351 mod 17

Or, le reste de 351 par 17 est 11

x mod 17

= 11

Autrement dit x est un multiple de 17 plus 11

x

= 17 k + 11

Même chose pour y

y

= – 18(x - 351) /17   – 351

En reste par 18

y mod 18

= 9 (ou -9)

Valeur de y

y

= – 18 k' + 9

Essayons k= k' = 0

18 x 11 + 17 x 9

= 198 + 153 = 351

Avec d'autres valeurs, on trouve des valeurs trop grandes pour x ou négatives pour y

18 x 28 + 17 x 9

18 x 11 – 17 x 9 

= 657

= 45

Seule solution

x = 11

et y = 9

 

 

 

Grand nombre …

 

Démontrez que N = 101 million + 10 est divisible par 13

 

Avec 10, il manque 3 pour arriver à 13.

Élévation au carré.

Effectivement 100 = 7x13 + 9

Poursuivons en prenant le cube.

Super! Car le 1, élevé à une puissance quelconque, donne toujours 1.

Pour approcher le million proposé en exposant.

L'exposant est impair, le signe moins est conservé.

En multipliant par 10.

Reste à ajouter 10 pour avoir N.

 

Exemple donné par Malcom Lines dans: Dîtes un chiffre – Champs Flammarion - 1990

 

 

 

 

 

Suite

*    Problème de Sun Zi – Autre exemple de calculs

*    Puissances de 2 mod 641

Voir

*    JeuxIndex

*    Équations

*    Divisibilité

*    Clé de divisibilité, une application de la théorie du modulo

*    La division

*    Exemple d'application du modulo en Codage RSA

Aussi

*    Calcul mental

*    Géométrie

*    Nombres Premiers

*    Nombres Rationnels

*    Preuve par 9Glossaire

*    Théorie des nombres

*    Variations sur les carrés

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