NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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PUISSANCE de 2

 

Débutants

Puissance

Nombres de

Fermat et Mersenne

 

Glossaire

Puissance

 

 

INDEX

 

Puissance

Décomposition

Puissance de 2

 

FERMAT  (biographie)

MERSENNE (biographie)

Nombres de Fermat

Nombres de Mersenne

Valeurs et facteurs

Valeurs et facteurs

Diviseurs

Sommaire de cette page

>>> Nombres de Fermat

>>> Point des connaissances en fin 2017

>>> Quelques nombres de Fermat particuliers

>>> Record

>>> Fermat et voisins

 

 

 

Nombres de FERMAT

 

 

Liste de valeurs et commentaires.

 

 

NOMBRES de FERMAT

F0 =

21 + 1

= 3

*    Tous les cinq sont premiers. Peut-être les seuls?

*    Les cinq seuls nombres de Fermat premiers connus. Fermat conjecturait qu'ils étaient tous premiers.

On sait en 2017:

*    F11 est le grand petit Fermat factorisé complétement

*    F33 est le plus petit indéterminé.

*    F2 543 548 est le plus grand composé.

F1 =

22 + 1

= 5

F2 =

24 + 1

= 17

F3 =

28 + 1

= 257

F4 =

216 + 1

= 65 537

 

Point des connaissances en fin 2017

 

F5 =

232 + 1

= 4 294 967 297

Non premier – Démonstration

 

 

= 641 x 6 700 417

Vu par Euler – 1732

F6 =

264 + 1

=> 20 chiffres

 

 

= 18 446 744 073 709 551 617

= 274 177 x 67 280 421 310 721

Vu par Landry et Le Lasseur – 1880

Voir Recherche par programmation

F7 =

2128 + 1

=> 39 chiffres

= 340282366920938463463374607431768211457

= (29 x 116 503 103 764 643 + 1) x

(29 x 11 141 971 095 088 142 685 + 1)
= 59649589127497217 x

5704689200685129054721

Divisibilité trouvée en 1909 par Moorhead et Western

Facteurs trouvés en 1970 par Morrison et Brillhart

En colonne de droite: le découvreur du facteur le plus récent

Autres découvreurs voir le site indiqué en fin de tableau

F8

=> 78 chiffres

=  11579208 9237316195 4235709850 0868790785

3269984665 6405640394 5758400791 3129639937

= 1 238 926 361 552 897 x 93 4616397153 5797776916 3558199606 8965840512 3754163818 8580280321

Dernier facteur premier de 62 chiffres

 1980

Brent et Pollard

F9

= 2424833 x

7455602825647884208337395736200454918783366342657

x 7416400626 2753080152 4787141901 9374740599 4078109751 9023905821 3161444157 595047050 0809281871 1693940737(99 chiffres)

Premier facteur en 1903 par Western

1990

Lenstra et Manasse

F10

= 45592577 x 6487031809 x

4659775785220018543264560743076778192897 x P252

Premier facteur en 1953 par Selfridge; facteur n°2 par Brillhart en 1962

1995

Brent

F11

= 319489 x 974849 x  167988556341760475137 x

3560841906445833920513 x P564

 Facteurs 1 et 2 par Cunningham en 1899; autres facteurs par Brent en 1988; dernier facteur détecté comme premier par Morain en 1988

1988

Brent et Morain

<F12

Tous factorisés.

F12

= ( 7 x 214 + 1) x b

= 114689 x 26017793 x 63766529 x

190274191361 x 1256132134125569 x 5686 3064753535 6955169033 4109408678 0483936074 2060818433 · C1133

C composé non connu de 1123 chiffres

2010

Michael Vang, Zimmermann & Kruppa

5686 3064753535 6955169033 4109408678 0483936074 2060818433

Ce facteur (54 chiffres) de C1187 a été trouvé en utilisant la méthode GMP-ECM (Elliptic curve method for integer factorization. Cette méthode est adaptée à la recherche de facteurs d'une cinquantaine de chiffres (environ) dans de très grands nombres.

GMP est une bibliothèque de programmes d'arithmétique spécialisés pour le traitement des très grands nombres.

Le nombreC1133 est composé, hors de portée des programmes de factorisation actuels. On peut cependant conserver l'espoir d'obtenir un nouveau facteur avec la méthode ECM.

Merci à Éric J. pour m'avoir signalé cette mise à jour

F13

= 2710954639361 x 2663848877152141 x 3603109844542291969 x 319546020820551643220672513 x C2 391

1995

Brent

F14

1169 2808587307 4369829035 9938345963 7134038670 3423373313 x C4880

2010

Rajala

Woltman 

 

F15

=1214251009 x 2327042503868417 x 168768817029516972383024127016961 x C9 808   1997 – Crandall et van Halewyn

F16

= 825753601 x 188981757975021318420037633 x C19 694

               1996 – Crandall et Dilcher

F17

= 31065037602817 x 775106109 9802522589 3589670583 9288692269 3580423169 x C39 395       2011 – Bessell et Woltman

F18

= 13631489 x 81274690703860512587777 x C78 884

                1999 – Crandall; McIntosh et Tardif

F19

= 70525124609 x 646730219521

x 37590055514133754286524446080499713 x C157 770

                      2009 – Bessell et Woltman

F20

Composé (Buell et Young – 1987); aucun facteur connu

F21

= 4485296422913 x C631 294      1963 – Wrathall

F22

Composé (Crandall, Doenias, Norrie et Young – 1993, et indépendamment: Carvalho et Trevisan – 1993);

64658705994591851009055774868504577 x C1 262 577

              2010 – Bessell et Woltman

F23

= 167772161 x C2 525 215     1878 – Pervushin

F24

Composé (Mayer, Papadopoulos et Crandall – 1999); aucun facteur connu

F25

= (48413 . 229 +1) x (1522849979 . 227 +1) x (16168301139 . 227 +1) x K

F26

= (143165 . 229 +1) x K

F27

= (141015 . 230 +1) x (430816215 . 229 +1) x K

F28

= (25709319373. 236 +1) x K

F29

= (1120049. 231 +1) x K

F30

= (149041 . 232 +1) x (127589 . 233 +1) x K

F31

= (5463561471303. 233 +1) x K

F32

= (1479. 234 +1) x K

< F32

De 5 à 32, ils sont tous composés dont 2 sans facteur connu: 20 et 24.

> F32

F36, 37, 38, 39, 42, 43, 48, 52, 55, 58, ... composés

F33, 34, 35, 40, 41, 44, 45, 46, 47, 19, 50 … inconnus

Liste largement inspirée de celle de Ribenboim – 2004

et synchronisée avec  celle de Wilfrid Keller – 11/2017

 

Quelques nombres de Fermat particuliers

F 287

En 2017, le plus grand nombre de Fermat ayant plus de deux facteurs connus: deux ne 2016 et un en 1980.

2016 Maznichenko

1980 Suyama

F 666

Divisible par 217924552867 · 2668 + 1

2014

R. Maznichenko

F 1 296

Divisible par 58951871175 · 21299 + 1

2016

Gary Gostin

F 1 945 

Ce nombre composé dépasse de loin le nombre de noyaux atomiques et de particules dans l'Univers!

 

F 1 680

Divisible par 26778342591 · 21683 + 1

2016

Gary Gostin

F 2 123

Divisible par 9659599821 · 22125 + 1

2016

Gary Gostin

F 3 056

Divisible par 3370842847 · 23058 + 1

2017

Gary Gostin

F 3 310

(5 x 23 313 + 1) x b

Jusqu'à 3 310, on connaît de nombreux Fn composés.

Mais on ignore encore ce qui se passe (premier ou composé) pour certaines valeurs à partir de n =31.

1980

F 6 537

(17 x 26 539 +1) x b

 

F 9 448

(19 x 29 450 + 1) x b

1980

Keller

F 14 587

Divisible par 24142479 · 214590 + 1

2016

Adolf Nordin

F 18 345

Divisible par 15071297 · 218347 + 1

2017

Gary Gostin

F 18 933

Divisible par 15175951 · 218936 + 1

2017

Gary Gostin

F 23 471

(5 x 223 473 + 1) x b

avec plus de 107 000 chiffres

1985

Keller

F 303088

Composé record

1998

F 382 447

Composé record, découvert en 1999 par John Cosgrave et Gallot

Après avoir trouvé que 3 x 2 382 449 + 1 est premier, un record également. Programme d'Yves Gallot.

Ce nombre astronomique s'écrit avec 10 115 127

1999

F 2 145 351

= (3 x 22 145 353 + 1) x K

Facteur avec 645 817 chiffres

2003

Cosgrave

F 2 543 548

Composé record 2011

= (9. 22 543 551 +1) x K

Scott Brown, Reynolds, Penné & Fougeron

F 3 329 780

Composé record 2014

= (193. 23 329 782 +1) x K

R. Ottusch, Reynolds, Penné & Fougeron

Bilan

Parmi les nombres de Fermat

*        5 sont connus pour être premiers;

*    292 sont connus comme étant composés;

*    336 facteurs sont connus.

2017

Liste largement inspirée et de celle de Wilfrid Keller mise à jour en décembre 2017

 

 

Un motif premier (presque!)

sont premiers jusqu'au 15e nombre.

Le 16e ne l'est pas (Selfridge- 1953)

 

 

 

Autour de Fermat

 

*    Quels sont les nombres premiers de Fermat et leurs voisins? 

 

 



*    Exploration de n = 0 à 6 avec addition de 0 à 9, soit 70 nombres de Fermat (jaune) ou voisins. Parmi eux, 17 sont premiers (1/4) dont les cinq plus petits nombres de Fermat.

*    Tous les nombres en +2 sont composés.

 

 

Grand Merci pour la contribution d'Éric Jeancolas un amateur des Nombres de Fermat

 

 

Suite

*         Diviseurs de Fn

*         Voir en haut de page

Voir

*         Mersenne

*         Harshad

*           Théorie des nombresIndex

*         Nombres par leur nom 

Livre

*           The Little book o Bigger primes – Paulo Ribenboim – Springer – 2004– 535 pages – Disponible en pdf

Sites

*           Liste et facteurs connus à ce jour par Wilfrid Keller

*           Distributed search for Fermat numbers divisors

*         Format number record - John Cosgrave

*           Prime factors  k · 2n + 1  of Fermat numbers  Fm and complete factoring status – Compiled by Wilfrid Keller and Dmitry Bodyagin

*           Fermat Number – Wolfram MathWorld

*           OEIS A000215 – Fermat numbers: a(n) = 2^(2^n) + 1.

*           OEIS A023394 – Prime factors of Fermat numbers.

*           Distributed Search for Fermat Number Divisors

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Decompos/Fermatva.htm