NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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PUISSANCE de 2

 

Débutants

Puissance

Nombres de

Fermat et Mersenne

 

Glossaire

Puissance

 

 

INDEX

 

Puissance

Décomposition

Puissance de 2

 

FERMAT  (biographie)

MERSENNE (biographie)

Nombres de Fermat

Nombres de Mersenne

Valeurs et facteurs

Valeurs et facteurs

Diviseurs

Sommaire de cette page

>>> Nombres de Fermat

>>> Record

>>> Fermat et voisins

 

 

 

Nombres de FERMAT

 

 

Liste de valeurs et commentaires.

 

 

NOMBRES de FERMAT

F0 =

21 + 1

= 3

*    Tous les cinq sont premiers. Peut-être les seuls?

*    Les cinq seuls nombres de Fermat premiers connus. Fermat conjecturait qu'ils étaient tous premiers.

On sait en 2011:

*    F11 est le grand petit Fermat factorisé

*    F33 est le plus petit indéterminé.

*    F2 543 548 est le plus grand composé.

F1 =

22 + 1

= 5

F2 =

24 + 1

= 17

F3 =

28 + 1

= 257

F4 =

216 + 1

= 65 537

 

F5 =

232 + 1

= 4 294 967 297

Non premier – Démonstration

 

 

= 641 x 6 700 417

Vu par Euler – 1732

F6 =

264 + 1

=> 20 chiffres

 

 

= 18 446 744 073 709 551 617

= 274 177 x 67 280 421 310 721

Vu par Landry et Le Lasseur – 1880

Voir Recherche par programmation

F7 =

2128 + 1

=> 39 chiffres

= 340282366920938463463374607431768211457

= (29 x 116 503 103 764 643 + 1) x

(29 x 11 141 971 095 088 142 685 + 1)
= 59649589127497217 x

5704689200685129054721

Divisibilité trouvée en 1909 par Moorhead et Western

Facteurs trouvés en 1970 par Morrison et Brillhart

F8

=> 78 chiffres

=  11579208 9237316195 4235709850 0868790785

3269984665 6405640394 5758400791 3129639937

= 1 238 926 361 552 897 x P62

P62 = facteur premier de 62 chiffres

 1981

F9

= 2424833 x

7455602825647884208337395736200454918783366342657

x P99

1990

F10

= 45592577 x

6487031809 x

4659775785220018543264560743076778192897

x P252

1995

Brent

F11

= 319489 x

974849 x

167988556341760475137 x

3560841906445833920513

x P564

1988

Brent et Morain

F12

= ( 7 x 214 + 1) x b

= 114689 x 26017793 x 63766529 x

190274191361 x 1256132134125569 x C1187

C composé non connu de 1187 chiffres

2010

Michael Vang

C1187 = 5686 3064753535 6955169033 4109408678 0483936074 2060818433 x C1133

Ce facteur (54 chiffres) de C1187 a été trouvé en utilisant la méthode GMP-ECM (Elliptic curve method for integer factorization. Cette méthode est adaptée à la recherche de facteurs d'une cinquantaine de chiffres (environ) dans de très grands nombres.

GMP est une bibliothèque de programmes d'arithmétique spécialisés pour le traitement des très grands nombres.

Le nombreC1133 est composé, hors de portée des programmes de factorisation actuels. On peut cependant conserver l'espoir d'obtenir un nouveau facteur avec la méthode ECM.

Merci à Éric J. pour m'avoir signalé cette mise à jour

2010

Michael Vang

< F13

Tous factorisés dont F12 pas encore complètement.

 

< F31

Tous composés avec un diviseur connu.

 

> F31

F36, 38, 39, 55, 63, 73... composés

 

 

F 1 945 

Ce nombre composé dépasse de loin le nombre de noyaux atomiques et de particules dans l'Univers!

 

F 3 310

(5 x 23 313 + 1) x b

Jusqu'à 3 310, on connaît de nombreux Fn composés.

Mais on ignore encore ce qui se passe (premier ou composé) pour certaines valeurs à partir de n =31.

1980

F 6 537

(17 x 26 539 +1) x b

 

F 9 448

(19 x 29 450 + 1) x b

1980

F 23 471

(5 x 223 473 + 1) x b

1984

F 303088

Composé record

1998

F 382 447

Composé record, découvert en 1999 par John Cosgrave

Après avoir trouvé que 3 x 2 382 449 + 1 est premier, un record également. Programme d'Yves Gallot.

Ce nombre astronomique s'écrit avec 10 115 127

1999

F 2 543 548

Composé record

2011

 

 

Autour de Fermat

 

*    Quels sont les nombres premiers de Fermat et leurs voisins? 

 

 



*    Exploration de n = 0 à 6 avec addition de 0 à 9, soit 70 nombres de Fermat (jaune) ou voisins. Parmi eux, 17 sont premiers (1/4) dont les cinq plus petits nombres de Fermat.

*    Tous les nombres en +2 sont composés.

 

 

 

 

 

Suite

*         Diviseurs de Fn

*         Voir en haut de page

Voir

*         Mersenne

*         Harshad

*           Théorie des nombresIndex

*         Nombres par leur nom 

*           Liste et facteurs connus à ce jour par Wilfrid Keller

*           Distributed search for Fermat numbers divisors

*         Format number record - John Cosgrave

*         Prime factors  k · 2n + 1  of Fermat numbers  Fm and complete factoring status – Compiled by Wilfrid Keller and Dmitry Bodyagin

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http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Decompos/Fermatva.htm