NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 17/01/2023 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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Nombres de FERMAT

Liste de valeurs et commentaires.

NOMBRES de FERMAT
F0 =	2^1 + 1	= 3	Tous les cinq sont premiers. Peut-être les seuls? Les cinq seuls nombres de Fermat premiers connus. Fermat conjecturait qu'ils étaient tous premiers. On sait en 2017: F11 est le grand petit Fermat factorisé complétement F33 est le plus petit indéterminé. F2 543 548 est le plus grand composé.
F1 =	2^2 + 1	= 5
F2 =	2^4 + 1	= 17
F3 =	2^8 + 1	= 257
F4 =	2^16 + 1	= 65 537

Point des connaissances en fin 2017

F5 =	2^32 + 1	= 4 294 967 297 Non premier – Démonstration
		= 641 x 6 700 417 Vu par Euler – 1732
F6 =	2^64 + 1	=> 20 chiffres
		= 18 446 744 073 709 551 617 = 274 177 x 67 280 421 310 721 Vu par Landry et Le Lasseur – 1855 Voir Recherche par programmation
F7 =	2^128 + 1	=> 39 chiffres = 340282366920938463463374607431768211457 = (2^9 x 116 503 103 764 643 + 1) x (2^9 x 11 141 971 095 088 142 685 + 1) = 59649589127497217 x 5704689200685129054721 Divisibilité trouvée en 1909 par Moorhead et Western Facteurs trouvés en 1970 par Morrison et Brillhart

En colonne de droite: le découvreur du facteur le plus récent

Autres découvreurs voir le site indiqué en fin de tableau

F8	2^256 + 1 => 78 chiffres = 11579208 9237316195 4235709850 0868790785 3269984665 6405640394 5758400791 3129639937 = 1 238 926 361 552 897 x 93 4616397153 5797776916 3558199606 8965840512 3754163818 8580280321 Dernier facteur premier de 62 chiffres	1980 Brent et Pollard
F9	2^512 + 1 => 155 chiffres 134078079299425970995740249982058461274793658205923933777235614437217640 300735469768018742981669034276900318581864860508537538828119465699464336 49006084097 = 2424833 x 7455602825647884208337395736200454918783366342657 x 7416400626 2753080152 4787141901 9374740599 4078109751 9023905821 3161444157 595047050 0809281871 1693940737(99 chiffres) Premier facteur en 1903 par Western	1990 Lenstra et Manasse
F10	2^1024 + 1 => 309 chiffres 179769313486231590772930...304835356329624224137217 = 45592577 x 6487031809 x 4659775785220018543264560743076778192897 x P252 Premier facteur en 1953 par Selfridge; facteur n°2 par Brillhart en 1962	1995 Brent
F11	2^2048 + 1 => 617 chiffres 323170060713110073007148...193555853611059596230657 = 319489 x 974849 x 167988556341760475137 x 3560841906445833920513 x P564 P564 = 173462447179147555430258...491382441723306598834177 Facteurs 1 et 2 par Cunningham en 1899; autres facteurs par Brent en 1988; dernier facteur détecté comme premier par Morain en 1988	1988 Brent et Morain
<F12	Tous factorisés.
F12	= ( 7 x 2^14 + 1) x b = 114689 x 26017793 x 63766529 x 190274191361 x 1256132134125569 x 5686 3064753535 6955169033 4109408678 0483936074 2060818433 · C1133 C composé non connu de 1123 chiffres	2010 Michael Vang, Zimmermann & Kruppa
	5686 3064753535 6955169033 4109408678 0483936074 2060818433 Ce facteur (54 chiffres) de C1187 a été trouvé en utilisant la méthode GMP-ECM (Elliptic curve method for integer factorization. Cette méthode est adaptée à la recherche de facteurs d'une cinquantaine de chiffres (environ) dans de très grands nombres. GMP est une bibliothèque de programmes d'arithmétique spécialisés pour le traitement des très grands nombres. Le nombreC1133 est composé, hors de portée des programmes de factorisation actuels. On peut cependant conserver l'espoir d'obtenir un nouveau facteur avec la méthode ECM. Merci à Éric J. pour m'avoir signalé cette mise à jour
F13	= 2710954639361 x 2663848877152141 x 3603109844542291969 x 319546020820551643220672513 x C2 391	1995 Brent
F14	1169 2808587307 4369829035 9938345963 7134038670 3423373313 x C4880	2010 Rajala Woltman

F15	=1214251009 x 2327042503868417 x 168768817029516972383024127016961 x C9 808 1997 – Crandall et van Halewyn
F16	= 825753601 x 188981757975021318420037633 x C19 694 1996 – Crandall et Dilcher
F17	= 31065037602817 x 775106109 9802522589 3589670583 9288692269 3580423169 x C39 395 2011 – Bessell et Woltman
F18	= 13631489 x 81274690703860512587777 x C78 884 1999 – Crandall; McIntosh et Tardif
F19	= 70525124609 x 646730219521 x 37590055514133754286524446080499713 x C157 770 2009 – Bessell et Woltman
F20	Composé (Buell et Young – 1987); aucun facteur connu
F21	= 4485296422913 x C631 294 1963 – Wrathall
F22	Composé (Crandall, Doenias, Norrie et Young – 1993, et indépendamment: Carvalho et Trevisan – 1993); 64658705994591851009055774868504577 x C1 262 577 2010 – Bessell et Woltman
F23	= 167772161 x C2 525 215 1878 – Pervushin
F24	Composé (Mayer, Papadopoulos et Crandall – 1999); aucun facteur connu
F25	= (48413 . 2^29 +1) x (1522849979 . 2^27 +1) x (16168301139 . 2^27 +1) x K
F26	= (143165 . 2^29 +1) x K
F27	= (141015 . 2^30 +1) x (430816215 . 2^29 +1) x K
F28	= (25709319373. 2^36 +1) x K
F29	= (1120049. 2^31 +1) x K
F30	= (149041 . 2^32 +1) x (127589 . 2^33 +1) x K
F31	= (5463561471303. 2^33 +1) x K
F32	= (1479. 2^34 +1) x K
< F32	De 5 à 32, ils sont tous composés dont 2 sans facteur connu: 20 et 24.
> F32	F36, 37, 38, 39, 42, 43, 48, 52, 55, 58, ... composés F33, 34, 35, 40, 41, 44, 45, 46, 47, 19, 50 … inconnus

Liste largement inspirée de celle de Ribenboim – 2004

et synchronisée avec celle de Wilfrid Keller – 11/2017

Quelques nombres de Fermat particuliers

F 287	En 2017, le plus grand nombre de Fermat ayant plus de deux facteurs connus: deux ne 2016 et un en 1980.	2016 Maznichenko 1980 Suyama
F 666	Divisible par 217924552867 · 2^668 + 1	2014 R. Maznichenko
F 1 296	Divisible par 58951871175 · 2^1299 + 1	2016 Gary Gostin
F 1 945	Ce nombre composé dépasse de loin le nombre de noyaux atomiques et de particules dans l'Univers!
F 1 680	Divisible par 26778342591 · 2^1683 + 1	2016 Gary Gostin
F 2 123	Divisible par 9659599821 · 2^2125 + 1	2016 Gary Gostin
F 3 056	Divisible par 3370842847 · 2^3058 + 1	2017 Gary Gostin
F 3 310	(5 x 2^3 313 + 1) x b Jusqu'à 3 310, on connaît de nombreux Fn composés. Mais on ignore encore ce qui se passe (premier ou composé) pour certaines valeurs à partir de n =31.	1980
F 6 537	(17 x 2^6 539 +1) x b
F 9 448	(19 x 2^9 450 + 1) x b	1980 Keller
F 14 587	Divisible par 24142479 · 2^14590 + 1	2016 Adolf Nordin
F 18 345	Divisible par 15071297 · 2^18347 + 1	2017 Gary Gostin
F 18 933	Divisible par 15175951 · 2^18936 + 1	2017 Gary Gostin
F 23 471	(5 x 2^23 473 + 1) x b avec plus de 10^7 000^chiffres	1985 Keller
F 303088	Composé record	1998
F 382 447	Composé record, découvert en 1999 par John Cosgrave et Gallot Après avoir trouvé que 3 x 2^382 449 + 1 est premier, un record également. Programme d'Yves Gallot. Ce nombre astronomique s'écrit avec 10 ^115 127	1999
F 2 145 351	= (3 x 2^2 145 353 + 1) x K Facteur avec 645 817 chiffres	2003 Cosgrave
F 2 543 548	Composé record 2011 = (9. 2^2 543 551 +1) x K	Scott Brown, Reynolds, Penné & Fougeron
F 3 329 780	Composé record 2014 = (193. 2^3 329 782 +1) x K	R. Ottusch, Reynolds, Penné & Fougeron
Bilan	Parmi les nombres de Fermat 5 sont connus pour être premiers; 292 sont connus comme étant composés; 336 facteurs sont connus.	2017

Liste largement inspirée et de celle de Wilfrid Keller mise à jour en décembre 2017

Un motif premier (presque!)

sont premiers jusqu'au 15^e nombre.

Le 16^e ne l'est pas (Selfridge- 1953)

Record de facteurs des nombres de Mersenne à exposant premier

Ces nombres de Mersenne, dont l'exposant du 2 est premier, ont de plus en plus de facteurs:

1 => 2³ – 1 = 3² = 9

2 => 2¹¹ – 1 = 23 x 89 = 2047

3 => 2²⁹ – 1 = 233 x 1103 x 2089 = 536870911

4 => 2¹⁵⁷ – 1 = 852133201 x 60726444167 x 1654058017289 x 2134387368610417 = 1,826877047… 10⁴⁷

5 => 2¹¹³ – 1 = 3391 x 23279 x 65993 x 1868569 x 1066818132868207 = 1, 038459372 … 10³⁴

6 => 2²²³ – 1 = 18287 x 196687 x 1466449 x 2916841 x 596242599987116128415063 x 1469495262398780123809 = 1,347997333… 10⁶⁷

Valeurs suivantes: 491, 431, 397 …

Programme Maple

with(numtheory): kt := 1: p := 1: L := {seq(j, j = 1 .. 10)}: for i to 50 do p := nextprime(p); M := 2^p-1; F := factorset(M); f := nops(F); if member(f, L) then lprint(f, p, F, evalf(M)); L := L minus {f} end if end do:

Suite	Nombres de Fermat – Leurs voisins premiers Diviseurs de Fn Voir en haut de page
Voir	Mersenne Harshad Théorie des nombres – Index Nombres par leur nom
Livre	The Little book o Bigger primes – Paulo Ribenboim – Springer – 2004– 535 pages – Disponible en pdf
Sites	Liste et facteurs connus à ce jour par Wilfrid Keller Distributed search for Fermat numbers divisors Format number record - John Cosgrave Prime factors k · 2^n + 1 of Fermat numbers Fm and complete factoring status – Compiled by Wilfrid Keller and Dmitry Bodyagin Fermat Number – Wolfram MathWorld OEIS A000215 – Fermat numbers: a(n) = 2^(2^n) + 1. OEIS A023394 – Prime factors of Fermat numbers. Distributed Search for Fermat Number Divisors
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Decompos/Fermatva.htm