NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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DIVISION

 

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Division

 

 

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Divisibilité par 6

Critères

 

Sommaire de cette page

>>> Nombres de Fermat

>>> Nombres en n3 – n

>>> Nombres en n (n2 + 5)

 

 

 

 

DIVISIBILITÉ par 6

 

Nombres et formes polynomiales divisibles par 6.

 

Un nombre est divisible par 6 s'il est pair et si la somme de ses chiffres est divisible par 3.

         Ex: 123 456 = 3 x 41 152

 

 Voir Règles générales

 

Nombres de Fermat

Théorème

Tous les nombres de Fermat sont divisibles par 6.

 

Démonstration

On sait que:

Fn = F0 F1 F2 .... Fn-1 + 2

Avec F0 = 3:

Fn + 1 = 3. F1 F2 .... Fn-1 + 2 + 1

           = 3 (F1 F2 .... Fn-1 + 1)

Les nombres de Fermat sont impairs; plus un donne un nombre pair.

Fn + 1 = 3 x 2 x K

Donc divisible par 6.

 

 

Nombres en n3 – n

 

 

Théorème

Tous les nombres en  n3 – n

(cad: le produit de trois nombres consécutifs)

sont divisibles par 6 et même par 24 si n est impair.

 Voir Trois nombres consécutifs

 

Démonstration

 

n3 – n  = n (n² – 1)

n (n + 1) (n – 1)

(n + 1) n (n – 1)

3 nombres consécutifs

L'un d'eux est forcément divisible par 3

De plus, l'un d'eux, au moins, est pair

Ce nombre est divisible par 3 et par 2 donc par 6.

 

Propriété valable pour n3 – n + 6kn

Exemple: n3 – n + 6 n = n3 + 5n

 

Voir Divisibilité du produit de nombres consécutifs

 

 

 Nombres en n3 + 5n

 

Observations

 

 

Théorème

Tous les nombres en  n3 + 5n

sont divisibles par 6.

 

Démonstration

Elle a été donnée ci-dessus. Pour l'exercice reprenons-là.

 

Le nombre est pair

si n est pair

alors a est pair

si n est impair:

 

n = 2k + 1

a = (2k + 1) ( (2k + 1)² + 5 )

 

a = (2k + 1) ( 4k² + 4k + 1 + 5 )

 

a = (2k + 1) ( 2k² + 2k + 3 ) x 2

 

Dans les 2 cas: a est pair

 

Le nombre est divisible par 3

si n est divisible par 3

alors a est divisible par 3

si n n'est pas divisible par 3

 

n = 3k ± 1

a = (3k ± 1) ( (3k ± 1)² + 5 )

 

a = (3k ± 1) ( 9k² ± 6k + 1 + 5 )

 

a = (3k ± 1) ( 3k² ± 2k + 2) x 3

 

Dans les 2 cas: a est divisible par 3

 

 

Suite en Divisibilité des formes polynomiales

 

 

Nombres en n (n + 1) (2n + 1)

 

 

 

Observations

 

 

Tableau donnant n et P le produit n (n + 1) (2n + 1)

 

 

Puis P divisé par 6 et ses multiples.

 

 

En rouge, les divisions exactes.

 

n        P               P/6           P/12         P/24       P/48       P/96

1        6                1                                                       

2        30              5                                                       

3        84              14            7                                        

4        180            30            15                                      

5        330            55                                                      

6        546            91                                                      

7        840            140          70            35                       

8        1224           204          102          51                       

9        1710           285                                                    

10      2310           385                                                    

11      3036           506          253                                    

12      3900           650          325                                    

13      4914           819                                                    

14      6090           1015                                                  

15      7440           1240         620          310        155       

16      8976           1496         748          374        187       

17      10710         1785                                                  

18      12654         2109                                                  

19      14820         2470         1235                                   

20      17220         2870         1435                                   

21      19866         3311                                                  

22      22770         3795                                                  

23      25944         4324         2162         1081                   

24      29400         4900         2450         1225                   

25      33150         5525                                                   

26      37206         6201                                                  

27      41580         6930         3465                                   

28      46284         7714         3857                                   

29      51330         8555                                                  

30      56730         9455                                                  

31      62496         10416       5208         2604       1302       651

32      68640         11440       5720         2860       1430       715

33      75174         12529                                                

                                                         

Lecture

n (n + 1) (2n + 1)

divisible par    6   toujours

divisible par  12    pour n =   4 k et n =   4k -1

divisible par  24    pour n =   8 k et n =   8k -1

divisible par  48    pour n = 16 k et n = 16k -1

etc.

 

 

Démonstration de la divisibilité de n (n + 1) (2n + 1)

Deux nombres consécutifs sont divisibles par 2, car parmi eux il y a toujours un nombre pair.

2  n (n+1)

Supposons que n = 3k + r
Alors pour couvrir tous les nombres r vaut 1, 2 ou 3.

n = 3k + r

r = 1, 2 ou 3

Si n = 3k

Cette expression est divisible par 3.

n (n + 1) (2n + 1)

       = 3k (3k + 1) (6k + 1)

Si n = 3k + 1

Cette expression est divisible par 3.

n (n + 1) (2n + 1)

       = (3k + 1) (3k + 2) (6k + 3)

Si n = 3k + 2

Cette expression est divisible par 3.

n (n + 1) (2n + 1)

       = (3k + 2) (3k + 3) (6k + 5)

Conclusion pour ces trois cas.

Chacun des cas donne une divisibilité par 3, l'expression est divisible par 3 dans tous les cas.

3  n (n + 1) (2n + 1)

Or, elle est aussi divisible par 2.

Elle est divisible par le produit de ces deux nombre, ou plus exactement, le PPCM de ces deux nombres.

PPCM (2,3) = 6

 

 6    n (n + 1) (2n + 1)

Note: La barre verticale veut dire "divise"

          PPCM Plus Petit Commun Multiple.

 

 

Divisibilité de N =  n (n+1) (n+5) par 6

Selon le reste de la division par 6, nous avons 6 cas.

N = n (n + 1) (n + 5) = n3 + 6n2 + 5n

N = 6 k + {0, 1,  2,  3,  4,  5}

N = 6k

N = 6k (6k + 1) (6k + 5)

 divisible par 6.

N = 6k + 1

N = (6k + 1) (6k + 2) (6k + 6)

 par 6 et par 12.

N = 6k + 2

N = (6k + 2) (6k + 3) (6k + 7)

= 2 (3k + 1) x 3 (2k + 1) (6k + 7)

 par 6.

N = 6k + 3

N = (6k + 3) (6k + 4) (6k + 8)

= 3 x (2k + 1) x 2 (3k + 2) x 2 (3k + 4)

 par 6 et par 12.

N = 6k + 4

N = (6k + 4) (6k + 5) (6k + 9)

= 2 (3k + 2) (6k + 5) x 3 (2k + 3)

 par 6.

N = 6k + 5

N = (6k + 5) (6k + 6) (6k + 10)

 par 6 et par 12.

Conclusion

N = n (n +1) (n + 5) est divisible par 6 et par 12 pour tous les n sauf n = 2 + 4h (multiple de 4 + 2).

Autres du même type

N = n (n + 4) (n + 5) est divisible par 6 et par 12 pour tous les n sauf n = 1 + 4h (multiple de 4 + 1).

N = n (n + 2) (n + 4) est divisible par 3.

N = n (n + 1) k est toujours divisible par 2.

Voir  Formes comparables / Divisibilité des formes

 

 

 

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