NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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DIVISION

 

Débutants

Division

Divisibilité

 

Glossaire

Division

 

 

Index général

 

>>> INDEX

 

Index divisibilité

Par 12

Critères

 

Sommaire de cette page

>>> Critère de divisibilité par 12

 

>>> Divisibilité par 12 avec quatre nombres

      >>> Propriétés

      >>> Démonstration

 

>>> Premiers jumeaux et divisibilité par 12

      >>> Exemples de sommes de jumeaux

 

  

 

DIVISIBILITÉ par 12 

 

Critères de divisibilité, cas de divisibilités inattendues, et formes polynomiales divisibles par 12.

 

Propriété spectaculaire!

12 divise toujours le produit des différences de quatre nombres >>>

Voir Nombre 12 dans le DicoNombre

 

 

Critère de divisibilité par 12

Le nombre doit d'abord être pair.

Moyen facile d'éliminer tous les impairs d'un coup d'œil.

144 est pair

Il est divisible par 3.

1 + 4 + 4 = 9 divisible par 3

Il est divisible par 4.

44 est divisible par 4

Divisible à la fois par 3 et par 4, ce nombre est divisible par 12

144 = 12 x 12

Autre exemple

1 481 472

*       pair

*       1+4 = 5; 5 + 4 = 9; 7+2 = 9 => divisible par 3

*       72  est divisible par 4

*       ce nombre est divisible par 12:
1 481 472 = 12 x 123 456

Voir Multiplication rapide par 12

 

 

Divisibilité par 12 avec quatre nombres

Prenons les quatre premiers nombres (dans les carrés) et calculons la différence entre chaque couple (les six segments bleus et rouges).

 

Le produit de ces différences est égal à 12.

Prenons d'autres nombres quelconques mais distincts. Ils sont disposés dans l'ordre croissant pour l'esthétique.

 

Le produit de toutes les différences est encore divisible par 12.

 

 

 

Quelques exemples: le produit des différences est toujours divisible par 12

a, b, c et d sont les quatre nombres; les six Di sont les différences; P est le produit des six différences.

En marron, les facteurs qui produisent 12 ou un multiple.

 

 

 

Propriétés

 

Théorème

 

Le produit de toutes les différences entre quatre nombres distincts est divisible par 12.

 

Distincts, car deux nombres égaux produiraient une différence nulle qui mettrait a zéro le produit.

 

D'une manière générale

 

Le PGCD des produits des différences de quatre nombres quelconques distincts est égal  à 12.

 

 

Formulation

 


               

 

La barre verticale se lit: " divise". Soit: douze divise le produit P formé des différences indiquées avec a, b, c et d, quatre nombres entiers dans l'ordre croissant.

Note: si non croissant, prendre la valeur absolue des différences.

 

 

Plus grand commun diviseur de tous les produits

 

 

Le nombre 12 est bien la limite. C'est le plus grand nombre qui divise l'infinité de tous ces produits. Ce que montre le tableau ci-dessus.

Généralisation

 

Le PGCD des produits des différences de n nombres quelconques distincts est égal  à 1! x 2! x 3! x … (n-1)!

 

Distincts, car deux nombres égaux produisent une différence nulle qui met a zéro le produit.

 

 

 

PGCD des produits pour n nombres

Voir Super factorielle

 

Historique: en 1892, H.W. Segar avait constaté que le produit des différences de n entiers est divisible par 2! x 3! x … (n-1)! Rapporté par Dickson.

 

Voir Factorielle / Divisibilité du produit de nombres consécutifs

 

 

 

Démonstration

Deux temps pour la démonstration.

Divisibilité par 2 puis divisibilité par 4.

Outil principal: le principe des tiroirs.

Avec quatre objets pour trois tiroirs, l'un des tiroirs contiendra au moins deux objets.

 

On reprend la présentation en graphe en l'orientant pour pouvoir y pratiquer des sommes vectorielles.

Les nombres sont dans l'ordre croissant: a < b < c < d; et, les flèches pointent vers un plus grand nombre.

 

Chaque vecteur représente une différence comme (a – b) pour le vecteur horizontal supérieur.

De sorte que, par exemple:

(a – b) + (b – d) = (a – d)

 

 

La flèche de a vers b représente la différence a – b

Divisibilité par 3

 

On s'intéresse au sommet "a" duquel partent trois vecteurs. Deux cas possibles

*       il existe au moins une différence issue de "a" divisible par 3; ou

*       aucune différence n'est divisible par 3.

 

Dans le premier cas, le produit complet est divisible par 3; dans le second cas, il faut montrer que cette situation engendre une autre différence divisible par 3.

 

Rappel: la division par 3 peut donner trois types de restes:0, 1 ou 2. On dit que qu'en mod 3, la différence vaut 0, 1 ou 2.

 

Si, issue du sommet "a", aucune différence n'est divisible par 3, on a:

 

D'après le principe des tiroirs, trois cas pour deux possibilités, alors deux différences sont soit à 1 soit à 2 mod 3. Par exemple:

Or, nous avons la somme:

(a – b) + (b – d) = (a – d)

     1       +     0      =   1    mod 3

Cette relation impose que l'une des différence soit égale à 0 mod 3; ce qui veut dire que cette différence est divisible par 3. Il existe donc toujours une différence divisible par 3, et le produit complet est divisible par 3.

 

Ce raisonnement s'applique à toutes les configurations possibles pour le sommet "a".

 

 

Divisibilité par 4

 

Toujours avec le sommet "a", il faut identifier deux vecteurs pairs (deux différences paire) pour obtenir la divisibilité par 4.

 

Trois cas:

*       deux ou trois vecteurs pairs

*       un vecteur pair

*       aucun vecteur pair

 

 

 

Conclusion

Divisible à la fois par 3 et par 4, le produit est divisible par 12  

Avec deux ou trois différences paires émanant du sommet "a", nous avons immédiatement notre divisibilité par 4.

 

Avec une seule différence paire, les deux autres sont impaires et leur différences est paire (même principe de somme et différence de vecteurs utilisé ci-dessus).

 

Avec trois différences impaires, on réalise deux somme/différences qui sont paires.

 

Illustration

 

 

Produit de différences

Le produit de différences est noté   . Soit un ensemble de nombres (x1, x2, …, xn); les différences de toutes les paires ordonnées où l'index du premier nombre est plus petit que celui du second; leur produit est   (delta n).

Δn is the product of the difference of all ordered pairs of (x1, x2, …, xn) where the index of the first is less than the index of the second.

 

 

 

 

 

 

Théorème

 

12 divise la somme de deux nombres premiers jumeaux 

12   ( p + p' )

à partir des jumeaux 5 et 7.

  

Voir Règles générales de divisibilité

 

 

Démonstration par induction

*    Un nombre premier supérieur à 3 est impair.

*      Son jumeau également.

*      La somme s'écrit =>

p  = 2k + 1

p' = 2k + 1 + 2 = 2k + 3

 

p + p' = 4 k + 4 = 4 (k + 1)

*    La somme est divisible par 4.

4  (p + p')

*    Maintenant, examinons les deux nombres face à leur divisibilité par 3.

*      Il y a trois cas pour p : le reste est 0, 1 ou 2; et

*      Voyons le cas de p' = p + 2 en conséquence.

p

p'

 

3h

3h + 2

p non premier (divisible par 3).

3h + 1

3h + 3

p' non premier (divisible par 3).

3h + 2

3h + 4

seul cas où p et p' peuvent être premiers (deux premiers jumeaux).

*    Conservons ce dernier cas qui correspond à notre hypothèse, et voyons leur somme.

p + p' = 3h + 2 + 3h + 4

           = 6h + 6

           = 6 (h + 1)

*    La somme est divisible par 6.

6  (p + p')

*    La somme est divisible par 4 et par 6.

*      Elle est divisible par leur PPCM

                4 = 2 x 2

                6 =       2 x 3

PPCM(4,6) = 2 x 2 x 3 = 12

*    CQFD

12  (p + p')

 

 

 

Somme des nombres premiers jumeaux et leur division par 12

 

    p           p'           p + p'      (p+p')/12

    5            7               12                  1

  11          13               24                  2

  17          19               36                  3

  29          31               60                  5

  41          43               84                  7

  59          61             120                10

  71          73             144                12

101        103             204                17

107        109             216                18

137        139             276                23

149        151             300                25

179        181             360                30

191        193             384                32

197        199             396                33

227        229             456                38

239        241             480                40

269        271             540                45

281        283             564                47

311        313             624                52

347        349             696                58

419        421             840                70

431        433             864                72

461        463             924                77

521        523             1044              87

569        571             1140              95

 

 

 

 

 Suite

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Sites

*      Four Numbers, Six Differences, GCD of the Products – Cut-the-Knot – Alexander Bogomolny

*      Modulus Arithmetic and a Solution to DifferencesNRICH enriching mathematics

*      The product of all differences of the possible couples of six given positive integers is divisible by 960 – Mathematics forum

*    Factorials dividing the product of differences or r integers – History of the theory of numbers – volume 1, page 269 – Leonard Eugene Dickson – 1919, ré-édité en 2005

*    The product of all differences of the possible couples of six integer – Mathematics Stack Exchange (forum)

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