NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Nombres d'or

 

Débutants

NOMBRE

D'OR

GÉOMÉTRIE

 

Glossaire

NOMBRE

D'OR

 

 

INDEX

 

Suite de Fibonacci et nombre d'or

 

 

Géométrie

 

Index

Introduction

Proportion

Construction

Géométrie

Étoile

Aire Phi

Cercle

 

Sommaire de cette page

>>> Cercle

>>> Ellipse d'or

>>> Croissant de lune

>>> De l'or dans les cercles

 

 

 

 

 

Cercle, croissant et ellipse dorés

 

Construction du nombre d'or au compas seulement

 

 

 

CERCLE et nombre d'or

 

*  Quel est l'angle qui partage un cercle en section dorée ?

 

*  Calcul:

*    Aire du disque:   A =

*    Aire du secteur:  A.y / 360

*    Aire du secteur complémentaire:
                           A (360 – y) / 360

*    Ratio des aires

 

A (360 – y ) / 360

=

360 – y

A.y / 360

y

 

*  Égalons ce ratio au nombre d'or:

360 – y = 1,618 y

2,618 y = 360

y = 137, 5077°

 

*  Remarquez que le ratio est indépendant de la notion de surface:

*    Il est aussi valable pour le périmètre.

*    Les aires des secteurs comme les longueurs des arcs
sont dans le rapport d'or.

 

 

 

 

ELLIPSE dorée

*  Elle est construite à partir du triangle doré de Pythagore:

*    Le petit demi axe est OB = 1

*    Le foyer est en F avec OF = Φ

*  Le triangle doré est basculé pour trouver le grand demi-axe

OA = hypoténuse = Φ

*  Il s'agit bien d'une ellipse de foyer F

OF² = OA² - OB²

(Φ  = Φ ² - 1²

   Φ =  Φ ² - 1²

 

 

Voir Triangle d'or

 

Proportions respectées

 

 

 

CROISSANT de lune - Lunule

 

*      Deux cercles de centre A et B ayant un point commun O.

*      Si OCO' est une section dorée, c'est le cas pour les segments tels que OPQ.

*      Et, le point C n'est pas très loin du centre de gravité du croissant de lune. (Mais ce n'est pas le centre de gravité, comme l'affirme certains ouvrages!)

 

Voir Croissant et calcul du centre de gravité

 

 

De l'or dans les cercles

 

Propriété

Le segment AB.

Les deux cercles rouges A(B) et B(A).

La droite AB les coupe en C et D.

Les deux cercles verts A(D) et B(C).

Par symétrie, les intersections des cercles M, N et P, Q sont colinéaires.

 

Alors: MP / MN = nombre d'or

Et aussi: MN / NP = nombre d'or

 

Démonstration

 

On note AB = 2a (convention).

Dans le triangle AON

AO = a

AN = 2a (rayon du cercle)

ON = OM = a  (Pythagore)

Dans le triangle AOP

AP = 4a (cercle de rayon double)

OP = a  (Pythagore)

Rapport

 

 

Construction au compas

 

MN = 2a

CM² = (a )² + (3a)²

        = 12a² = 3 x 4a²

CM = 2a

 

Le cercle de M(N) de centre M et passant par N, passe aussi par C et D.

 

Pour construire la figure:

*       Marquez les deux points A et B;

*       Construisez les cercles rouges:

*       Cercle M(N) qui définit les points C et D

*       Construisez les cercles verts.

Construction due à K. Hofstetter: A simple construction of the Golden Section (2002)

Voir les références indiquées (en anglais)

 

 

Division de AB en section dorée

 

En 2005, Hofstetter récidive en trouvant cette construction qui divise le segment AB en section dorée:

AR / RB = nombre d'or.

 

Construction des cercles rouges comme précédemment.

Cercle de centre M, avec AB pour rayon; il définit le point P.

La droite MP coupe AB en G, le point de section dorée.

 

 

 

 

Suite

*    Géométrie et nombre d'or

*    Valeurs du nombre d'or

*    Construction

*    Trigonométrie

Aussi

*    Cercle

*    Constante Pi

*    Constantes Mathématiques

*    Construction géométrique des nombres

*    Série du type Fibonacci et cousins

DicoNombre

*    Nombre 1,618…

Sites

*    Golden ratio in geometry – Cut the Knot

*    Golden ratio by compass only – Cut the Knot

*    Geometric construction of Phi in circles – The Golden Number

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http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Geometri/NbOrCerc.htm