NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Nombres

 

Débutants

Géométrie

NOMBRE D'OR

 

Glossaire

NOMBRE

D'OR

 

 

INDEX

 

Suite de Fibonacci et nombre d'or

 

Constructions

 

Débutant

Valeurs

Phi et Fibonacci

Proportion

Tout PHI en bref

Formules

Puissances

Construction

Introduction

Fraction continue

Trigonométrie

Géométrie

Historique

 

Sommaire de cette page

>>> Construction la plus simple

>>> Variante

>>> Section d'or d'un segment

>>> Rectangle d'or

>>> Triangle d'or

 

 

 

 

 

 

NOMBRE D'OR

Construction géométrique

 

 

 

 

CONSTRUCTION la plus SIMPLE

 

Construction de 5

*    Prendre un triangle rectangle de côté

AB = 1 et BC = 2

*    Selon le théorème de Pythagore, l'hypoténuse mesure:

AC² = 1² + 2² = 5²

AC = 5

AD = 5 / 2

 

Construction de 1/2

*    Le cercle tel que dessiné a un rayon qui mesure exactement 1/2. 

DF = 1/2

 

Construction de

*    Ajoutons les deux segments trouvés

AD + DF = 5 / 2 + 1 / 2

AF = Φ

 

 

AF = AD + DF

   =  5/2 + 1/2

   = Φ

FC = DC – DF 

   =  5/2 – 1/2

   = 1/Φ

 

Deux présentations sympathiques de cette construction

 

 

 

Variante – Construction de 5 bis

Construction de 5 bis

*    Sur le même principe cette construction est également parmi les plus simples

*  Six carrés de côté unité;

*  Cercle de centre O et de rayon OM qui définit le point C;

*    Alors: AC / CB = nombre d'or

*  OM = OC = 5 (Pythagore avec racine de 1² + 2²)

*  AC = OC – OA = 5 – 1

*  BC = BC – CO = 3 – 5

*    Rapport:

 

 

Variante – Construction de 5 ter

 

Construire 5/2

*    Construire un segment AB de longueur unité et un autre segment perpendiculaire à AB, de longueur ½

*    L'hypoténuse mesure

OB² = 1² + (1/2)² = (4 + 1) / 4

OB = 5 / 2

 

Construire Φ

*    Tracer le cercle de centre O et de rayon OB. Il coupe la droite OA en M et M'

*    Avec la propriété suivante:

MO = 5 / 2

OA  = 1 /2

MA = Φ

*    Remarquons également que

MM' = 2 x 5 / 2 = 5

AM' = MM' – MA = 5 - Φ

Or  5 = 2Φ - 1

AM' = Φ - 1

 

 

 

 

 

 

Voir Construction du rectangle d'or

 

Section d'or d'un segment

 

Construction

*    Un triangle rectangle ABD
avec BD = 1 et AB = 2.

*    Cercle de centre D, rayon BD = 1.

*    Cercle de centre A, rayon AE qui vaut 5 – 1.

ACB = section dorée.

 

Calcul

Voir Construction géométrique des nombres

 

 

 

Rectangle d'or

*    Un triangle rectangle de côté 1 et 2. Son hypoténuse: racine de (1² + 2²) = racine de 5.

*    On prolonge le côté de longueur 1 par la longueur racine de 5 pour former la longueur d'un rectangle.

*    Le rapport  longueur sur largeur vaut:

 

Idem – détails   

*    Un triangle rectangle OAB

avec OA=1, et AB= 2.

*    Son hypoténuse: OB = 5

*    Soit le cercle de centre O,

rayon OB et CC' le diamètre portant OA.

AC = AO+OC = 1 + 5

*    Avec  AB = 2, AB, AC forment un rectangle d'or.

*    C'est le cas aussi pour AB, AC'.

Autre construction à partir d'un carré (ce qui revient au même)

 

Voir Rectangles dorés emboîtés

 

 

Triangle d'or

 

*    Dans le triangle ABD, les angles en A et en  B (72°)  valent deux fois celui en D (36°).



Voir détails sur

les triangles d'or

 

 

 

 

Suite

*    Géométrie avec le nombre d'or

*    Construction au compas seulement

*    Valeurs du nombre d'or

*    Divine proportion

Aussi

*    Cercle

*    Constante Pi

*    Constantes Mathématiques

*    Série du type Fibonacci et cousins

DicoNombre

*    Nombre 1,618…

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