NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

Accueil                           DicoNombre            Rubriques           Nouveautés      Édition du: 12/08/2023

Orientation générale        DicoMot Math          Atlas                   Actualités                       M'écrire

Barre de recherche          DicoCulture              Index alphabétique        Références      Brèves de Maths   

            

CERCLE / DISQUE

 

Débutants

Géométrie

Surface – Aire

 

Glossaire

Géométrie

 

 

INDEX

 

Cercle

 

Géométrie

 

Disque

Secteur

Segment

Densité

Disque et formes

Lunule

Croissant

Lentille

Arbelos

Rosaces

Rectangle dans cercle

Couronne

 

Sommaire de cette page

>>> Les trois demi-cercles

>>> Croissant

>>> Centre de gravité

>>> Croissant avec trois cercles

>>> Arbelos

 

 

 

 

 

CROISSANT

  

Le croissant est la surface qui apparait lorsque deux cercles différents sont tangents intérieurement. Plus généralement: morceau de disque concave d'un côté et convexe de l'autre.

Anglais: Crescent

 

 

 

Les trois demi-cercles

haut

 

Problème (simple !)

Trois demi-cercles: petit,  moyen et grand. La figure doublée donne cette figure.

Aire la zone bleue ?

Application numérique avec le rayon du grand cercle: R = 6 cm.

 

Piste

Les diamètres successifs sont dans les rapports 1/2, 2/3 et 1.

La figure de droite montre l'astuce pour faciliter le calcul: translater les demi-cercles du bas.

  

 

 

Calcul

 

Voir Défis géométriques

 

 

 

 

Croissant

 

*      Deux cercles (O, R) et (O', r), tangents en B.

*      La partie bleue constitue le croissant. Son aire est la différence des aires des deux disques.

A =           =  (R² – r²)

 

 

 

 

 

Centre de gravité

 

*      Un problème consiste à trouver la valeur du ratio r/R tel que l'aire du croissant à la gauche de MM' soit égale à celle de la partie droite du croissant.

*      La portion de cercle MAM' est segment de cercle dont l'aire vaut:

 

 = ½  R² (   – sin )

 

*      Calcul de l'angle alpha dans le triangle rectangle MCO:

 

cos /2  = h / R = (2r – R) / R

 

Application numérique

Avec R = 1 et r de 0 à 1 en abscisse.

 

Pour r = 0,6943239332500 … la partie gauche du croissant à la même aire que la partie droite.

Dans cette configuration C est le centre de gravité du croissant.

 

Note

*      Le centre de gravité est à 0,694 …

*      Certains ouvrages l'estime à 0,618 … l'inverse du nombre d'or

*      Les aires pour cette valeur sont en fait:

r         = 0,618033988

A       = 1,941611038

A1     = 1,103082983

A2     = 0,838528055

Écart = 0,264554927

 

 

 

 

Croissant avec trois cercles

 

Problème

Trois cercles de rayon 1, 2 et 3 selon la figure. Quelle est l'aire du "croissant" vert? Et celle de la zone bleue?

 

 

Solution

Si l'aire du disque de rayon 1 vaut 1 unité d'aire. L'aire du disque de rayon 2 (A) est quatre fois plus grande (l'aire croît comme le carré du rayon). Et l'aire du grand disque vaut 9.

 

Selon la géométrie du dessin les aires B et C sont égale.

 

En remplaçant, nous trouvons que l'aire de B ou de C = 2.

 

Verte et bleue: l'une est le double de l'autre en superficie.

Aire bleue = 2 x Aire verte.

A = 4

Aire grand disque = 1 + A + B + C = 9

= 1 + 4 + 2B = 9

2B = 4

B = C = 2

Aire de zone verte:  1 + C = 1 + 2 = 3

Aire de zone bleue: A + B = 4 + 2 = 6

 

Formules générales

 

 

Arbelos avec trois cercles

 

Problème

Trois cercles disposés comme sur la figure. La zone verte est appelée arbelos (ou tranchet de cordonnier). Quelle est son aire?

Archimède a montré qu'elle est égale à celle du disque de diamètre h.

 

Solution

L'astuce repose sur la relation à établir dans le triangle rectangle ADB. En effet, on sait que: h² = ab

 

En remplaçant ab pas dans l'évaluation de l'aire de l'arbelos, on retrouve l'aire du disque de diamètre CD.

 

Attention

L'aire d'un disque est  R² =  D².

Il existe deux arbelos: en haut et en bas, d'où la division par 2.

 

 

Aire disque AC =  

Aire disque CB =  

Aire disque AB =  (a+b)²

Aire arbelos: =  {(a+b)²-a²-b²}

               =  ab

               =  

               = aire disque CD

 

Voir Arbelos multiple résolu par inversion – Chaine de Pappus / Sangakus

Cercles jumeaux d'Archimède / Aire de découpes dans le cercle

 

 

 

 

 

Retour

*    CercleIndex

Suite

*    Section dorée

*    Cercles d'Apollonius

*    Les trois cercles et le théorème de Miquel

Voir

*    GéométrieVocabulaire

*    Bissectrices

*    Sphère

*    Cône

*    Lune

Sites

*      L'arbelos – Hamza Khelif – CNRS

*      Une étude de l'arbelos – Baptiste GORIN

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Cercle/aaaAIRE/Croissan.htm