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CERCLE / DISQUE

 

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Géométrie

 

 

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Cercle

 

Géométrie

 

Disque

Secteur

Segment

Densité

Lunule

Croissant

Rectangle dans cercle

 

Sommaire de cette page

>>> Croissant

>>> Centre de gravité

>>> Croissant avec trois cercles

>>> Arbelos

 

 

 

 

 

CROISSANT de lune

  

Le croissant est la surface qui apparait lorsque deux cercles différents sont tangents intérieurement.

 

 

Croissant

 

*      Deux cercles (O, R) et (O', r) tangents en B.

*      La partie bleue constitue le croissant. Son aire est la différence des aires des deux cercles.

A =           =  (R² – r²)

 

 

 

 

 

Centre de gravité

 

*      Un problème consiste à trouver la valeur du ratio r/R tel que l'aire du croissant à la gauche de MM' soit égale à celle de la partie droite du croissant.

*      La portion de cercle MAM' est segment de cercle dont l'aire vaut:

 

 = ½  R² (   – sin )

 

*      Calcul de l'angle alpha dans le triangle rectangle MCO:

 

cos /2  = h / R = (2r – R) / R

 

Application numérique

Avec R = 1 et r de 0 à 1 en abscisse.

 

Pour r = 0,6943239332500 … la partie gauche du croissant à la même aire que la partie droite.

Dans cette configuration C est le centre de gravité du croissant.

 

Note

*      Le centre de gravité est à 0,694 …

*      Certains ouvrages l'estime à 0,618 … l'inverse du nombre d'or

*      Les aires pour cette valeur sont en fait:

r         = 0,618033988

A       = 1,941611038

A1     = 1,103082983

A2     = 0,838528055

Écart = 0,264554927

 

 

 

 

Croissant avec trois cercles

 

Problème

Trois cercles de rayon 1, 2 et 3 selon la figure. Quelle est l'aire du "croissant" vert? Et celle de la zone bleue?

 

 

Solution

Si l'aire du disque de rayon 1 vaut 1 unité d'aire. L'aire du disque de rayon 2 (A) est quatre fois plus grande (l'aire croît comme le carré du rayon). Et l'aire du grand disque vaut 9.

 

Selon la géométrie du dessin les aires B et C sont égale.

 

En remplaçant, nous trouvons que l'aire de B ou de C = 2.

 

Verte et bleue: l'une est le double de l'autre en superficie.

Aire bleue = 2 x Aire verte.

A = 4

Aire grand disque = 1 + A + B + C = 9

= 1 + 4 + 2B = 9

2B = 4

B = C = 2

Aire de zone verte:  1 + C = 1 + 2 = 3

Aire de zone bleue: A + B = 4 + 2 = 6

 

Formules générales

 

 

Arbelos avec trois cercles

 

Problème

Trois cercles disposés comme sur la figure. La zone verte est appelée arbelos (ou tranchet de cordonnier). Quelle est son aire?

Archimède a montré qu'elle est égale à celle du disque de diamètre h.

 

Solution

L'astuce repose sur la relation à établir dans le triangle rectangle ADB. En effet, on sait que: h² = ab

 

En remplaçant ab pas dans l'évaluation de l'aire de l'arbelos, on retrouve l'aire du disque de diamètre CD.

 

Attention

L'aire d'un disque est  R² =  D².

Il existe deux arbelos: en haut et en bas, d'où la division par 2.

 

 

Aire disque AC =  

Aire disque CB =  

Aire disque AB =  (a+b

Aire arbelos: =  {(a+b-a²-b²}

               =  ab

               =  

               = aire disque CD

 

 

 

 

 

 

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