NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Nombres

 

Débutants

Géométrie

NOMBRE D'OR

 

Glossaire

NOMBRE

D'OR

 

 

INDEX

 

Suite de Fibonacci

 

Trigonométrie

 

Tour d'horizon

Valeurs

Phi et Fibonacci

Proportion

Introduction

Formules

Puissances

Construction

Historique

Fraction continue

Trigonométrie

Géométrie

 

Sommaire de cette page

>>> Angles liés au nombre d'or PHI

>>> PHI et lignes trigonométriques

>>> Équation trigonométrique en OR

 

 

 

 

 

PHI ET TRIGONOMÉTRIE

 

  = 2 cos 36°    = 2 x 0,809 … = 1, 618…

1 /  = 2 sin 18°     = 2 x 0,309 … = 0, 618 …

 

  36°   Angle d'une branche d'une étoile à cinq branches;

          C'est le tiers de l'angle au sommet d'un pentagone.

 

137,5° = 306 /   Angle d'or, célèbre en phyllotaxie

 

 

 

Angles liés au nombre d'or: 36°

 

*    Quel est l'angle dont le sinus est égal au nombre d'or? Même chose pour les autres lignes trigonométriques.

 

Degrés

18°

36°

54°

72°

Nom

 / 10

 / 5

3  / 10

2  / 5

Radians

0,314

0,628

0,942

1,257

Sinus

0,309

0,588

0,809

0,951

Cosinus

0,951

0,809

0,588

0,309

Tangente

0,325

0,727

1,376

3,078

1,618 … = Φ;      0,809… = Φ/2 et      0,309 … = 1/(2Φ).  

 

Suite en Trigonométrie du pentagone

 

*    Les valeurs en rouge sont des formes cachées du nombre d'or; desquelles on déduit les relations suivantes:

 

sin  18° = 1/(2Φ)

sin  54° = Φ/2

cos 72° = 1/(2Φ)

cos 36° = Φ/2

 

En fait, que deux valeurs, car le sinus de l'un est égal au cosinus du complémentaire (18°+ 72° = 90° et  36° + 54° = 90°).

 

   Φ = 2 sin 3/10 = 2 cos /5

1/Φ = 2 sin  /10 = 2 cos 2/5

 

 

*    Ces deux valeurs sont la base de construction des triangles d'or, dont celui à 36° représente l'angle des étoiles à cinq branches.

 

 

 

Valeurs trigonométriques

 

Si le nombre d'or était un angle

Il serait à peine plus grand qu'un angle   droit.

 

Nom

Radians

Degrés décimaux

Degrés sexagésimaux

30°

0,52359878

30° =

30°

1/PHI

0,61803399

35,4107392° =

35°

24'

38"

,6610027

45°

0,78539816

45° =

45°

1 radian

1

57,2957795° =

57°

17'

44"

,8062471

Angle droit

1,57079633

90° =

90°

PHI

1,61803399

92,7065186° =

92°

42'

23"

,46703604

2 radians

2

114,591559° =

114°

35'

29"

,61249419

 

Illustration

 

 

Nom

Sinus

Cosinus

Tangente

Cotangente

Φ

0,99888

 – 0,04722

– 21,15380

– 0,04727

1/Φ

0,57943

0,81501

0,71094

1,40657

 

Curiosité:            arcsin(1/Φ) = 0,666 2394328 …

 

 

 

Équation trigonométrique en OR

 

Curiosité – En tout cas, exercice de calcul en trigonométrie.

Évaluons sinus 2a

Puis    cosinus 3a

sin 2a =

cos 3a = 

2 sin a . cos a

4 cos3 a – 3 cos a

Soit E la différence de ces deux expressions

E =

2 sin a . cos a

  – 4 cos3 a + 3 cos a

Le cosinus est en facteur

E / cos a =

2 sin a  – 4 cos2 a + 3

Or sin² + cos²  = 1

E / cos a =

2 sin a  – 4 (1– sin2 a) + 3

2 sin a  – 4 + 4 sin2 a + 3

4 sin2 a  + 2 sin a  – 1

En changeant de variable: x = – 2 sin a  

E / cos a =

x 1

l'équation d'or

 

 

 

 

 

 

Suite

*    Formules

*    Pentagone et décagone et trigonométrie (table)

*    Puissances

*    Divine proportion

Aussi

*    Cercle

*    Constante Pi

*    Constantes Mathématiques

*    Série du type Fibonacci et cousins

*    Trigonométrie

*    Trigonométrie - Exercices

DicoNombre

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