NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

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ORIENTATION GÉNÉRALE  - M'écrire - Édition du: 14/12/2010

 

 -Ý- Rubrique: THÉORIE DES NOMBRES

§  Théorèmes

§   

§   

Sommaire de cette page

 

>>> FONDAMENTAUX

>>> PREMIERS

>>> DIVISIBILITÉ

>>> DIVISEURS

>>> PARTITION  

>>> SOMME DE PUISSANCES 

>>> THÉORIE DES NOMBRES  

Pages sur sujets voisins

§     Identités / Constantes

§    Théorie des nombres

§    Calcul mental

§    Géométrie

§    Dualité

§    Logique

§    Outils de la logique

§    Incomplétude

§    Raisonnement

§    Énigmes et paradoxes

§    Fractales

Les flèches >>> permettent d'accéder aux explications


Tentative de récapitulation voir aussi Théorèmes 

-Ý- FONDAMENTAUX

 

>>>

Entier

Théorème fondamental de l'arithmétique

Tout nombre entier naturel est décomposable de façon unique en produit de ses diviseurs premiers

 

 

Polynôme

Théorème fondamental de l'algèbre ou théorème de d'Alembert

Tout polynôme de degré n a exactement n racines, chacune étant comptée avec son ordre de multiplicité

 

 

 

-Ý- - PREMIERS

>>>

Quantité

Théorème des nombres premiers

La densité de nombres premiers autour de n est environ 1/ log(n)

 

>>>

Quantité

Entre n et 2n, il y a toujours un nombre premier

>>>

Somme

Un nombre pair est toujours la somme de 2 premiers

>>>

Somme

Un nombre impair (>5) est la somme de 3 premiers

 

>>>

Forme

Tout nombre premier est un multiple de 6 à ± 1 près, sauf 2 et 3

 

 

 

-Ý- - DIVISIBILITÉ 

>>>

Factorielle

Théorème de Wilson

(p-1)! + 1 est divisible par p pour p premier

 

>>>

Carré - pair

Le carré d'un nombre pair, divisé par 8, laisse un reste de 0 ou 4

>>>

Carré - impair

Le carré d'un nombre impair, divisé par 8, laisse un reste de 1

>>>

Carré

Le reste de la division par 4 de n² + m² est toujours 0, 1 ou 2, mais jamais 3

 

>>>

2, 3 et 6

Tous les nombres en n (n2 + 5) sont divisibles par 2, 3 et 6

 

 

 

 

 

 

-Ý- - DIVISEURS 

>>>

Quantité

Le nombre de diviseurs de N = an . bq x. cr x ... est :

(p + 1) (q + 1) (r + 1) (...

>>>

Quantité

Le nombre de produits de deux facteurs premiers entre eux est:

2^(n-1)

>>>

Somme

La somme des diviseurs est égale à:

(a(p+1)-1) / (a-1) . (b(p+1)-1) / (b-1) . (c(p+1)-1) / (c-1) ...

 

-Ý- - PARTITION 

>>>

Polygonaux

Tout nombre entier est une somme :

  • 3 nombres triangulaires
  • 4 nombres carrés
  • 5 nombres pentagonaux

etc. Voir / Partition

>>>

Abondant

Tous les nombres supérieurs à 20 161 sont la somme de 2 nombres abondants

>>>

Carrés

Si n est supérieur à 128, il peut être décomposé en une somme de carrés tous distincts

>>>

Carrés

Tous les nombres, au-delà de 17 163, sont la somme de deux premiers distincts au carré

>>>

Carrés

Tout nombre de la forme 4n + 2 n'est pas décomposable en différence de deux carrés

>>>

Impair

Les sommes des nombres impairs donnent un carré

>>>

Impair

La somme des N premiers impairs est le carré de la moitié de ce nombre augmenté de un

>>>

Impair

Tout entier impair > 7 est la somme de 3 premiers

>>>

Inverse

Tout nombre, supérieur à 77, peut être décomposé en une somme d'entiers

dont la somme des inverses est égale à l'unité

>>>

Inverse

Pour tout entier n, il existe a, b, c tel que : 4/n = 1/a+1/b+1/c

>>>

Nombre

Le nombre de sommes pour partitionner n est 2n-1

>>>

Nombre

Tout nombre supérieur à 45 est décomposable en somme de nombres premiers distincts supérieurs à 11

>>>

Nombre

Tout nombre supérieur à 55 est décomposable en somme de nombres premiers distincts de la forme 4n + 3

>>>

Nombre

Tout nombre rationnel positif peut s'exprimer par une somme finie de nombres de la suite harmonique 1/n

>>>

Pair

Tout entier pair > 2 est la somme de 2 premiers

>>>

Parfait

Tous les nombres parfaits sont la somme des cubes des nombres impairs consécutifs

>>>

Premier

Un nombre premier est la somme de 2 carrés si p + 1 n'est pas divisible par 4

>>>

Simple

Un entier est la somme d'une suite d'entiers consécutifs si et seulement si ce nombre n'est pas une puissance de deux.

>>>

Triangulaire

Tout nombre est décomposable en somme de 3 nombres triangulaires au plus

 

 

 

 

 

 

 

 

-Ý- - SOMME DE PUISSANCES 

 

 

>>>

Triangle

13 + 23 + ... + n3 = (1 + 2 + ...+ n)2

Autrement dit:

 La somme des cubes

est un carré

 

 

>>>

Carrés

Théorème de Pythagore

Dans un triangle rectangle, la somme des carrés des côtes est égale au carré de l'hypoténuse: X2 + Y2 = Z2

 

>>>

Carrés

Théorème de Lagrange

Tout entier est décomposable en somme d'au plus quatre carrés

N = A² + B² + C² + D²

 

>>>

n

Théorème de Fermat - Wiles

La relation: Xn + Yn = Zn n'a aucune solution en nombres entiers pour n > 2

 

>>>

n

Théorème de Waring

Il existe toujours une somme limitée de puissances pour tous les nombres et pour toutes les puissances

 

 

>>>

1 Carré

Tout carré est la somme des nombres impairs successifs

>>>

1 Carré

Tout nombre carré est décomposable en somme de deux nombres triangulaires successifs

>>>

1 Carré

Tout carré impair est égal à 8 fois un nombre triangulaire, plus un

>>>

1 Carré

Le carré de tout nombre impair est égal à la différence entre deux nombres triangulaires premiers entre eux.

>>>

2 Carrés

Un nombre est la somme de 2 carrés si aucun de ses facteurs + 1 n'est pas divisible par 4

>>>

2 Carrés

Tout nombre premier de la forme 4n + 1 est la somme unique de deux carrés

>>>

2 Carrés

Tout nombre premier de la forme 4n + 3 n'est jamais décomposable en somme de deux carrés:

>>>

3 Carrés

Un nombre dont la division par 8 donne un reste de 7 n'est pas la somme de trois carrés

>>>

3 Carrés

Théorème de Gauss

N est somme de trois carrés au plus N = A² + B² + C² si et seulement si N est différent de 4a (8b-1)

>>>

3 Carrés

81 est le plus petit carré décomposable en somme de trois carrés

 

 

-Ý- - THÉORIE DES NOMBRES  

 10e Problème de Hilbert

>>>

Entier

10e Problème de Hilbert

Il n’y a pas d’algorithme indiquant si une équation diophantienne possède ou non une solution

  


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