NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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IDENTITÉS

 

Débutants

Addition

SOMMES de 1 à n

 

Glossaire

Addition

 

 

INDEX

 

Sommes

 

Identités

 

Index et Bases

Carrés

Cubes

2, 3, 5 … n

Somme des puissances de 2 à 20 des nombres successifs

Nombre somme de puissances

 

Sommaire de cette page

>>> Sommes des puissances successives d'un nombre

>>> Formules diverses pour puissances 2 à 5

>>> Impairs et inverses de 2

>>> Somme de puissances successives avec x < 1

>>> Somme des inverses des puissances

 

 

 

 

SOMME des PUISSANCES

de 2, 3 …, n

 

 

Sommes des puissances successives d'un nombre

 

Formules générales

 

Elles découlent directement de la division indiquée en rouge, elle-même faisant l'objet d'une identité remarquable.

Ces identités remarquables se retrouvent en numération où n représente la base ou encore pour caractériser certains nombres brésiliens (repdigits).  

 

Cas particulier où n = 2

Notons que la sommes des puissances successives de 2 est égale à la puissance suivante décrémentée de un.

 

 

Ex: 1 + 5 + 5² = 31 = (53 – 1) / (5 – 1) ) = 124 / 4 =  31

      1 + 1/5 + 1/5² = 1 + 0,2 + 0,04 = 1,24 = 124 /(4 x 5²) = 1,24

 

 

 

Ex: 1 + 2 + 2² = 7 = 23 – 1 = 7

        1 + 1/2 + 1/4 =  1,75 = 7 / 2² = 1,75

Merci à Frank J. pour sa contribution

Voir Nombres décimaux et périodiques

 

 

 

 

Somme de PUISSANCES – Formules diverses

>>>

2

1 + 2 + 22 + … + 2n

= 2n + 1 – 1

2 et x

 

   Cad: x entre -1 et 1, sauf 0.

2 en puissances

et impairs

1.22 + 3.23 + 5.24 +…

                      + (2n – 1).2n+1

= 2n (8n – 12) + 12

>>>

Inverse de 2

= (2n + 1 – 1) / 2n

>>>

Idem … infini

= 2

 

Impair et

Inverse de 2

1 + 3/2 + 5/2² + 7/23 + …

         + (2n+1) / 2n  + …

= 6

 

 

En 3

1 + 3 + 32 + … + 3n

= (3n + 1 – 1) / 2

 

Inverse de 3

1 + 1/3 + 1/32 + … + 1/3n

= (3n + 1 – 1) / (2 x 3n)

 

1 + 2/3 + 3/3² + 4/33 + …

        + n / 3n-1 + …

= 2,25

 

                 Voisin

1 + 2/3² + 3/33 + 4/34 + …

        + n / 3n + …

= 7, 5

 

Carrés et 3

2/30 + 4/31 + 8/3² + 16/33 +…

        + 2n+1 / 3n + …  

= 6

 

Inverse de 3

Produit

(1+1/3) (1+1/32) (1+1/34)

                            (1+1/38)  … (T)

avec 

 

 

En 4

1 + 4 + 42 + … + 4n

= (4n + 1 – 1) / 3

 

Inverse de 4

1 + 1/4 + 1/42 + … + 1/4n

= (4n + 1 – 1) / (3 x 4n)

 

Suite >>>

 

 

 

En 5

1 + 5 + 52 + … + 5n

= (5n + 1 – 1) / 4

 

Inverse de 4

1 + 1/5 + 1/52 + … + 1/5n

= (5n + 1 – 1) / (4 x 5n)

 

1 + 2/5 + 3/5² + 4/53 … + n / 5n-1

= (1–1/5n) –  n(1/5n – 1)

 

En x

1 + 2x + 3x² +…+ n.xn-1

= (1 – (n+1)xn + n.xn+1) / (1–x)²

>>>

Puissances 2 et 3

(1+1²+13) / 1.2 +

(2+2²+23) / 2.3 +

(3+3²+33) / 3.4 +

… +

(n+n²+n3) / n.(n+1)

 

Puissances 2 et 4

1/(1+1²+14) +

1/(2+2²+24) +

1/(3+3²+34) + …

= n(n+1) / 2(1+n+n²)

 

 

Pyramide en x

1 +

1+ x +

1+ x + x² +

1+ x + x² + x3 + …

{ n/(1 - x) } -

{ x(1 - xn) / (1 - x)²}

 

Fraction

1. 22 + 2 . 32 + … + n . (n+1)2

2. 12 + 3 . 22 + … + n2 . (n+1)

= (3n + 5) / (3n + 1)

 

 

Deux et x

1/(1+x) + 2/(1+x²) + 4 /(1+x4 ) … +

2n /(1+x²^n)

=1/(x-1) + 22n+1/(1-x2^(n+1))

 

Deux et impairs

1.22 + 3.23 + 5.24 +…

+ (2n-1).2n+1

= 2n (8n - 12) + 12

 

>>>

Inverse de 2

>>>

Inverse de 2, infini

= 2

>>>

Inverse de n

>>>

Inverse de n, infini

 

Voir Nombres périodiques

 

>>>

Impair et

Inverse de 2

= 6

 

Inverse de 3

(1+1/3) (1+1/32) (1+1/33) (1+1/34) …

(1+1/32n)

= 3/2 (1 - 3-2n+1)

 

En 5

1 + 2/5 + 3/5² + 4/53

25/16(1-1/5n) - 1/4 n(1/5n-1)

 

En 5

5/13 + 55/13² + 555/133 + 5555/134 + …

= 65/36

 

En x

1 + 2x + 3x² +…+ n.xn-1

= (1 - (n-1)xn + n.xn+1) / (1-x)²

 

Puissances 2 et 3

(1+1²+13)/1.2 +

(2+2²+23)/2.3 +

(3+3²+33)/3.4 +…

= n(n²+2n+3) / 2(n+1)

 

Puissances 2 et 4

1/(1+1²+14) +

1/(2+2²+24) +

1/(3+3²+34) + …

= n(n+1) / 2(1+n+n²)

 

>>>

Puissance infinie

= 1

 

 

Puissances et factorielles

La énième différence finie des puissances énièmes

est égale à factorielle n.

Voir Explications et démonstration

 

 

 

IMPAIRS et INVERSES de 2

 

1 + 3/2 + 5/2² + 7/23 + …

= 6

 

Valeurs

n

Somme

chiffres

1

1,

1

2

2,5000

5

3

3,7500

 

4

4,6250

 

5

5,187500000

10

6

5,531250000

 

7

5,734375000

 

8

5,851562500

 

9

5,917968750

 

10

5,9550781250000000000

20

20

5,9999179840087890625

 

30

5,9999998826533555984

 

40

5,9999999998490238795

 

50

5,99999999999981703524554177422

30

60

5,99999999999999978662901245486

 

70

5,99999999999999999975774857711

 

80

5,99999999999999999999973033914

 

90

5,99999999999999999999999970438

 

100

5,9999999999999999999999999996797224724802692070028

50

125

5,9999999999999999999999999999999999881039971696785

 

150

5.9999999999999999999999999999999999999999995754065

 

175

5.99999999999999999999999999999999999999999999999998525803214

60

200

5.999999999999999999999999999999999999999999999999999999999498424968604

70

 

 

 

 

 

 

Somme de puissances successives

 

Pour x < 1

 

Démonstration

En utilisant la propriété des progressions géométriques

 

Exemples

 

 Voir Suite Harmonique

 

Somme des inverses des puissances

 

La somme des inverses de toutes les puissances parfaites, y compris les doublons, vaut 1.

En effet:

 

Note: les fractions finales, impliquant des nombres consécutifs, s'éliminent deux à deux:

 

Seule la première (1) et la dernière (qui tend vers 0) subsistent.

 

Exemple

Jusqu'à n = k = 10

S = 0,8990146224 =

Pour information la somme  des puissances (les mêmes) donne:

S = 16676686632 =  1,667668663 1010

Curiosité avec des couples de 6.

 

Liste de telles sommes. Exemple: 11 + 12 + 21 + 22 = 8

 

 

 

 

 

 

Suite

*    Somme des puissances de 2 à 20

*    Formules avec les puissances 4

*    Toutes les formules de somme

Table

*    Carrés, cubes … et leurs cumuls

Voir

*    Carrés

*    Constantes

*    Cubes

*    Factorielles et somme des entiers

*    Isopérimètre

*    Nombres consécutifs Index

*    Nombres de Bernoulli

*    Nombres géométriques

*    Pairs et impairs

*    Somme des puissances des nombres successifs - Holopotentiel

*    Tautochronie

*    Théorèmes

DicoNombre

*    Nombre 8

*    Nombre 56

*    Nombre 494

*    Nombre 5 699

*    Nombre 82 200

*    Nombre 16676686632

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