NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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IDENTITÉS

 

Débutants

Somme

SOMMES

Nombres et puissances

 

Glossaire

Addition

 

 

INDEX

 

Sommes

 

Calcul

 

Identités

 

Index et Formules

Entiers

Carrés

Cubes

Somme des puissances de 2 à 20 des nombres successifs

Somme des puissances de nombres en progression arithmétique

Nombre somme de puissances

Somme d'un nombre à des puissances successives

Somme d'expression en x et puissances successives

 

Sommaire de cette page

>>> Somme de puissances – En résumé

>>> Sommes des puissances successives d'un nombre

>>> Puissance de 2

>>> Puissance de 3

>>> Puissance de 4

>>> Puissance de 5 et +

>>> Puissances de 2, 3 …

>>> Puissances de 9

>>> Fractions diverses

>>> Impairs et inverses de 2

>>> Somme des inverses des puissances

 

 

 

 

SOMMES avec des

PUISSANCES SUCCESSIVES

 

Les sommes classiques des nombres successifs ont déjà été vues:

*    entiers, pairs, impairs

*    carrés,  cubes ou autres puissances

*    inverses, etc.

Cette page est consacrée à des sommes qui font intervenir un même motif impliquant des puissances successives.

 

Ne pas confondre:

*      Somme des nombres successifs portés à une puissance donnée, et

*      Sommes des puissances successives d'un même nombre ou d'un même motif.

 

Voir Nombres consécutifs / Suites géométriques

 

 

 

Somme de puissances – En résumé

 

Formule générale

 

Cas des puissances de 2

 

 

Exemples

40 + 41 + 42 + 43 + 44 = 1 + 4 + 16 + 64 + 256 = 341
= (45 – 1) / (4 – 1) – 1 = 1023 / 3 = 341

1 + 10 + 100  + 1 000 = 1 111
= (104 – 1) / (10 – 1) = 10 000 / 9 = 1 111

 

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …+ 1 024 = 2 048 – 1 = 2 047

 

Valeur de a en horizontal et de n en vertical

 

Nombres de ce tableau jusqu'à 1111. Ils sont 37.

1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 15, 21, 31, 40, 43, 57, 63, 73, 85, 91, 111, 121, 127, 156, 255, 259, 341, 364, 400, 511, 585, 781, 820, 1023, 1093, 1111.

 

Voir Brève 415 / Brève 1009

 

 

Sommes des puissances successives d'un nombre

 

Formules générales

 

Elles découlent directement de la division indiquée en rouge, elle-même faisant l'objet d'une identité remarquable.

Ces identités remarquables se retrouvent en numération où n représente la base ou encore pour caractériser certains nombres brésiliens (repdigits).  

 

Cas particulier où n = 2

Notons que la sommes des puissances successives de 2 est égale à la puissance suivante décrémentée de un.

 

Suites géométriques de raisons a et 1/a

 

Ex: 1 + 5 + 5² = 31 = (53 – 1) / (5 – 1) ) = 124 / 4 =  31

      1 + 1/5 + 1/5² = 1 + 0,2 + 0,04 = 1,24 = 124 /(4 x 5²) = 1,24

 

 

Suites géométriques de raisons 2 et 1/2

 

Ex: 1 + 2 + 2² = 7 = 23 – 1 = 7

        1 + 1/2 + 1/4 =  1,75 = 7 / 2² = 1,75

Voir Suites géométriques / Nombres décimaux et périodiques

Merci à Frank J. pour sa contribution

 

 

Puissances de 2

Avec puissances de 2

 

 

Exemple

 

                                   

 

n = 5

1x4 + 3x8 + 5x16 + 7x32 +9x64 = 908 = 32(40-12) + 12

 

Avec inverse des puissances de 2

 

 

 

Exemples

 

Voir DicoNombre 6

 

n =   5 => S = 5,53…

n = 10 => S = 5,97…

n = 20 => S = 5,999957…

 

 

 

Puissances de 3

 

Avec puissances de 3
(avec exemples de notations)

 

 

Exemples

 

Suite géométrique de raison 3

 

n =     5 => S = 364
n =   10 => S = 88 573

 

 

Avec inverse des puissances de 3

 

 

 

 

Exemples

 

 

 

 

Somme infinie

 

Suite géométrique de raison 1/3

 

 

n =     5 => S' = 364 / 243 = 1,4979…
n =   10 => S' = 88 573 / 59 049 = 1,4999915…

 

 

 

 

Sommes infinies avec  numérateur

Voir DicoNombre 2,25

Voir DicoNombre 0,75

Voir DicoNombre 6

 

 

Produit

 

 

 

Notations

 

 

 

Exemples

 

 

 

 

n = 1 => P = 40/27 = 1,481 481 …
n = 2 => P = 3 280 / 2 187 = 1,49977…

n = 3 => P = 1,499999965…

n = 5 => P = 1,5  à 10 -31 près.

Ce produit tend vers 1,5 pour n infini.

 

 

 

Puissances de 4

 

Avec puissances de 4

 

 

Exemples

 

Suite géométrique de raison 4

 

n =   3 => S = 85
n =   5 => S = 1 365

n = 10 => S = 1 398 101

 

 

Avec inverse des puissances de 4

 

 

 

 

Exemples

 

 

 

 

Somme infinie

 

Suite géométrique de raison 1/4

 

 

n =   3 => S' = 85 / 64 = 1,328125
n =   5 => S' = 1 365 / 1 024 = 1,333007…

n = 10 => S' = 1 398 101 / 1 048 576 = 1,333333015…

 

Voir Somme des puissances quatrièmes

 

 

Puissances de 5 et plus

 

Avec puissances de 5

 

 

 

 

 

 

 

 

Avec puissances

de A >1

 

 

Somme des puissances n d'un entier A

 

Somme des puissances n de l'inverse d'un entier A

 

Exemple avec l'inverse de A = 10

 

Puissances de 5 et numérateur

 

 

Exemples

 

 

 

 

n =   5 => S'n = 39 / 25 = 1,56

 

 

Puissances de 2, 3 …

 

Entier, carrés et cubes

 

 

 

Exemple

 

 

 

 

n= 3 => 3/2 + 14/6 + 39/12 = 85/12 = 7,08333…

           = 1 + 2 + 3 + 1/2 + 1/3 + 1/4 = 85/12

 

 

Entier, carrés et bicarrés

 

Exemple

 

 

 

 

Calcul

 

Voir Identités avec le quatrième degré

 

 

n= 3 =>

 

Voir Carrés et inverses

 

Sommes des puissances de 9

haut

 

Calcul simple des sommes des puissances successives de 9 (par factorisation)

 

Deux méthodes voisines pour le calcul des six puissances successives (hors le 1  = 90)

 

Liste des 20 premières sommes des puissances de 9

1, 10, 91, 820, 7381, 66430, 597871, 5380840, 48427561, 435848050, 3922632451, 35303692060, 317733228541, 2859599056870, 25736391511831, 231627523606480, 2084647712458321, 18761829412124890, 168856464709124011, 1519708182382116100, …

 

                        Notez l'alternance 0, 1 pour les unités explicable par le  calcul par factorisation.

 

Ce sont les nombres de la forme (9n – 1)/8 qui sont aussi les nombres triangulaires différences de carrés; aussi les repunits (1, 11, 111, …) en base 9

 

 

Voir Brève 58-1147 / Somme des mêmes chiffres

 

 

Fractions diverses

 

Fraction

 

 

 

Exemple

 

 

 

Puissances 2 et 3

 

 

Exemple

Voir Recherche de formule

 

Puissances 2 et 4

 

 

Exemple

 

 

Puissance et infinis

Voir Formule de Goldbach

Puissances et factorielles

 

La énième différence finie des puissances énièmes est égale à factorielle n.

Voir Explications et démonstration

 

Impairs et

inverses de 2

 

 

Somme des inverses de n à des puissances  successives

 

La somme des inverses de toutes les puissances parfaites, y compris les doublons, vaut 1. Notez bien le départ des indices: n = 2 et  k = 2.

En effet:

 

Note 1: voir le tableau ci-dessous pour visualiser la légitimité de la mise en facteur commun de 1/n².

Note 2: les fractions finales, impliquant des nombres consécutifs, s'éliminent deux à deux:

Seule la première (1) et la dernière (qui tend vers 0) subsistent.

 

Exemple de valeurs numériques

Jusqu'à n = k = 10

 

Jusqu'à n = k = 100

 

Son calcul avec Maple

La convergence vers 1 est très lente: avec n = k = 1000, on a 0,9990…

 

Exemple de début de calcul

 

 

Cas des puissances (et non des inverses)

Pour information la somme des puissances (les mêmes, mais en partant de 1 et non de 2) donne:

11 + 12 + 21 + 22 = 8;

11 + 12 + 13 + 21 + 22 + 23 + 31 + 32 + 33 = 56.

Suite sur le tableau =>

 

Notez la curiosité avec des couples de 6 au dixième rang.

S = 16676686632 = 1,667668663 1010

 

 

 

 

Immense merci à Claude M. pour sa contribution qui a conduit à mettre à jour cette page

 

 

 

 

 

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