NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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IDENTITÉS

 

Débutants

Somme

SOMMES

Nombres et puissances

 

Glossaire

Addition

 

 

INDEX

 

Sommes

 

Identités

 

Index et Formules

Entiers

Carrés

Cubes

Somme des puissances de 2 à 20 des nombres successifs

Nombre somme de puissances

Somme d'un nombre à des puissances successives

Somme d'expression en x et puissances successives

 

Sommaire de cette page

>>> Sommes des puissances successives d'un nombre

>>> Puissance de 2

>>> Puissance de 3

>>> Puissance de 4

>>> Puissance de 5 et +

>>> Puissances de 2, 3 …

>>> Fractions diverses

>>> Impairs et inverses de 2

>>> Somme des inverses des puissances

 

 

 

 

SOMMES avec des

PUISSANCES SUCCESSIVES

 

Les sommes classiques des nombres successifs ont déjà été vues:

*    entiers, pairs, impairs

*    carrés,  cubes ou autres puissances

*    inverses, etc.

Cette page est consacrée à des sommes qui font intervenir un même motif impliquant des puissances successives.

 

Ne pas confondre:

*      Somme des nombres successifs portés à une puissance donnée, et

*      Sommes des puissances successives d'un même nombre ou d'un même motif.

 

Voir Nombres consécutifs / Suites géométriques

 

 

 

Sommes des puissances successives d'un nombre

 

Formules générales

 

Elles découlent directement de la division indiquée en rouge, elle-même faisant l'objet d'une identité remarquable.

Ces identités remarquables se retrouvent en numération où n représente la base ou encore pour caractériser certains nombres brésiliens (repdigits).  

 

Cas particulier où n = 2

Notons que la sommes des puissances successives de 2 est égale à la puissance suivante décrémentée de un.

 

Suites géométriques de raisons a et 1/a

 

Ex: 1 + 5 + 5² = 31 = (53 – 1) / (5 – 1) ) = 124 / 4 =  31

      1 + 1/5 + 1/5² = 1 + 0,2 + 0,04 = 1,24 = 124 /(4 x 5²) = 1,24

 

 

Suites géométriques de raisons 2 et 1/2

 

Ex: 1 + 2 + 2² = 7 = 23 – 1 = 7

        1 + 1/2 + 1/4 =  1,75 = 7 / 2² = 1,75

Voir Suites géométriques / Nombres décimaux et périodiques

Merci à Frank J. pour sa contribution

 

 

Puissances de 2

Avec puissances de 2

 

 

Exemple

 

                                   

 

n = 5

1x4 + 3x8 + 5x16 + 7x32 +9x64 = 908 = 32(40-12) + 12

 

Avec inverse des puissances de 2

 

 

 

Exemples

 

Voir DicoNombre 6

 

n =   5 => S = 5,53…

n = 10 => S = 5,97…

n = 20 => S = 5,999957…

 

 

 

Puissances de 3

 

Avec puissances de 3
(avec exemples de notations)

 

 

Exemples

 

Suite géométrique de raison 3

 

n =     5 => S = 364
n =   10 => S = 88 573

 

 

Avec inverse des puissances de 3

 

 

 

 

Exemples

 

 

 

 

Somme infinie

 

Suite géométrique de raison 1/3

 

 

n =     5 => S' = 364 / 243 = 1,4979…
n =   10 => S' = 88 573 / 59 049 = 1,4999915…

 

 

 

 

Sommes infinies avec  numérateur

Voir DicoNombre 2,25

Voir DicoNombre 0,75

Voir DicoNombre 6

 

 

Produit

 

 

 

Notations

 

 

 

Exemples

 

 

 

 

n = 1 => P = 40/27 = 1,481 481 …
n = 2 => P = 3 280 / 2 187 = 1,49977…

n = 3 => P = 1,499999965…

n = 5 => P = 1,5  à 10 -31 près.

Ce produit tend vers 1,5 pour n infini.

 

 

 

Puissances de 4

 

Avec puissances de 4

 

 

Exemples

 

Suite géométrique de raison 4

 

n =   3 => S = 85
n =   5 => S = 1 365

n = 10 => S = 1 398 101

 

 

Avec inverse des puissances de 4

 

 

 

 

Exemples

 

 

 

 

Somme infinie

 

Suite géométrique de raison 1/4

 

 

n =   3 => S' = 85 / 64 = 1,328125
n =   5 => S' = 1 365 / 1 024 = 1,333007…

n = 10 => S' = 1 398 101 / 1 048 576 = 1,333333015…

 

Voir Somme des puissances quatrièmes

 

 

Puissances de 5 et plus

 

Avec puissances de 5

 

 

 

 

 

 

 

 

Avec puissances

de A >1

 

 

Somme des puissances n d'un entier A

 

Somme des puissances n de l'inverse d'un entier A

 

Exemple avec l'inverse de A = 10

 

Puissances de 5 et numérateur

 

 

Exemples

 

 

 

 

n =   5 => S'n = 39 / 25 = 1,56

 

 

Puissances de 2, 3 …

 

Entier, carrés et cubes

 

 

 

Exemple

 

 

 

 

n= 3 => 3/2 + 14/6 + 39/12 = 85/12 = 7,08333…

           = 1 + 2 + 3 + 1/2 + 1/3 + 1/4 = 85/12

 

 

Entier, carrés et bicarrés

 

Exemple

 

 

 

 

Calcul

 

Voir Identités avec le quatrième degré

 

 

n= 3 =>

 

Voir Carrés et inverses

 

 

Fractions diverses

 

Fraction

 

 

 

Exemple

 

 

 

Puissances 2 et 3

 

 

Exemple

Voir Recherche de formule

 

Puissances 2 et 4

 

 

Exemple

 

 

Puissance et infinis

Voir Formule de Goldbach

Puissances et factorielles

 

La énième différence finie des puissances énièmes est égale à factorielle n.

Voir Explications et démonstration

 

Impairs et

inverses de 2

 

 

Somme des inverses de n à des puissances  successives

 

La somme des inverses de toutes les puissances parfaites, y compris les doublons, vaut 1. Notez bien le départ des indices: n = 2 et  k = 2.

En effet:

 

Note 1: voir le tableau ci-dessous pour visualiser la légitimité de la mise en facteur commun de 1/n².

Note 2: les fractions finales, impliquant des nombres consécutifs, s'éliminent deux à deux:

Seule la première (1) et la dernière (qui tend vers 0) subsistent.

 

Exemple de valeurs numériques

Jusqu'à n = k = 10

 

Jusqu'à n = k = 100

 

Son calcul avec Maple

La convergence vers 1 est très lente: avec n = k = 1000, on a 0,9990…

 

Exemple de début de calcul

 

 

Cas des puissances (et non des inverses)

Pour information la somme des puissances (les mêmes, mais en partant de 1 et non de 2) donne:

11 + 12 + 21 + 22 = 8;

11 + 12 + 13 + 21 + 22 + 23 + 31 + 32 + 33 = 56.

Suite sur le tableau =>

 

Notez la curiosité avec des couples de 6 au dixième rang.

S = 16676686632 = 1,667668663 1010

 

 

 

 

Immense merci à Claude M. pour sa contribution qui a conduit à mettre à jour cette page

 

 

 

 

 

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