NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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IDENTITÉS

 

Débutants

Addition

SOMMES

Nombres et puissances

 

Glossaire

Addition

 

 

INDEX

 

Sommes

 

Identités

 

Index et Bases

Carrés

Cubes

2, 3, 5 … n

Somme des puissances de 2 à 20 des nombres successifs

Nombre somme de puissances

 

Sommaire de cette page

>>> Sommes des puissances successives d'un nombre

>>> Formules diverses pour puissances 2 à 5

>>> Impairs et inverses de 2

>>> Somme de puissances successives avec x < 1

>>> Somme des inverses des puissances

 

 

 

 

Variations sur les SOMMES

des PUISSANCES de 2, 3 …, n

 

Les sommes classiques des nombres successifs ont déjà été vues:

*    entiers, pairs, impairs

*    carrés,  cubes ou autres puissances

*    inverses, etc.

Cette page est consacrée à des sommes plus particulières.

 

Ne pas confondre:

*      Somme des nombres successifs portés à une puissance donnée, et

*      Sommes des puissances successives d'un même nombre.

 

Voir Nombres consécutifs

 

 

 

Sommes des puissances successives d'un nombre

 

Formules générales

 

Elles découlent directement de la division indiquée en rouge, elle-même faisant l'objet d'une identité remarquable.

Ces identités remarquables se retrouvent en numération où n représente la base ou encore pour caractériser certains nombres brésiliens (repdigits).  

 

Cas particulier où n = 2

Notons que la sommes des puissances successives de 2 est égale à la puissance suivante décrémentée de un.

 

Suites géométriques de raisons a et 1/a

 

Ex: 1 + 5 + 5² = 31 = (53 – 1) / (5 – 1) ) = 124 / 4 =  31

      1 + 1/5 + 1/5² = 1 + 0,2 + 0,04 = 1,24 = 124 /(4 x 5²) = 1,24

 

 

Suites géométriques de raisons 2 et 1/2

 

Ex: 1 + 2 + 2² = 7 = 23 – 1 = 7

        1 + 1/2 + 1/4 =  1,75 = 7 / 2² = 1,75

Voir Suites géométriques / Nombres décimaux et périodiques

Merci à Frank J. pour sa contribution

 

 

Sommes avec x

 

Puissances de x pondérés par les nombres successifs

 

Exemples

 

 

 

Calcul

 

 

 

 

 

Attention

 

 

 

Pour info

 

 

 

S(x=2, k=5) = 129

S(x=3, k=5) = 547

 

 

Avec x = 1, il s'agit de la somme des entiers.

 

Avec x= –1, il s'agit de la somme alternée des entiers

 

 

 

Somme limitée

x réel

 

 

 

La formule est valable pour tout x réel différent de 1 et –1.

Pour x = 0, on retrouve la formule précédente.

Pour x = 1, également mais divisée par 2.

Pour x = - 1, la division par zéro est impardonnable.

Pour n = 2, on trouvera, par exemple, 65 519 / 65 535.

 

 

Somme infinie

n entier

 

 

La formule est valable pour tout n entier différent de 1 et –1.

La convergence est d'autant plus rapide que n et grand.

Exemple

Avec x = 2, la série converge vers 1

 

Avec des valeurs non entières comme  x = 1,1

la série ne converge pas vers 1 / (x – 1)

S = 10 – 4, 4506 = 5,5493 …  alors que 1 / (1,1 – 1) = 10

 

Pyramide en x

1 +

1+ x +

1+ x + x² +

1+ x + x² + x3

1+ x + x² + x3 + … + xn-1

Exemple

1 +

1+ 2 +

1+ 2 + 4 +

1+ 2 + 4 + 8

1+ 2 + 4 + 8 + 16

62 = 57

 

 

 

Puissances de 2

Avec puissances de 2

 

 

Exemple

 

                                   

 

n = 5

1x4 + 3x8 + 5x16 + 7x32 +9x64 = 908 = 32(40-12) + 12

 

Avec inverse des puissances de 2

 

 

 

Exemples

 

Voir DicoNombre 6

 

n =   5 => S = 5,53…

n = 10 => S = 5,97…

n = 20 => S = 5,999957…

 

 

 

Puissances de 3

 

Avec puissances de 3
(avec exemples de notations)

 

 

Exemples

 

Suite géométrique de raison 3

 

n =     5 => S = 364
n =   10 => S = 88 573

 

 

Avec inverse des puissances de 3

 

 

 

 

Exemples

 

 

 

 

Somme infinie

 

Suite géométrique de raison 1/3

 

 

n =     5 => S' = 364 / 243 = 1,4979…
n =   10 => S' = 88 573 / 59 049 = 1,4999915…

 

 

 

 

Sommes infinies avec  numérateur

Voir DicoNombre 2,25

Voir DicoNombre 0,75

Voir DicoNombre 6

 

 

Produit

 

 

 

Notations

 

 

 

Exemples

 

 

 

 

n = 1 => P = 40/27 = 1,481 481 …
n = 2 => P = 3 280 / 2 187 = 1,49977…

n = 3 => P = 1,499999965…

n = 5 => P = 1,5  à 10 -31 près.

Ce produit tend vers 1,5 pour n infini.

 

 

 

Puissances de 4

 

Avec puissances de 4

 

 

Exemples

 

Suite géométrique de raison 4

 

n =   3 => S = 85
n =   5 => S = 1 365

n = 10 => S = 1 398 101

 

 

Avec inverse des puissances de 4

 

 

 

 

Exemples

 

 

 

 

Somme infinie

 

Suite géométrique de raison 1/3

 

 

n =   3 => S' = 85 / 64 = 1,328125
n =   5 => S' = 1 365 / 1 024 = 1,333007…

n = 10 => S' = 1 398 101 / 1 048 576 = 1,333333015…

 

Voir Somme des puissances quatrièmes

 

 

Puissances de 5 et plus

 

Avec puissances de 5

 

 

 

 

 

 

 

 

Avec puissances de A

 

 

 

Puissances de 5 et numérateur

 

 

Exemples

 

 

 

 

n =   5 => S = 39 / 25 = 1,56

 

 

Puissances de 2, 3 …

 

Entier, carrés et cubes

 

 

 

Exemple

 

 

 

 

n= 3 => 3/2 + 14/6 + 39/12 = 85/12 = 7,08333…

           = 1 + 2 + 3 + 1/2 + 1/3 + 1/4 = 85/12

 

 

Entier, carrés et bicarrés

 

Exemple

 

 

Calcul

 

 

 

 

n= 3 =>

 

Voir Carrés et inverses

 

 

 

EN COURS de mise à jour

(Mettre exemples ci-dessus)

 

 

Fraction

1. 22 + 2 . 32 + … + n . (n+1)2

2. 12 + 3 . 22 + … + n2 . (n+1)

= (3n + 5) / (3n + 1)

 

 

>>>

Inverse de 2

>>>

Inverse de 2, infini

= 2

>>>

Inverse de n

 

SG de raison 1/n

>>>

Inverse de n, infini

 

Voir Nombres périodiques

 

>>>

Impair et

Inverse de 2

= 6

 

Inverse de 3

(1+1/3) (1+1/32) (1+1/33) (1+1/34) …

(1+1/32n)

= 3/2 (1 - 3-2n+1)

 

En 5

1 + 2/5 + 3/5² + 4/53

25/16(1-1/5n) - 1/4 n(1/5n-1)

 

En 5

5/13 + 55/13² + 555/133 + 5555/134 + …

= 65/36

 

En x

1 + 2x + 3x² +…+ n.xn-1

= (1 - (n-1)xn + n.xn+1) / (1-x)²

 

Puissances 2 et 3

(1+1²+13)/1.2 +

(1+2²+23)/2.3 +

(1+3²+33)/3.4 +…

(1 + n2 + n3)/n (n + 1)

= n(n²+2n+3) / 2(n+1)

 

Puissances 2 et 4

1/(1+1²+14) +

2/(1+2²+24) +

3/(1+3²+34) + …

n / (1 + n2 + n3)

= n(n+1) / 2(1+n+n²)

 

>>>

Puissance infinie

= 1

 

 

Puissances et factorielles

La énième différence finie des puissances énièmes

est égale à factorielle n.

Voir Explications et démonstration

 

 

 

IMPAIRS et INVERSES de 2

 

1 + 3/2 + 5/2² + 7/23 + …

= 6

 

Valeurs

n

Somme

chiffres

1

1,

1

2

2,5000

5

3

3,7500

 

4

4,6250

 

5

5,187500000

10

6

5,531250000

 

7

5,734375000

 

8

5,851562500

 

9

5,917968750

 

10

5,9550781250000000000

20

20

5,9999179840087890625

 

30

5,9999998826533555984

 

40

5,9999999998490238795

 

50

5,99999999999981703524554177422

30

60

5,99999999999999978662901245486

 

70

5,99999999999999999975774857711

 

80

5,99999999999999999999973033914

 

90

5,99999999999999999999999970438

 

100

5,9999999999999999999999999996797224724802692070028

50

125

5,9999999999999999999999999999999999881039971696785

 

150

5.9999999999999999999999999999999999999999995754065

 

175

5.99999999999999999999999999999999999999999999999998525803214

60

200

5.999999999999999999999999999999999999999999999999999999999498424968604

70

 

 

 

 

 

Mettre des x

Somme de puissances successives

 

Pour -1< n < 1

 

Démonstration

En utilisant la propriété des progressions géométriques

 

Exemples

 

 Voir Suite Harmonique

 

Somme des inverses des puissances

 

La somme des inverses de toutes les puissances parfaites, y compris les doublons, vaut 1.

En effet:

 

Note: les fractions finales, impliquant des nombres consécutifs, s'éliminent deux à deux:

 

Seule la première (1) et la dernière (qui tend vers 0) subsistent.

 

Exemple

Jusqu'à n = k = 10

S = 0,8990146224 =

Pour information la somme  des puissances (les mêmes) donne:

S = 16676686632 =  1,667668663 1010

Curiosité avec des couples de 6.

 

Liste de telles sommes. Exemple: 11 + 12 + 21 + 22 = 8

 

 

 

Merci à Claude M. pour sa contribution qui a conduit à mettre à jour cette page

 

 

 

 

 

Suite

*    Somme des puissances de 2 à 20

*    Formules avec les puissances 4

*    Toutes les formules de somme

*    Nombres de Bernoulli et sommes de puissances

Table

*    Carrés, cubes … et leurs cumuls

Voir

*    Carrés

*    Constantes

*    Cubes

*    Factorielles et somme des entiers

*    Isopérimètre

*    Nombres consécutifs Index

*    Nombres de Bernoulli

*    Nombres géométriques

*    Pairs et impairs

*    Somme des puissances des nombres successifs - Holopotentiel

*    Tautochronie

*    Théorèmes

DicoNombre

*    Nombre 8

*    Nombre 56

*    Nombre 494

*    Nombre 5 699

*    Nombre 82 200

*    Nombre 16676686632

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