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Édition du: 26/04/2021

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Brèves de Maths

 

INDEX

 

Nombres premiers

 

Types de nombres

 

 

Nombres Premiers – Quantité

Quantité

Fonction Pi (n)

Théorème des NP

Historique de Pi (n)

Tables Pi (n)

Intervalle minimum

Quantité de jumeaux

Premiers de Ramanujan

NP: Nombres premiers

 

 

FONCTION Pi(n)

 

QUANTITÉ de nombres premiers jusqu'au nombre n compris.

Elle est caractérisée par la fonction nommée π(n)

 

Exemple: Il y a 1 229 nombres premiers < 10 000. On écrit: π(10 000) = 1 229.

 

 

Sommaire de cette page

>>> Fonction

>>> Bilan

 

Débutants

Nombres premiers

 

Glossaire

Nombres permiers

 

 

Curiosité unique

Seule forme connue.

      Voir Nombre 59

 

 

FONCTION

haut

 

Définition

La fonction  donne la quantité de nombres premiers jusqu'à n, n compris

 

Facteur de progression

Dans le tableau, le ratio de la colonne de droite augmente de 2,3 pour chaque puissance de dix successive.
 

Cette valeur est en fait le log népérien de 10.
             ln (10) = 2,3

Voir Table

 

Pour les nombres de 1 à 10

(En rouge, les nombres premiers)

 

 

 

Ne pas confondre !

 

Pi(n) = Quantité de nombre premiers inférieurs à n.
Ex: Pi(100) = 25

 

Phi(n) = Quantité de nombres premiers avec n et inférieurs à n.
Ex: Phi(100) = 40

 

 

Progression de

haut

 

Courbe de progression

 

Traçons cette courbe n = f (ln(n))

 

En construisant le graphe de , on constate que, même si  est localement irrégulier, il existe une tendance générale.

 

Courbe n / ln (n)

 

Théorème des nombres premiers

Prime Number Theorem

haut

 

Théorème des nombres premiers

 

 

Théorème de Tchebychev 

Tchebychev Limits Theorem

 

 

En 1998, Pierre Dusart (université de Limoges) a montré que la quantité de premiers inférieurs ou égaux à n est supérieure ou égale à cette expression pour n supérieur à 6 000.

 

 

Autres formules d'approximation

sur la page de Chris Caldwell.

 

 

Bilan

haut

 

Nombres premiers autour de 10 000 000

 

Un exemple de la densité des nombres premiers autour de 10 000, dans la centaine supérieure, il n'y a que 2 premiers, alors que la centaine inférieure en comporte 9.

 

Voir Autour de 1 000 000 000



La probabilité pour qu'un nombre pris au hasard soit premier est environ 1 / log(n).

 

Exemple

log 10100 = 230

Un nombre de 100 chiffres

a une chance sur 230 d'être premier

Voir Introduction sur ce sujet

 

 

 

 

Suite

*    Comment estimer  ?
          Théorème des nombres premiers

Voir

*    Nombres premiersIndex

*    FAQ sur les nombres premiers

*    Fonction de Liouville

*    Nombres pratiques et Pi(x)

Aussi

*    Liste de nombres premiers

 

*    Ératosthène

*    Facteurs premiers autour de 1000

*    Fonctions arithmétiques

*    Nombres composés

*    Premiers en tableaux, en spirales …

*    Représentation des nombres

Sites

*    La page des nombres premiers
de Chris Caldwell – La référence du domaine

*    How many primes are there ? – Chris Caldwell

*    Et sa page sur le 0

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Premier/quantiPi.htm

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Renvois de liens suite à la refonte de ces pages

*    DÉNOMBREMENT / Table Pi (n)  >>>

*    THÉORÈME DES NOMBRES PREMIERS >>>

*    Introduction

*    Dénombrement & Table pi (n) 

*    Le théorème des nombres premiers: valeur de pi (n)

*    Méthode de recherche des nombres premiers

*    Analyse des unités et dizaines des  premiers jusqu'à 1 000

*      Quantité de nombres premiers - Historique