NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Nombres PREMIERS

 

Débutants

Nombres

Premiers

QUANTITÉ

 

Glossaire

Nombres

Premiers

 

 

INDEX

 

Nombres premiers

 

Quantité

Fonction Pi (n)

Théorème des NP

Historique de Pi (n)

Tables Pi (n)

Intervalle minimum

Quantité de jumeaux

 

Sommaire de cette page

>>> Fonction

>>> Bilan

 

NP: Nombres premiers

 

 

 

QUANTITÉ de nombres premiers

 

Elle est caractérisée par la fonction

Qui est la quantité de nombres premiers jusqu'à n.

 

Ex: Il y a 1 229 nombres premiers < 10 000.

On écrit:  = 1 229.

 

 

Curiosité unique

Seule forme connue

Voir Nombre 59

 

 

FONCTION

 

Définition

 

La fonction  donne la quantité de nombres premiers jusqu'à n

Pour les nombres de 1 à 10

(En rouge, les nombres premiers)

 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

 (1) = 0

 (2) = 1

 (3) = 2

 (4) = 2

 (5) = 3

 (6) = 3

 (7) = 4

 (8) = 4

 (9) = 4

 (10) = 4

 

 

Facteur de progression

 

*    Dans le tableau, le ratio de la colonne de droite augmente de 2,3 pour chaque puissance de dix.
 

*    Cette valeur est en fait le log népérien de 10.
             ln (10) = 2,3

 

Extrait de la table des  puissances de dix successives

 

écart

28,9

31,2

2,3

33,5

2,3

35,8

2,3

38,1

2,3

40,4

2,3

42,7

2,3

45

2,3

 

Voir Table

 

Courbe de progression

 

*    D'où l'idée de tracer la courbe ci contre. Car, en effet:

 

 

*    En construisant le graphe de , on constate que, même si  est localement irrégulier, il existe une tendance générale.

 

Courbe n / ln (n)

 

 

Théorème des nombres premiers (Prime Number Theorem)

 

 

 

Théorème de Tchebychev  (Tchebychev Limits Theorem)

 

 

En 1998, Pierre Dusart (université de Limoges) a montré que la quantité de premiers inférieurs ou égaux à n est supérieur ou égal à cette expression pour n supérieur à 6000.

 

 

 

BILAN

 

*    Un exemple de la densité des nombres premiers autour de
10 000,

*    dans la centaine supérieure, il n'y a que 2 premiers,

*    alors que la centaine inférieure en comporte 9.

 

*    La probabilité qu'un nombre pris au hasard soit premier est environ 1/log(n).

 

Début

du nombre

Chiffres des

dizaines et unités

9 999 9..

01- 07-29-31-37-43-71-73-91

10 000 0..

19-79

 

Voir Premiers autour de 1 000 000 000

 

 

 

Exemple

log 10100 = 230

Un nombre de 100 chiffres

a une chance sur 230 d'être premier

 

Voir Introduction sur ce sujet

 

 

 

alerte.jpgNe pas confondre:

*    La fonction  qui compte les nombres premiers de 2 à n; et

*    La fonction qui compte les nombres premiers entre eux entre 1 et n; fonction dite Phi d'Euler >>>

 

 

 

 

Suite

*    Comment estimer  ?
          Théorème des nombres premiers

Voir

*    Nombres premiersIndex

*    FAQ sur les nombres premiers

*    Fonction de Liouville

Aussi

*    Liste de nombres premiers

 

*    Ératosthène

*    Facteurs premiers autour de 1000

*    Fonctions arithmétiques

*    Nombres composés

*    Premiers en tableaux, en spirales …

*    Représentation des nombres

Site

*    La page des nombres premiers
de Chris Caldwell – La référence du domaine

*    Et sa page sur le 0

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Premier/quantiPi.htm

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Renvois de liens suite à la refonte de ces pages

*    DÉNOMBREMENT / Table Pi (n)  >>>

*    THÉORÈME DES NOMBRES PREMIERS >>>

*    Introduction

*    Dénombrement & Table pi (n) 

*    Le théorème des nombres premiers: valeur de pi (n)

*    Méthode de recherche des nombres premiers

*    Analyse des unités et dizaines des  premiers jusqu'à 1 000

*      Quantité de nombres premiers - Historique