NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Nombres

Premiers

 

 

INDEX

 

Nombres premiers

 

Premiers

Intervalle

Écart à volonté

Orphelins

Intervalle – Tables

Puissances proches

Jumeaux

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Distribution des nombres premiers

>>> Écart minimum

>>> Bilan

>>> Quelques détails

>>> Équidistance

 

 

 

 

 

 

INTERVALLE ENTRE PREMIERS

 

 

*    Soit un écart entre une paire de nombres premiers

Combien sont-elles à posséder ce même écart ?

*    Encore question d'infinités!

*    Et une découverte sensationnelle faite en mars 2003

 

*    Une équidistance qui rappelle la conjecture de Goldbach.

 

Voir Observations sur les écarts entre nombres premiers

 

 

 

APPROCHE

 

*    Écart record entre deux nombres premiers successifs:

Suite de la table

 

Tous les nombres premiers jusqu'à 100 sont distants de moins de 7, sauf 89 et 97.

Voir Barre magique

 

 

*    Jusqu'à 97, on trouve les nombres pairs successifs, mais la séquence est vite interrompue.

*    Voici les deux écarts qui manquent entre 8 et 14

149 – 139 = 10

211 – 199 = 12

 

 

 

 Distribution des nombres premiers

Distribution

 

*    Parmi les petits nombres, il y a beaucoup de nombres premiers. Mais, parmi les grands nombres, ils sont de plus en plus rares.

*    L'écart moyen entre deux nombres premiers répond à un modèle simple:

 

L'écart moyen entre deux nombres voisins d'un entier x est le logarithme naturel de x.

 

*    Ce n'est qu'une moyenne, il y a beaucoup de dispersion

 

Écart minimum

*    Les nombres premiers jumeaux ne sont distants que de 2.

 

Réduire l'écart

*    Une recherche consiste à trouver des paires de premiers dont l'écart est minimum, inférieur à ce que prévoit le théorème.

 

 

Entre 1 et 9, ils sont 4: 

2, 3, 5 et 7

 

Vers un milliard, il en a

1 tous les 28 en moyenne.

 

Exemples de calcul

x           = 6

premiers voisins: 5 et 7

écart     =  2

log 2     = 1,79
               – Ça marche

 

x           = 525

premiers voisins: 523 et 543

écart     = 20

log 2     = 6,2
               – Ça marche moins bien!

 

Suite en Comparaison

Jumeaux

  5   et    7

11   et  13

881 et 883

 

Écart moyen E

e < E

Voir Tables d'études des écarts

 

 

ÉCART MINIMUM entre premiers

 

Écart moitié

 

Il existe une infinité de paires de nombres premiers dont l'écart est moitié de celui prédit par la loi.

Prouvé en 1965

 

Écart divisée par 4

 

Il existe une infinité de paires de nombres premiers dont l'écart au quart de celui prédit par la loi.

Prouvé en 1988

 

Écart divisée par une fraction

 

Il existe une infinité de paires de nombres premiers dont l'écart est une fraction de celui prédit par la loi,

aussi petite que soit cette fraction.

 

Prouvé en 2003 par

*    Daniel Goldston (San José)

*    Cem Yildirim (Istanbul)

Annoncé en avril en Allemagne à la conférence sur la théorie algorithmique des nombres, dans un article appelé: " Small Gaps Between Primes"

 

 

Rappel

Le fait que les nombres premiers jumeaux sont en nombre infini est une conjecture.

Les théorèmes ci-contre, eux par contre, sont démontrés.

 

 

Écart fractionnaire

 

La découverte a été faite en élargissant le champ des études non pas seulement aux paires, mais aussi aux séquences de 3, 4 … nombres premiers

 

 

 

 

"Ces résultats pulvérisent toute une série de records précédents.

C'est un peu comme si quelqu'un courait 1000 mètres en deux minutes"

Carl Pomerance ( Bell - Murray hill)

 

 

 

Ce résultat est tellement meilleur que ce à quoi nous nous attendions que j'ai failli croire que nous nous étions trompés

D. Goldston

 

 

ÉCART MAXIMUM entre premiers

Conjecture d'Andrica

Pn et Pn+1 sont deux nombres premiers consécutifs, alors pour tout n =>

 

 

 

Pour n jusqu'à un million, cet écart entre racine vaut au maximum 0,671 et elle est atteinte dès la paire (7, 11).

Tous les calculs actuels montrent que =>

                       = 0,670873479

Ce tableau montre l'écart entre racines pour le record de distante entre les deux premiers jusqu'à un million

 

 

Ex: entre 887 et 907 l'écart est de 20 pour la première fois et la différence entre les racines est égale à 0,333…

 

La conjecture a été vérifiée jusqu'à plus de 1016.  Avec un écart très nettement inférieur à 1. Mais, la conjecture n'est pas prouvée.

En 1992, Baugh et O'Hara découvrent  ces deux premiers, séparés par 4 247 unités.

10314 – 1929 et 10314 + 2318

 

L'écart entre racines est

de l'ordre de 2 10-154

 

Généralisation de la conjecture d'Andrica.

 

Constante de Smarandache: plus petit x tel que:

 

Alors n = 30, Pn = 113 et Pn+1 = 127. Cette la plus petite valeur constatée, mais jamais démontrée.

 

Anglais: the Smarandache constant is the smallest x such that q^x - p^x = 1 for two successive primes p,q.

OEIS A038458

 

 

 

 

BILAN

 

Les premiers sont cernés!

 

Soit E est l'écart entre deux nombres premiers:

 

*       Il y en aune infinité de nombres premiers tels que:

      E quelconque

Prouvé

     E / 2

Prouvé (1965)

     E / 4

Prouvé (1980)

     E / n

Prouvé (1980)

    E = 2 (les jumeaux)

Conjecture

 

 

QUELQUES DÉTAILS

DISTANCE entre paires de premiers

 

*    L'infinité des premiers jumeaux n'est qu'une conjecture.

*    Cherchons à déterminer l'écart minimum entre deux premiers consécutifs. Si l'on trouve 2, la conjecture est prouvée.

*    Mais, l'état des recherches n'en est pas encore là. Quoiqu'un grand pas vient d'être franchi en 2003.

 

pk est le kième nombre premier

pk+1 le suivant

 

L'écart ou distance entre eux est

dk = pk+1 - pk

 

dk = 2 pour les premiers jumeaux

 

 

DISTANCE pour de très grands nombres

 

*    On s'intéresse aux premiers plus grands qu'un très grand nombre N:

*    Quelle est la distance la plus petite pour toutes les paires au-delà de N ?

*    Que se passe-t-il pour N tendant vers l'infini?

*    Comparons la distance minimum avec la distance moyenne:

*    Que devient ce rapport quand N tend vers l'infini?

 

Pour tout pk > N

Valeur de dkmin ?

 

Si la conjecture sur les jumeaux est vraie:

dkmin = 2 pour les paires au-delà de N aussi grand que l'on veut.

 

Rkmin = dkmin / dkmoyen

         = dkmin / ln pk

 

Si la conjecture sur les jumeaux est vraie:

Rkmin = 2 / infini = 0 pour les paires au-delà de N aussi grand que l'on veut

( Attention, pas réciproque ! )

 

 

COURSE AUX RECORDS

 

 

 

 

 

DERNIÈRES NOUVELLES

 

Rkmin = dkmin / ln pk ® 0

 

Pour tout nombre aussi petit qu'il soit,  il existe une infinité de paires de premiers consécutifs  qui sont distants de moins de  la distance moyenne pour ces nombres  multipliée par ce petit nombre.

Le plus petit écart entre deux nombres premiers consécutifs comparé à l'écart moyen pour ces nombres, tend vers 0.

 

En anglais

Given any fraction, no matter how small, there are infinitely many prime pairs closer together than that fraction of the average.

 

 

 

 

Équidistances

 

*    Un problème amusant consiste à vérifier si un nombre entier quelconque est entouré de deux premiers avec le même écart de part et d'autre.

*    La table ci-contre montre que cela est faisable jusqu'à 15.

 

*    Ce graphe montre le comportement des nombres de 4 à 100: c'est toujours faisable avec des écarts plus ou moins grands.

*    Les valeurs retenues sont celles qui donnent l'écart minimum. Il existe souvent d'autres possibilités avec des écarts plus grands.

 

*    Cette propriété n'est pas étrange lorsqu'on sait que la conjecture de Golbach a été vérifiée jusqu'à 4 1018 en 2012.

*    En effet, reprenons notre nombre n et l'écart e avec les nombres premiers Pmin et Pmax.

 

n – e = Pmin

n + e = Pmax

2n = Pmin + Pmax

 

*    Les nombres pairs en 2n sont somme de deux premiers. Ceci est bien l'énoncé de la conjecture.

 

Record pour e,

le plus petit écart pour chaque nombre

 

 

 

 

 

Suite

*    Observations sur les écarts entre nombres premiers

Voir

*    Nombres premiersIndex

*    FAQ sur les nombres premiers

Aussi

*    Liste de nombres premiers

 

*    Consécutifs

*    Facteurs premiers autour de 1000

*    Jumeaux

*    Nombres composés

*    Premiers en tableaux, en spirales …

*    Représentation des nombres

*    Séquences

DicoNombre

*    Nombre 0,567… (Smarandache)

*    Nombre 0,670 …

*    Nombre 10314

Sites

*    Notes:  Goldston & Yildirim's Result

*      Generalized Andrica conjecture

*    Andica's Conjecture – Wolfram MathWorld

*    Smarandache Constants – Wolfram MathWorld

*    Six conjectures which generalize or are related to Andrica’s conjecture – Florentin Smarandache, Ph D (New Mexico)

Journal

*    Courrier International du 17 au 23 avril 2003

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