NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil / Dictionnaire / Rubriques / Index / Atlas / Références / Nouveautés ORIENTATION GÉNÉRALE  - M'écrire - Édition du: 27/11/2011
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INTERVALLE ENTRE PREMIERS

Soit un écart entre une paire de nombres premiers

Combien sont-elles à posséder ce même écart ?

Encore question d'infinités!

Et une découverte sensationnelle faite en mars 2003

Voir Observations sur les écarts entre nombres premiers

APPROCHE
Écart record entre deux nombres premiers successifs: Suite de la table Jusqu'à 97, on trouve les nombres pairs successifs, mais la séquence est vite interrompue Voici les deux écarts qui manquent entre 8 et 14 149 – 139 = 10 211 – 199 = 12

Distribution des nombres premiers
Distribution Parmi les petits nombres, il y a beaucoup de nombres premiers. Mais, parmi les grands nombres, ils sont de plus en plus rares. L'écart moyen entre deux nombres premiers répond à un modèle simple: L'écart moyen entre deux nombres voisins d'un entier x est le logarithme naturel de x. Ce n'est qu'une moyenne, il y a beaucoup de dispersion Écart minimum Les nombres premiers jumeaux ne sont distants que de 2. Réduire l'écart Une recherche consiste à trouver des paires de premiers dont l'écart est minimum, inférieur à ce que prévoit le théorème.	Entre 1 et 9, ils sont 4: 2, 3, 5 et 7 Vers un milliard, il en a 1 tous les 28 en moyenne. Exemples de calcul x = 6 premiers voisins: 5 et 7 écart = 2 log 2 = 1,79 – Ça marche x = 525 premiers voisins: 523 et 543 écart = 20 log 2 = 6,2 – Ça marche moins bien! Suite en Comparaison Jumeaux 5 et 7 11 et 13 881 et 883 Écart moyen E e < E

Voir Tables d'études des écarts

ÉCART MINIMUM entre premiers
Écart moitié Il existe une infinité de paires de nombres premiers dont l'écart est moitié de celui prédit par la loi. Prouvé en 1965 Écart divisée par 4 Il existe une infinité de paires de nombres premiers dont l'écart au quart de celui prédit par la loi. Prouvé en 1988 Écart divisée par une fraction Il existe une infinité de paires de nombres premiers dont l'écart est une fraction de celui prédit par la loi, aussi petite que soit cette fraction. Prouvé en 2003 par Daniel Goldston (San José) Cem Yildirim (Istanbul) Annoncé en avril en Allemagne à la conférence sur la théorie algorithmique des nombres, dans un article appelé: " Small Gaps Between Primes"	Rappel Le fait que les nombres premiers jumeaux sont en nombre infini est une conjecture. Les théorèmes ci-contre, eux par contre, sont démontrés. Écart fractionnaire La découverte a été faite en élargissant le champ des études non pas seulement aux paires, mais aussi aux séquences de 3, 4 … nombres premiers "Ces résultats pulvérisent toute une série de records précédents. C'est un peu comme si quelqu'un courait 1000 mètres en deux minutes" Carl Pomerance ( Bell - Murray hill) Ce résultat est tellement meilleur que ce à quoi nous nous attendions que j'ai failli croire que nous nous étions trompés D. Goldston

BILAN
Les premiers sont cernés! Soit E est l'écart entre deux nombres premiers Il y en aune infinité de nombres premiers tels que:
E quelconque	Prouvé
E / 2	Prouvé (1965)
E / 4	Prouvé (1980)
E / n	Prouvé (1980)
E = 2 (les jumeaux)	Conjecture

QUELQUES DÉTAILS
DISTANCE entre paires de premiers L'infinité des premiers jumeaux n'est qu'une conjecture. Cherchons à déterminer l'écart minimum entre deux premiers consécutifs. Si l'on trouve 2, la conjecture est prouvée. Mais, l'état des recherches n'en est pas encore là. Quoiqu'un grand pas vient d'être franchi en 2003.	pk est le k^ième nombre premier pk+1 le suivant L'écart ou distance entre eux est dk = pk+1 - pk dk = 2 pour les premiers jumeaux
DISTANCE pour de très grands nombres On s'intéresse aux premiers plus grands qu'un très grand nombre N: Quelle est la distance la plus petite pour toutes les paires au-delà de N ? Que se passe-t-il pour N tendant vers l'infini? Comparons la distance minimum avec la distance moyenne: Que devient ce rapport quand N tend vers l'infini?	Pour tout pk > N Valeur de dkmin ? Si la conjecture sur les jumeaux est vraie: dkmin = 2 pour les paires au-delà de N aussi grand que l'on veut. Rkmin = dkmin / dkmoyen = dkmin / ln pk Si la conjecture sur les jumeaux est vraie: Rkmin = 2 / infini = 0 pour les paires au-delà de N aussi grand que l'on veut ( Attention, pas réciproque ! )
COURSE AUX RECORDS

DERNIÈRES NOUVELLES

R_kmin = d_kmin / ln p_k ® 0

Pour tout nombre aussi petit qu'il soit, il existe une infinité de paires de premiers consécutifs qui sont distants de moins de la distance moyenne pour ces nombres multipliée par ce petit nombre.

Le plus petit écart entre deux nombres premiers consécutifs comparé à l'écart moyen pour ces nombres, tend vers 0.

En anglais

Given any fraction, no matter how small, there are infinitely many prime pairs closer together than that fraction of the average.

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Suite	Observations sur les écarts entre nombres premiers
Voir	Nombres premiers – Index FAQ sur les nombres premiers
Aussi	Liste de nombres premiers Consécutifs Facteurs premiers autour de 1000 Jumeaux Nombres composés Premiers en tableaux, en spirales … Représentation des nombres Séquences
Site	Notes:  Goldston & Yildirim's Result
Journal	Courrier International du 17 au 23 avril 2003