NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Somme et produit des nombres

 

 

 

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Pages de cette famille

>>>  Énigme du 711: somme de nombres = leur produit

>>> Somme et produit des chiffres d'un nombre – Identiques

>>> Somme et produit des chiffres d'un nombre – Comparaison

>>> Les chiffres de la somme sont dans le produit

>>> Produit = k fois somme des chiffres

>>> Puissance des chiffres de nombres en couple

>>> Somme des chiffres d'un nombre à une puissance

 

 

Sommaire de cette page

>>> Égalité – Observations

>>> Égalité – Formulation

>>> Théorie et démonstrations

>>> Propriétés

>>> Somme > Produit

>>> Somme < Produit

 

 

 

Les chiffres d'un nombre

Leur somme et leur produit

Comparaison

  

Quelles sont les nombres dont la somme des chiffres est égale au produit des chiffres? Supérieure? Inférieure ?

 

Exemples d'égalités:

  312 car       3 + 1 + 2 = 3 x 2 x 1        = 6

4211 car 4 + 2 + 1 + 1 = 4 x 2 x 1 x 1 = 8

 

 Voir directement les résultats et les démonstrations >>>

 

 

Égalité - Observations

 

Règle

*      Dans cet exercice, nous formons:

*  la somme de tous les chiffres, et

*  le produit de tous les chiffres

*      y compris avec le 0 qui effectivement donne un produit nul.

*      mais, on examinera tout de même quelques cas en ignorant le zéro.

 

Cas triviaux, cas redondants

*      Les nombres à 1 chiffre donnent une somme égale au produit.

1 = 1; 2 = 2 …

*      Les nombres formés d'un chiffre suivi de 0, également.

10 => 1 = 1; 5000 => 5 = 5; …

*      Si un nombre est retenu, tous les nombres cousins formés par permutations des chiffres offrent la même propriété:

123, 132, 213, 231, 312 et 321.  Voir Permutations

 

Les plus petits

*      Dans ces conditions le plus petit nombre produisant une égalité est:

22 => 2 + 2 = 2 x 2 = 4

*      Le suivant est :

123 => 1 + 2 + 3 = 1 x 2 x 3 = 6

 

Fractions amusantes

*      Cette propriété est exploitée pour produire des fractions amusantes:

 

 

 

 

 

 

Liste

*      Voici la liste de tels nombres (somme = produit) jusqu'à 100 000.
On a conservé les cas avec des 0 (ignorés dans la multiplication).
On a éliminé toutes ses permutations.

 

*      Les nombres en italiques ne sont jamais que des répétions de nombres connus avec introduction d'un 0. Ils seront ignorés dans la suite de la liste.

Ceux qui restent: 22, 123 et 1124.

 

Soit la liste suivante jusqu'à un million (ordre croissant)

Ils sont 89 de 7 types, y compris les permutations:

 

22,

123, 132, 213, 231, 312, 321,

1124, 1142, 1214, 1241, 1412, 1421, 2114, 2141, 2411, 4112, 4121, 4211,

11125, 11133, 11152, 11215, 11222, 11251, 11313, 11331, 11512, 11521, 12115, 12122, 12151, 12212, 12221, 12511, 13113, 13131, 13311, 15112, 15121, 15211, 21115, 21122, 21151, 21212, 21221, 21511, 22112, 22121, 22211, 25111, 31113, 31131, 31311, 33111, 51112, 51121, 51211, 52111,

111126, 111162, 111216, 111261, 111612, 111621, 112116, 112161, 112611, 116112, 116121, 116211, 121116, 121161, 121611, 126111, 161112, 161121, 161211, 162111, 211116, 211161, 211611, 216111, 261111, 611112, 611121, 611211, 612111, 621111.

1111127,  

1111134, …

11111128 ….

 

Rappel: quantité de permutations du nombre 11 152:

Cas de 11 222 (deux chiffres répétés):

Cas de 111 122:

 

 

 

ÉGALITÉ - Formulation

 

*      Prenons 2 et 3 et tentons de former le nombre dont le produit des chiffres est 6. L'astuce consiste à compléter la somme par des 1, ineffectif sur le produit, mais qui incrémente la somme. Ainsi:

 

2 x 3 = 6 = 2 + 3 + 1 => le nombre 123 est valide

 

*      Poursuivons une telle construction:

 

 

*      Finalement peu de mystère! Une application de l'élément neutre de la multiplication, le nombre 1.
 

Voir Nombres qui ont même somme de chiffres et, aussi, même produit

 

 

 

Théorie:   Somme = produit

 

Problème

*    Trouver les nombres N tels que:

avec


 

Premières solutions

 

N

=

=

n

qté

4

=

2 + 2

=

2 x 2

2

1

6

=

1 + 2 + 3

=

1 x 2 x 3

3

1

8

=

1 + 1 + 2 + 4

=

1 x 1 x 2 x 4

4

1

8

=

1 + 1 + 2 + 2 + 2

=

1 x 1 x 2 x 2 x 2

5

9

=

1 + 1 + 1 + 3 + 3

=

1 x 1 x 1 x 3 x 3

5

3

10

=

1 + 1 + 1 + 2 + 5

=

1 x 1 x 1 x 2 x 5

5

 

12

=

1+1+1+1 + 2 + 6

=

1x1x1x1 x 2 x 6

6

1

12

=

1+1+1+1+1 + 3 + 4

=

1x1x1x1x1 x 3 x 4

7

2

14

=

1+1+1+1+1 + 2 + 7

=

1x1x1x1x1 x 2 x 7

7

 

 

Preuve pour n = 3, un seul cas

Majorant de la somme

Cela s'applique au produit

Simplification (x3 n'étant pas nul)

Peu de possibilités pour ces deux termes

{1,1}, {1,2}, {1,3}

Soit les relations suivantes

Et la seule possibilité qui émerge

1+1+1 =? 1x1x1 non

1+1+2 =? 1x1x2 non

1+1+3 =? 1x1x3 non

1+2+2 =? 1x2x2 non

1+2+3 =? 1x2x3 oui
1+3+3 =? 1x3x3 non

 

Preuve pour n = 4, un seul cas

Majorant de la somme

Cela s'applique au produit

Simplification (x4 n'étant pas nul)

Cas possibles

{1,1,1}, {1,1,2}, {1,1,3}, {1,2,2}

Avec x4

Seul le cas noté en jaune est valable

{1,1,1,1}, {1,1,1,2}, {1,1,1,3}, {1,1,1,4}

{1,1,2,2}, {1,1,2,3}, {1,1,2,4},

{1,1,3,3}, {1,1,3,4},

{1,2,2,2}, {1,2,2,3}, {1,2,2,4},

 

Preuve pour n = 5, trois cas

Majorant

Produit

Simplification

Cas possibles

{1,1,1,1}, {1,1,1,2}, {1,1,1,3}, {1,1,1,4},

{1,1,1,5}, {1,1,2,2}

Avec x5

Seul les cas notés en jaune sont valables.

 

Note: on pourrait éliminer rapidement tous les cas en {1,1,1,1,k}, car le produit est k et la somme est supérieure à k.

 

{1,1,1,1,1}, {1,1,1,1,2}, {1,1,1,1,3}, {1,1,1,1,4}, {1,1,1,1,5},

{1,1,1,2,2}, {1,1,1,2,3}, {1,1,1,2,4}, {1,1,1,2,5},

{1,1,1,3,3}, {1,1,1,3,4}, {1,1,1,3,5},

{1,1,1,4,4}, {1,1,1,4,5},

{1,1,1,5,5},

{1,1,2,2,2}, {1,1,2,2,3}, {1,1,2,2,4}, {1,1,2,2,5},

 

 

Propriétés

 

*    Quel que soit n>1, il y a toujours au moins une solution.

*    Pour tout n, la quantité de solutions est finie.

*    Dans tous les cas (cf. la note ci-dessus):

 

*    Pour tout nombre entier s, il existe un nombre n pour lequel la quantité de solutions est supérieure à s.

*    Pour n =   5, il y a 3 motifs; c'est le cas pour n = 11.

Pour n = 13, il ya 4 motifs.

Pour n = 25, il ya 5 motifs.

Pour n = 37, il ya 6 motifs.

Il faut atteindre n = 85 pour avoir 10 motifs.

 

Référence: When the sum equals the product par Leo Kurlandchik et Andrzej Nowicki

Problème abordé par Sierpinski en 1959

 

 

Somme > Produit

 

*      Liste des nombres de plus en plus grands dont la somme des chiffres est supérieure au produit. Les zéros sont ignorés.

 

*      Le tableau montre explicitement la construction des suivants.

 

 

 

Somme > Produit

 

*      Liste des nombres de plus en plus grands dont la somme des chiffres est inférieure au produit. Les zéros sont ignorés.

 

 

*      Le tableau montre qu'après un amorçage jusqu'à 50, un motif régulier revient sur chaque colonne.

*      Nous ne sommes pas étonnés de voir des 9 pour engendrer ces produits maximums.

*      La somme reste à des niveaux très bas par rapport au produit. Cette liste donne en fait le record du produit des chiffres des nombres. Un jeu consiste à chercher les nombres pour lesquels le produit vaut k fois la somme.

*      Avec 99, le produit contient les chiffres de la somme (81 & 18). C'est vrai pour 999 (avec 729 & 27). Mais pas au-delà. Voir Compléments sur ce sujet

  

 

 

 

Suite

*    Somme et produit d'un nombre – Identiques

*    Somme et produit avec couples de nombres

*    Les chiffres de la somme sont dans le produit

*    Partition des nombres en somme de puissance

*    Somme et produit – Énigme de Freudenthal

Voir

*    Addition

*    Allumettes et nombres

*    Bases de numération

*   Chiffres à barre – Comparaison

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