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CERCLE

 

Débutants

Géométrie

Propriétés

 

Glossaire Géométrie

 

 

INDEX

 

Cercle

 

Géométrie

 

Cercle

Propriétés

Équations

Théorèmes

Centre

Fondements

Angles

Partage

Milieu

Orthogonaux

Inversion

Peaucellier

Puissance

Inversion – Constructions

Inversion – Démonstrations

Niveau terminale

 

Sommaire de cette page

>>> Inversion – Approche

>>> Inversion de la droite

>>> Inversion d'une figure polygonale

>>> Inversion du cercle

>>> Bilan pour l'inversion du cercle

>>> Cercles invariants

>>> Tangentes

>>> Projection stéréographique

 

Niveau terminale = compréhensible par un élève de terminale

 

 

 

INVERSION avec le CERCLE

 

L'inversion d'une figure par rapport à un cercle est une transformation, qui ressemble à la symétrie par rapport à une droite. Un peu comme un miroir, mais en forme de cercle.

L'inversion est un outil mathématique bien utile. Il est parfois plus facile de raisonner sur l'inverse d'une figure que sur la figure elle-même. Outil très utile pour réaliser des constructions, comme le cercle passant par deux points et tangent à un autre cercle.

Illustration: un bonhomme inversé par le cercle en rose ou comment faire entrer le bonhomme dans le cercle ou le lion dans sa cage (blague de mathématiciens)

 

Historique

Le premier à avoir utilisé l'inversion fut sans doute Apollonius de Perge (v-240 à v-180).  Une étude systématique date de vers 1924 par Jakob Steiner (1796-1863). Suivirent d'autres mathématiciens qui s'y intéressèrent, comme William Thomson (Lord Kelvin: 1824-1907).

En 1855, August Möbius (1790-1868) édite le premier traité exhaustif sur l'inversion.

Au début des années 1910, Mario Pieri (1860-1913) écrit: Nouveaux principes de la géométrie des inversions: une axiomatisation complète de la géométrie d'Euclide à partir des concepts de point et d'équidistance.

 

 

Inversion – Approche

Effets majeurs de l'inversion

L'inversion bascule un objet d'un côté à l'autre d'un cercle de référence.

Un cercle inversé peut devenir une droite et réciproquement.

Appliquée deux fois, l'inversion remet l'objet à sa place initiale (involution).

 

P' est l'inverse de P

Sur cette figure, le point P' est l'inverse du point P par le cercle de centre 0, cercle dit: cercle directeur (CD) ou cercle d'inversion.

 

Les triangles OP'T et OTP sont semblables:

 

P' est l'image de P par l'inversion de centre (ou pôle) O et de puissance R².

 

Construction dans un sens ou l'autre

Du point P vers le point P'

Tangente au cercle passant par P => T

Perpendiculaire en T à OP => P'

 

Ou en inversion de P' en P:

Perpendiculaire en P' à OP' => T

Tangente en T => P

Voir Constructions élémentaires

Tangente et autres

Construction de l'inverse de P

Le nom OP entre deux barres = longueur du segment OP.

 

 Propriétés

Appliquer deux fois de suite, l'inversion replace le point P à sa place de départ.

Comme la symétrie fait passer son image derrière le miroir, l'inversion fait passer son image de l'autre côté du cercle d'inversion.  

Et si …

Si P est sur le cercle son inverse est P. Le cercle est invariant par l'inversion.

 

Si P se rapproche de O, P' s'éloigne vers l'infini. À la limite la tangente en T est parallèle à OP.

Sans se poser de question métaphysique ici, on dira que l'inverse d'un point à l'infini est le centre du cercle d'inversion. 

 

 

Le point à l'infini

Par commodité, on définit un point virtuel à l'infini qui est l'inverse du centre du cercle.

Toutes les droites du plan convergent vers ce point imaginaire à l'infini.

Imaginez que nous sommes sur la face bombée d'une goutte d'eau dont la pointe arrière s'aiguise jusqu'à l'infini.

Avec cette extension, nous ne sommes plus totalement en géométrie euclidienne.

 

 

Propriétés

Prenons deux points A et B et leurs images A' et B' par inversion, alors:

 

angle OAB  = angle OB'A'

angle OBA = angle OA'B'

 

Les quatre points sont cocycliques car même puissance (Feuerbach).

 

 

Inversion de la droite

L'inversion de la droite par un cercle est un cercle qui passe par le centre du cercle directeur.

 

La figure montre l'arc de cercle engendré par le déplacement du point sur le segment vertical bleu.

En prolongeant le déplacement, on ferme le cercle ou presque. À la limite, le cercle se referme sur le centre du cercle directeur.

 

Image d'une droite sécante

Les deux points d'intersection sont leur propre image.

 

Image d'un segment externe

L'arc de cercle noir est l'inversion du segment par le cercle directeur rose.

 

Propriété

La droite passant par le centre et perpendiculaire à la droite à inverser passe par le centre du centre image.

 

 

Une droite passant par le centre d'inversion est invariante.

 

Plus la droite se rapproche du centre d'inversion et plus le cercle image est grand, jusqu'à se confondre avec la droite elle-même.

Image d'une droite passant à proximité du centre d'inversion

 

Inversion d'une figure polygonale

L'image du triangle équilatéral par inversion avec un cercle et un triangle courbe.

L'image du polygone est un polygone aux côtés courbés.

 

Image d'un polygone interne

Image d'un triangle équilatéral externe

Image d'un polygone externe

Dessins réalisés avec GeoGebra (gratuit) – Activer la fonction "trace" (clic droit sur le point)

Voir Une animation GeoGebra sur l'inversion du cercle – Cut-The-Knot

 

 

Inversion du cercle

 

L'inversion d'un cercle est un cercle, sauf s'il passe par le centre d'inversion.

 

Attention: l'inverse du centre n'est pas le centre du cercle image (pointillés).

 

Lorsque le point sur le cercle à transformer est interne au cercle directeur, son image est externe au cercle d'inversion. La construction est adaptée en conséquence.

Lorsque le cercle à inverser est interne au cercle directeur, le cercle image est externe au cercle d'inversion.

Les points d'intersection sont invariants.

 

Image d'un cercle interne

Image d'un cercle externe

 

Image d'un cercle sécant

 

L'inversion d'un cercle qui passe par le centre d'inversion est une droite.

 

Si le cercle est sécant et passe par le centre, la droite-image passe par les points d'intersection. En cas de tangence, la droite est tangente au CD

 

Image d'un cercle passant par le centre d'inversion

 

Cas de l'image de deux cercles

L'inversion conserve la quantité des intersections (0, 1 ou 2).

Si les deux cercles sont tangents en O, le centre d'inversion, les images sont deux droites parallèles.

Si une droite est tangente en O au cercle, l'image de la droite est elle-même et l'image du cercle est une droite parallèle.

 

 

Cercles Invariants

Cercle directeur (ou cercle d'inversion)

 

Un cercle directeur est invariant: il est sa propre image.

 

L'illustration montre l'image (noire) d'un cercle (bleu) qui se rapproche du cercle directeur (rouge).

Image d'un cercle proche du cercle directeur

Cercles orthogonaux

 

Un cercle orthogonal au cercle d'inversion est invariant: il est sa propre image.

 

Les cercles sont orthogonaux si les rayons issus du point d'intersection sont perpendiculaires (pointillés).

 

Bonus

Si deux cercles se coupent avec un angle alpha, leurs images se coupent également selon un angle alpha.

 

Image d'un cercle orthogonal

 

Bilan pour l'inversion du cercle

Cercle-objet

Cercle-image

Extérieur

Intérieur

Intérieur

Extérieur

Sécant

Sécant aux mêmes points

Tangent

Tangent au même point

Confondu avec le CD

Confondu

Orthogonal au CD

Sa propre image

Passe par le centre

Droite

      Et, il coupe le CD

      Mêmes intersections

     Ou, tangent au CD

      Tangente au CD

CD: cercle directeur

 

 

Tangentes

 

Tangentes invariantes è

 

1)   Tangente au CD => cercle image tangent au CD.

2)   Droite tangente à un cercle => deux cercles images sont tangents.

3)   Cercle tangent au CD => cercle image tangent au CD.


 

Illustration des cas de tangences

L'arc de cercle est l'image du segment vert; le cercle complet noir est l'image du cercle bleu.

Le cercle directeur est en rose.

 

 

Projection stéréographique

Propriété

Sur cette figure M et N sont en inversion de centre O et de puissance R².

 

Démonstration

Les triangles rectangles NOM et NPS ont un angle commun en N. Ils sont semblables.

 

Une manière de visualiser l'inversion

 

Voir Globe terrestre

 

 

 

 

 

 

 

Suite

*  Inversion – Constructions

*  Inversion- Dispositif de Paeucellier-Lipkin

*  Théorème de Ptolémée démontré par inversion

*  Cercles orthogonaux

*  Arc de cercle – Coordonnées du point milieu

*  Calcul de l'aire du cercle par intégrale

*  Cercle d'Apollonius

*  Théorèmes

*  Cercle unité et triplets de Pythagore

*  Programmation du dessin du cercle

Voir

*  CercleIndex

*  GéométrieIndex

Sites

*  Inversion de cercles – Descartes et les mathématiques – Patrice Debart

*  Une transformation non linéaire – Xavier Hubaut

*  Inversion – Wikipédia

*   Inversion in a circle – Tom Davis

*   Inversion – Wolfram MathWorld

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Cercle/Inverse.htm