NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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NOMBRES PREMIERS

 

Débutants

Général

Propriétés

 

Glossaire

Nombres

premiers

 

 

INDEX

 

Nombres premiers

 

Débutant

Introduction

Barre magique

Sur Tableur

Les plus grands

Caractérisation

Un

 

Sommaire de cette page

>>> Accès aux nombres premiers les plus grands

>>> Résumé illustré

 

 

 

 

 

 

 

 

NOMBRES PREMIERS

Les plus grands connus ou accessibles

 

 

On s'intéresse souvent au plus grand nombre premier connu. Cependant, il en existe de nombreux autres plus petits dont on ne sait pas s'ils sont premiers ou composés. Où se trouve la limite?

Où s'arrête la liste de tous les nombres connus comme étant composés ou premier? Quel est le plus grand premier de la liste de tous les premiers consécutifs connus?

Quels sont ceux qui me sont accessibles avec mon ordinateur?

 

 

 

Accès aux nombres premiers

Calculette

 

Avec ma calculette, je ne peux pas aller bien loin. Étant donné un nombre N, il me faut faire la division de N avec chacun des nombres entiers premiers inférieurs à racine de N.

 

 

Tables

 

Internet donne accès à des tables de nombres premiers.

*    La mienne P jusqu'à 10 000,

*    Celle de Chris Caldwell les 100 000 premiers.

*    D'autres avec 100 millions premiers >>>

 

 

Test en ligne

 

Je propose deux sites (il en existe bien d'autres):

*    Ce nombre est-il premier par Serge Mehl (connu pour son site ChronoMaths) qui donne accès aux nombres N jusqu'à 15 chiffres.

*    Ou encore Calculis – Test de grands nombres premiers qui propose plusieurs dizaines de chiffres significatifs.

 

 

Tableur

 

Avec un tableur, il est facile de mettre en place le crible d'Ératosthène. Excellent exercice d'apprentissage du tableur.

 

Il existe mieux: une formule adéquate (assez sophistiquée) qui, en introduisant N dans une cellule, vous indique si N est premier dans la cellule voisine. Et cela pour N jusqu'à 250 millions.

 

 

Logiciels mathématiques

 

Le logiciel Maple possède une instruction "isprime" qui indique si un nombre est premier ou non. Il peut atteindre 10 137 000 001 (10140 milions fait déborder la capacité mémoire). Maple indique que ce nombre n'est pas premier en 18 secondes de calcul.

Cependant, ce temps de calcul dépend largement des facteurs impliqués. En pratique, on utilisera ces logiciels jusqu'à N = 1012.

 

 

Calculs mémorisés en tables

 

Certains laboratoires mathématiques ont procédé au calcul de tous les nombres premiers en conservant leur liste en mémoire  jusqu'à N = 1012.

 

 

Calculs du plus grand

 

Ces laboratoires ont épluchés les nombres jusqu'à N = 1018. Ainsi, tous les nombres premiers successifs jusqu'à cette valeur sont connus. Intérêt pour connaître la distance maximale (gap) entre deux premiers successifs.

 

 

Records

 

Sports de mathématiciens et d'informaticiens consistant à trouver le plus grand nombre premier ou le plus grand dans certaines catégories (jumeaux, de Saint-Germain …).

Record en 2014: 2 57 885 161 – 1 avec plus de 17 millions de chiffres. Tous ces records sont en principe des nombres de Mersenne. Voir les pages

*    Nombres premiers record de G. Villemin

*    Top Twenty de Chris Cadwell

 

 

 

 

Résumé illustré – Ordres de grandeur

 

 

 

*    Notez qu'avec votre tableur, vous pouvez tester la primalité jusqu'à N =  268 millions. Connaître les facteurs et une autre histoire. Pour aller plus haut, il vous faudra un logiciel de calculs mathématiques comme Maple, Matlab,Wolfram-Mathematica ou …

 

*    La barre "tous connus" (1018) veut dire que tous ces nombres inférieurs sont connus en tant que composés ou premiers. La limite est minimale car il suffit que quelqu'un si attèle et le plafond peut vite s'élever. Intérêt minime, car il est assez rapide de pratiquer un test par calcul sans avoir à recourir à de longues tables  encombrantes.

Il est vrai que, plus on dépasse cette limite et plus un ordinateur personnel prendra du temps à trouver ses facteurs. Il sera un peu plus rapide pour déterminer la primalité.

 

 

 

Bilan

On retiendra les ordres de grandeur:

*    1018 pour tous les premiers connus.

*    1017 millions pour le plus grand premier connu sans connaître tous ceux qui précédent.

On se souviendra que:

*    tester si un nombre est premier est de loin plus facile que de

*    connaître tous ses facteurs s'il est composé.

En effet, pour savoir si un nombre est premier, il suffit de s'intéresser aux restes de divisions (congruences); alors pour les facteurs, il faut absolument tout connaître du nombre.

 

 

 

 

 

 

Voir

*    Nombres magiquesIndex

*    Séquence en six

*    Nombres premiers jumeaux - Caractérisation

*    Nombres premiers jumeaux - Développements

Aussi

*    Les nombres premiers – introduction et développements

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/aMaths/Premier/Tableur.htm