NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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BASES de l'arithmétique

 

Débutants

Nombres

DIVISIONS

 

Glossaire

Division

 

 

INDEX

 

CALCUL 

Initiation

Avancé

Décimales – Débutants

Polynôme

Complexes

Décimales – Expérimentés

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Avec décimales au dividende

>>> Avec décimales au dividende et au diviseur

>>> Division impossible, diviseur trop grand

>>> Pratique de la division avec décimales

>>> Autre exemple pratique

 

 

 

 

 

DIVISION avec des décimales

 

Comment traiter les chiffres après la virgule.

 

 

 

Je m'y connais déjà un peu >>>

 

Je suis tout nouveau sur le sujet >>>

 

Rappel

Dividende

Diviseur

 

Reste

Quotient

Voir Les quatre opérationsJunior     /  Système décimal

 

 

 

Approche – Comportement des zéros.

 

*    Nous connaissons la fraction 1/3 (un tiers) qui calculée donne 0, 3333…

*    Observez comment évolue cette valeur en ajoutant des 0 soit au numérateur (1, 10, 100); soit au dénominateur (3, 30, 300).

*    Sur la diagonale, si on ajoute autant de 0 de chaque côté, le résultat de la division est conservé (jaune):

 

 

 

 

Multiplier le dividende par 10, multiplie le quotient par 10.

Multiplier le diviseur par 10, divise le quotient par 10.

Logique, non?

 

Cette logique d'apport de "0" et cette mécanique de décalage de la virgule sont celles qui sont utilisées pour calculer les divisions décimales des plus simples aux plus complexes.

 

 

 

 

PARTAGE avec des MORCEAUX

Avec des décimales au dividende

*       Cléo dispose de 12014 euros.

Nous sommes 5.

Combien chacun? Y compris des morceaux de parts si nécessaire.

 

*       Nous savons que chacun reçoit 2402 euros. et il reste 4 euros.

Nous pouvons bien sûr transformer les euros en centimes: 4 euros donnent 400 centimes. Nous pouvons partager ces centimes. Autrement dit poursuivre la division.

Vous trouverez rapidement que 400 divisé par 5 donne 80. Chacun peut recevoir 80 centimes d'euros en plus.

*       Comment procéder avec la division?

Simplement en complétant le nombre à diviser avec des 0 fictifs, précédés d'une virgule (marque des nombres décimaux).

La division est poursuivie normalement  en mettant une virgule dans le diviseur dès que nous abaissons des zéros derrière la virgule du nombre à diviser.

12014,00

5

On ajoute une virgule et des 0

 12

2402,8

 

-10

 

 

   20

 

 

  -20

 

 

     01

 

Division classique

    -00

 

       14

 

 

      -10

 

 

         40

 

Reste 4, nous abaissons 0

        -40

 

Et poursuivons la division

           0

 

normalement

 

En rose, la suite de la division avec les décimales; on place alors une virgule dans le quotient.

 

Résultat:

  12014 / 5 = 2402,8

Vérification:

  2402,8 x 5 = 12014

Si vous doutez, allez à la page débutant

 

 

PARTAGE avec des MORCEAUX

Avec des décimales aussi au diviseur

 

*       Avec une virgule de chaque côté, dividende et diviseur, comment procéder?

 

*       Le résultat de la  division ne change pas si on multiplie par 10 de chaque côté.
Par exemple: 8/2 = 4 et 80/20 = 4.

*       Alors multiplions par 10, ce qui donnera: 332,8 / 52

La virgule du diviseur est éliminée. Puis, on effectue la division comme indiqué ci-dessus.

 

 

*       Avec plus de chiffres derrière la virgule du diviseur, on multiplie par 10 autant de fois que nécessaire pour "faire sortir" la virgule.

 

*       Il est parfois utile d'employer les puissances de 10. Notamment pour calculer l'ordre de grandeur.

 

*       En reprenant le dernier exemple:

0,001 = 1 x 10-3

à diviser par 5,213
=> 1 / 5,2 …
 0,2

& avec la puissance de 10:

=> 0,2 10-3
Nous retrouvons bien les trois 0 à intercaler derrière la virgule.

Rappel

 

Dividende

Diviseur

ss

 

Exemple

33,28

5,2

?

 

 

Multiplication par 10 de chaque côté:

 

 332,8

52

 332

6,4

 

-312

 

 

   208

 

 

  -208

 

 

     00

 

 

Multiplication par 100 de chaque côté:

 

332,8

5,21

33280

521

?

 

63,877…

Multiplication par 1000 de chaque côté:

 

3328

5,213

3328000

5213

?

 

638,40…

 

1

5,213

1000

5213

?

 

0,1918

 

0,001

5,213

1

5213

?

 

0,0001918…

 

 

Division impossible?

Le diviseur est plus grand que le dividende

 

Approche

*       Comment s'y prendre pour diviser un petit nombre par un nombre plus grand que lui? Par exemple 68 par 78.

*       Premier constat: avec 68 bonbons, il n'y en a pas assez pour que chacune des 78 personnes en reçoivent 1. La réponse sera donc du type 0, …

*       Si je partageais tous les bonbons en dixièmes de bonbons, j'aurais 680 dixièmes. Chacune des personnes peut recevoir au moins 1/10 de bonbons, même plusieurs dixièmes. En fait, jusqu'à 8 dixièmes. Alors j'aurai distribué 8 x 78 = 624 dixièmes. Il en reste 680 – 624 = 56.

*       Que faire de ces 56 dixièmes de bonbons qui restent? Les partager en 10 pour faire des centièmes de bonbons que je vais distribuer. Avec 560 centièmes je peux en donner 7 à chacun: 7 x 78 = 546 et il reste 560 – 546 = 14 centièmes de bonbons.

*       Que je peux partager en 10 pour obtenir des millièmes. Etc.

*       Et voici ce que nous savons déjà: 68 / 78 = 0, 71 …

 

Division posée normalement

*       On transforme le nombre entier en un nombre avec des décimales nulles; autant que nécessaire.

68 devient 68,00000…

*       Dans le résultat, on place une virgule dés que l'on abaisse le premier chiffre décimal. Ici 0, …

*       Se souvenir que les divisions partielles successives doivent donner un reste inférieur au diviseur. Ici, au premier coup: 56 est bien inférieur à 68.

 

Commentaire

*       Toutes les fractions équivalentes donneront le même résultat.
Exemples:

 

68

78

680

0

Que faire ensuite?

 

 

68,0

78

Je transforme le dividende en un nombre avec décimales nulles.

 680

0,

J'abaisse un zéro derrière la virgule, alors je place une virgule dans le résultat.

-624

   8

En effet 8 x 780 = 6240; reste 560.

   56

 

   500

 

Je continue à abaisser des 0.

  -546

   7

Car 7 x 780 = 5460; reste 140.

     14

 

 

     140

  

 

      -78

   1

 

       62

 

 

       600

 

 

      -546

   7

 

         74

 

 

         740

 

 

        -702

   9

 

           38

 

      

 

 

Résultat

 

68 / 78 = 0,871794 871794 87…

Nombre périodique >>>

 

 

Pratique avec DÉCIMALES

 

Exemple: 14 789 à diviser par 67

 

Prolonger avec une virgule

 

*      Il faut imaginer que le dividende se prolonge avec des zéros derrière la virgule

Cela ne change pas sa valeur, bien naturellement

14 789 = 14 789, 0000…

 

*      Nous avons arrêté la division avec un quotient entier (nombre entier)

Si nous poursuivons l'opération, la suite sera formée de décimales

Il est naturel de placer une virgule aussi derrière le nombre entier obtenu pour le quotient

220 devient 220,

*      Le but est de trouver les chiffres derrière cette virgule

Une fois les deux virgules introduites, la suite de l'opération s'effectue rigoureusement
      comme vu ci-dessus

 

*      Le critère d'arrêt est relativement simple:

-         soit le reste devient nul,
        auquel cas la division est finie (le nombre est dit rationnel)

-         soit le reste est toujours présent (non nul),
        auquel cas la division ne s'arrête jamais (le nombre est dit irrationnel)

 

 

Effectuons cette division en décimal

 

 

 

147

8

9,

0

0

0

0

6

7

 

 

 

 

Commentaires

 

4

9

 

 

 

 

2

2

0,

 

 

 

C'est le résultat trouvé ci-dessus pour la division en nombres entiers

 

4

9

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Je continue comme avant, en abaissant le 0

 

4

6

9

 

 

 

 

 

 

7

 

 

On trouve que le plus grand nombre multiplié par 67

ne dépassant pas 490 est 7 et 7 x 67 = 469

 

 

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

On retranche à gauche 469 que nous retenons à droite

sous la forme de 7 x 67: 490 – 469 = 21

 

 

2

1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

On abaisse le zéro suivant

 

 

2

0

1

 

 

 

 

 

 

3

 

3 x 67 = 201 est juste inférieur à 210

 

 

 

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

La soustraction donne 9

 

 

 

 

9

0

 

 

 

 

 

 

1

Abaissons le 0; on trouve 1 au quotient

 

 

 

 

6

7

 

 

 

 

 

 

 

Soustraction

 

 

 

 

2

3

 

 

 

 

 

 

 

Etc.

 

 

Le résultat en décimal (avec une virgule)

 

14 789 / 67 = 220, 731 …

 

En continuant vous trouveriez (100 chiffres et cela continue …)

 

14 789 / 67 = 220, 7313432835 8208955223 8805970149 2537313432 8358208955 2238805970 1492537313 4328358208 9552238805 9701492537 …

 

 

 

 

Autre exemple avec quatre chiffres & décimales

*      On procède comme indiqué ci-dessus. Le nombre de chiffres ne doit pas effrayer.

Il s'agit de calculs un peu plus longs.

Il faut surtout agir avec méthode et

bien poser les opérations.

*      La première tranche qui contient
un nombre entier de blocs de 4321
est 5334, valeur que j'abaisse pour la traiter.

*      Un seul "bloc de 4321" peut être retranché de 5334.

Je note 1 à droite et  retranche une quantité équivalente à droite, soit 1 x 4321 = 4321.

Il reste 1013

*      On passe au chiffre suivant du dividende, soit 5.

Avec le reste précédent cela donne 10135.

 

*      Il possible d'y retirer 2 "blocs entiers de 4321".

Soit 2 x 4321 = 8642. Je note 2 au quotient (à droite) et le reste 1493 à gauche.

 

*      Pour le chiffre suivant du dividende qui est 6.

Avant de l'abaisser, je note que nous franchissons la virgule. Je signale le même franchissement de l'autre côté en notant la virgule dans le quotient.

*      Etc.

*      Arrive un reste égal à 0

C'est la fin de la division.

53345,6785269

4321

5334

 

4321

1

1013

 

10135

 

  8642

  2

  1493

     ,

  14936

 

  12963

      3

    1973

 

    19737

 

    17284

        4

      2453

 

      24538

 

      21605

          5

        2933

 

        29335

 

        25926

            6

          3409

 

          34092

 

          30247

              7

            3845

 

            38456

 

            34568

                8

              3888

 

              38889

 

              38889

                  9

                       0

 

 

Résultat

53345,6785269 / 4321

= 12, 456789

 

 

 

 

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