NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Nombres

 

Débutants

Général

Formes avec chiffres

 

Glossaire

Général

 

INDEX

 

Motifs

Nombre   

 

Repunit

Repdigit

Palindrome

Nombre Demlo

Pannumérique

 

Sommaire de cette page

>>> Nombre Demlo

>>> Structure

>>> Formule

>>> Somme des chiffres

>>> Définition selon Kaprekar

>>> Nombres Demlo et nombres dissécables

>>> Anglais

 

 

 

Nombres DEMLO

 

Ce sont les carrés des repunits. Les chiffres vont croissants puis décroissants. Les premiers sont des palindromes. Nom donné par Kaprekar (nom de la gare où il a pensé à ce genre de nombres).

 

 

Kaprekar nomme ceux-ci: Demlo merveilleux (>>>) et donne une définition plus générale des nombres Demlo >>>

 

 

Une idée des nombres Demlo

 

Nombre Demlo

Nombres obtenus en portant les repunits au carré. Ce sont les Demlo merveilleux.

 

Les premiers jusqu'au 9e sont des palindromes.

 

La somme des chiffres jusqu'au 5e  est un carré:
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 82, 85, 90, 97, 106 …

 

 

 

 

La belle forme déraille à partir du 10e carré, du fait des retenues comme l'illustre la multiplication pour R10 x R10.

 

 

 

 

Structure des Demlo merveilleux

À partir du dixième nombre Delmo, la partie gauche (G) et la partie droite (D) se répètent. La gauche plusieurs fois. La partie droite se répète aussi, mais tronquée du 1 (T, sur tableau de droite). Notez que G ne comporte pas de 8.

 

 

 

Formule

 

Programme Maple

Commentaires

Le code Maple montre les formules permettant de calculer deux formes de nombres Demlo.

Ga est la partie gauche et Dr la partie droite. Leur concaténation donne les Demlo avec doublement du chiffre central

Avec Gat, on obtient la forme classique sans doublement du chiffre central

 

Table des nombres de type Demlo (au moins jusqu'à n = 9)

Il faut note que ni l'une ni l'autre ne correspond au carré des repunit à partir de n = 10.

 

Somme des chiffres

 

Pour les neuf premiers la somme des chiffres est un carré.

En effet, pour n = 5, on a:

 

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1

= 2 x (1 + 2 + + 4 ) + 5

= 2 x (1 + 2 + … + n-1) + n

= 2 x  (n – 1) n / 2 + n

=        (n – 1) n + n

=        

 

Voir Somme des nombres consécutifs

 

La suite des sommes: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 82, 85, 90, 97, 106, 117, 130, 145, 162, 163, 166, 171, 178, 187, 198, 211, 226, …

 

 

 

 

Nombres Demlo selon Kaprekar

 

Type de Nombres Demlo

Kaprekar définit :

*    Nombre Demlo général comme: 23777754 avec au centre un repdigit et la partie gauche additionnée à la partie droite = repdigit de même chiffre (ici en 7)

*    Nombre Demlo merveilleux (wonderful) comme 1234321; ceux vus ci-dessus, carré d'un repunit.

 

 

 

Définition des nombres de Demlo selon Kaprekar

Un nombre de Demlo est composé de trois parties: Ga, Mi et Dr concaténées.

D = concat(Ga, Mi, Dr)

 

Mi est un repdigit en a.

Ga et Dr ont le même nombre de chiffres p. (un 0 peut être ajouté à gauche de Ga si nécessaire).

Ga + Dr = repdigit en a (comme pour Mi).

 

Exemple : 123454321

Mi  = 5 repdigit en 5

Ga et Dr ont quatre chiffres

1234 + 4321 = 5555 repdigit en 5 avec quatre chiffres

Moins habituel: 23777754

Mi = 7777 repdigit en 7

Ga = 23 et Dr = 54

Ga + Dr = 77, repdigit en 7

Autre exemple toujours selon Kaprekar: 94666572

Mi = 666

Ga = 094 et Dr = 572

Ga  + Dr = 666

Sans partie centrale: 2354

Mi non définit

Ga = 23 et Dr = 54

Ga + Dr = 77

Si Ga et Dr sont absents: 7777

Pour Kaprekar, un repdigit est un nombre Demlo linéaire. Il peut aussi être vu comme:

0 777 7

Ce nombre n'est pas Demlo: 166111945

Ga = 166 et Dr = 945 (4 chiffres)

Ga + Dr = 1111 (5 chiffres)

 

 

Comment créer des nombres Demlo

 

Théorème

 

Tout nombre multiplié par un repunit suffisamment grand produit des nombres Demlo.

 

Comment trouver
le repunit minimum (Rk)

Exemple avec

4 931

Division euclidienne par 9

4 931 = 9 x 547 + 8

Repunit en 8 (reste) de trois chiffres (comme le quotient) moins le quotient

888 – 547 = 341

Un nombre à trois chiffres, alors

k = 3 et R3 est le premier repunit qui marche.

Vérification

4 931 x   11 =    54241 Non

4 931 x 111 =  547341 Oui

 

Nombres Demlo et nombres dissécables

Exemples

Multiplié par un Demlo merveilleux, le nombre s'étire et laisse place à des repdigits  

 

108  x 1

108 x 121

108 x 12321

108 x 1234321

 

162 x 1

162 x 121

162 x 12321

108

13068

1330668

133306668

 

= 162

= 19602

= 1996002

Définition

NDissecable X Dmerveilleux.

= A Rk B Sk C

Listes des nombres dissécables

009, 018, 028, 036, 054, 063, 072, 081,

108, 117, 126, 135, 144, 153, 162,

207, 216, 225, 234, 243,

306, 315, 324

405.

Anglais: Dissectible numbers

 

English corner

 

Kaprekar studied the Demlo numbers, named after a train station where he had the idea of studying them. These are the numbers 1, 121, 12321 … , which are the square of the repunits 1, 11, 111 …

 

 

 

 

Suite

*       Carrés des repunits et repdigits

*       Formes permutables

Voir

*       Chiffres en miroir

*       Factorielle

*       Motifs

*       Multiplication ABCDE = F x GGGGGG

*       Nombre 1089 et magie

*       Nombres de Friedman

*       Nombres en 4 fois 4

*       Procédé de Kaprekar

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*       Somme et produit des chiffres

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Site

*       OEIS A002777Demlo

*       OEIS A080151 – Somme des chiffres

*       Theory of Demlo numbersK.R. Gunjikar and D.R. Kaprekar – 1939

Cette page

*       http://villemin.gerard.free.fr/aNombre/MOTIF/Demlo.htm