|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Nombres DEMLO Ce sont les carrés des repunits.
Les chiffres vont
croissants puis décroissants. Les premiers sont des palindromes.
Nom donné par Kaprekar
(nom de la gare où il a pensé à ce genre de nombres).
Kaprekar nomme
ceux-ci: Demlo merveilleux (>>>)
et donne une définition plus générale des nombres Demlo
>>> |
Une idée des nombres Demlo
|
|
||
|
Nombres
obtenus en portant les repunits au carré. Ce sont les Demlo
merveilleux. Les
premiers jusqu'au 9e sont des palindromes. La somme
des chiffres jusqu'au 5e
est un carré: |
|
|
|
La belle
forme déraille à partir du 10e carré, du fait des retenues comme
l'illustre la multiplication pour R10 x R10. |
|
|
Structure des Demlo merveilleux
|
À partir du dixième nombre Delmo, la partie gauche (G) et la partie droite (D) se
répètent. La gauche plusieurs fois. La partie droite se répète aussi, mais tronquée
du 1 (T, sur tableau de droite). Notez que G ne comporte pas de 8.
|
|
|
||
|
Programme Maple
|
Commentaires Le code
Maple montre les formules permettant de calculer deux formes de nombres Demlo. Ga est la
partie gauche et Dr la partie droite. Leur concaténation donne les Demlo avec doublement du chiffre central Avec Gat, on obtient la forme classique sans doublement du
chiffre central |
|
|
Table des nombres de type Demlo (au moins jusqu'à n = 9)
Il faut
note que ni l'une ni l'autre ne correspond au carré des repunit à partir de n
= 10. |
||
|
|
||
|
Pour les
neuf premiers la somme des chiffres est un carré. En effet,
pour n = 5, on a: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 4 + 3 +
2 + 1 = 2 x (1 + 2 + + 4 ) + 5 = 2 x (1 + 2 + … + n-1) + n = 2 x (n – 1) n / 2 + n = (n – 1) n + n =
n² Voir Somme
des nombres consécutifs La suite
des sommes: 1,
4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 82, 85, 90, 97, 106, 117, 130, 145, 162, 163, 166,
171, 178, 187, 198, 211, 226, … |
|
|
Nombres Demlo
selon Kaprekar
Type de Nombres Demlo
|
Kaprekar
définit :
|
|
|
||
|
Un nombre
de Demlo est composé de trois parties: Ga, Mi et Dr
concaténées. D = concat(Ga,
Mi, Dr) |
Mi est un
repdigit en a. Ga et Dr
ont le même nombre de chiffres p. (un 0 peut être ajouté à gauche de Ga si nécessaire). Ga + Dr =
repdigit en a (comme pour Mi). |
|
|
Exemple :
123454321 |
Mi = 5 repdigit en 5 Ga et Dr
ont quatre chiffres 1234 +
4321 = 5555 repdigit en 5 avec quatre chiffres |
|
|
Moins
habituel: 23777754 |
Mi = 7777
repdigit en 7 Ga = 23 et
Dr = 54 Ga + Dr =
77, repdigit en 7 |
|
|
Autre
exemple toujours selon Kaprekar: 94666572 |
Mi = 666 Ga = 094 et Dr = 572 Ga + Dr = 666 |
|
|
Sans
partie centrale: 2354 |
Mi non
définit Ga = 23
et Dr = 54 Ga + Dr =
77 |
|
|
Si Ga et
Dr sont absents: 7777 |
Pour
Kaprekar, un repdigit est un nombre Demlo linéaire.
Il peut aussi être vu comme: 0 777 7 |
|
|
Ce nombre
n'est pas Demlo: 166111945 |
Ga = 166
et Dr = 945 (3 chiffres) Ga + Dr =
1111 (4 chiffres) |
|
|
Comment créer des nombres Demlo |
|
|
|
Théorème Tout nombre multiplié par un repunit suffisamment grand produit des
nombres Demlo. Comment trouver |
|
|
|
Exemple
avec |
4 931 |
|
|
Division
euclidienne par 9 |
4 931 = 9 x 547 + 8 |
|
|
Repunit
en 8 (reste) de trois chiffres (comme le quotient) moins le quotient |
888 – 547 = 341 |
|
|
Un nombre
à trois chiffres, alors |
k = 3 et R3 est le premier repunit qui marche. |
|
|
Vérification |
4 931 x 11 = 54241 Non 4 931 x 111 = 547341 Oui |
|
|
|
|||
|
Exemples Multiplié
par un Demlo merveilleux, le nombre s'étire et
laisse place à des repdigits |
108 x 1 108 x 121 108 x 12321 108 x 1234321 162 x 1 162 x 121 162 x 12321 |
108 13068 1330668 133306668 = 162 = 19602 = 1996002 |
|
|
Définition |
NDissecable X Dmerveilleux. = A Rk B Sk C |
||
|
Listes des nombres dissécables |
009, 018, 028, 036, 054,
063, 072, 081, 108, 117, 126, 135, 144,
153, 162, 207, 216, 225, 234, 243, 306, 315, 324 405. |
||
Anglais: Dissectible numbers
|
|
|
|
Kaprekar studied the Demlo
numbers, named after a train station where he had the idea of studying them.
These are the numbers 1, 121, 12321 … , which are the square of the repunits
1, 11, 111 … |
|
|
Suite |
|
|
Voir |
|
|
Diconombre |
|
|
Site |
|
|
Cette page |
