NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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FAQ

NOMBRES & CHIFFRES

 

Glossaire

COMPTER

 

 

INDEX

 

Combinatoire

Nombres en général

Nombres en arrangements

Divisible par 2

Pairs non placés

Nombre à k chiffres différents

Divisible par 5

 

Sommaire de cette page

 

 

 

 

 

 

ARRANGEMENENTS avec les NOMBRES

 

Compter les chiffres pour former les nombres divisibles par 5.

 

 

 

DIVISIBLE PAR 5

 

 Quantité de nombres divisibles par deux et inférieurs à une valeur donnée

Le nombre 0 étant compté

 

 

 

 

Détail des calculs

 

Le calcul direct est donné en bas de tableau.

Le calcul pas à pas permet de tracer la méthode pour le cas où les  chiffres sont différents.

 

Tous les chiffres

 

Contrainte

Résultats

Illustration

En rouge les interdits

1 chiffre

Seul 5 est un nombre à 1 chiffre divisible par 5. Le suivant est 10, avec 2.

5

2 chiffres

10 15

20 25

90 95

Si l'unité est 0

la dizaine est l'un des 9 chiffres (le 0 n'est pas possible): 9 possibilités.

Si l'unité est 5

la dizaine est l'un des 9 chiffres (le 0 n'est pas possible): 9 possibilités.

Total: principe additif

Total des nombres de 2 chiffres divisibles par 5:

9 + 9 = 18

d

0

d = {0, 1, 2, … 9} => 9

ou Card(d) = 9

d

5

d = {0, 1, 2, … 9 } => 9

ou Card(d) = 9

 

3 chiffres

100 105 110…195

200 205 210…295

900 905 910…995

Calcul pour chaque position:

*    Unité: comme précédemment, l'unité est soit 0 ou 5 : 2 possibilités;

*    Dizaine: un des chiffres y compris le 0 convient: 10 possibilités; et

*    Centaine: un des chiffres sauf le 0 convient: 9 possibilités.

Total: principe multiplicatif

Nombres à 3 chiffres sont divisibles par 5:

2 x 10 x 9 = 180

c

d

u

u = {0, 5} => 2

d = {0, 1, 2, … 9} => 10

c = {0, 1, 2, … 9} => 9

 

 

TOTAL

< 1000

Total de nombres inférieurs à 1000 divisibles par 5

1 + 18 + 180 = 199

Ce serait 200

si on comptait

le nombre 0

< 1000

Calcul direct

000 005 010…095

100 105 110…195

On considère les nombres à 3 chiffres, même s'ils commencent par des 0.
On y trouvera également le cas 000, libre à nous de l'exclure ou non.

L'illustration montre les possibilités, y compris le 000

Total: 2 x 10 x 10 = 200

c

d

u

u = {0, 5} => 2

d = {0, 1, 2, … 9} => 10

c = {0, 1, 2, … 9} =>  10

 

 

 

 

Chiffres différents

 

Contrainte

Résultats

Illustration

En rouge les interdits

2 chiffres

différents

55 exclu

Si l'unité est 0

la dizaine est l'un des 9 chiffres (le 0 n'est pas possible): 9 possibilités.

Si l'unité est 5

la dizaine est l'un des 8 chiffres (le 5 répétant le chiffre des unités est exclu): 8 possibilités.

Total: principe additif

Total des nombres à 2 chiffres différents divisibles par 5:

9 + 8 = 17

d

0

d = {0, 1, 2, … 9} => 9

 

d

5

d = {0, 1, 2, … 59 } => 8

 

 

3 chiffres

tous différents

100 110 115 155

200 220 225 255

 exclus

Si l'unité est 0

les deux autres sont choisis parmi les 9 autres chiffres que 0, soit les arrangements de 2 parmi 9: A29 = 9! / 7! = 9 x 8 = 72

Si l'unité est 5

*    la centaine n'est ni 0 (jamais en début de nombre), ni le 5 (déjà en unité). Restent 8 possibilités

*    la dizaine n'est ni le 5 (déjà en unité) ni le chiffre sélectionné pour les centaines. Restent 8 possibilités

*    Sous-total: 8 x 8 = 64 possibilités de nombres à 3 chiffres différents terminés par 5.

Total: principe additif

Total des nombres à 3 chiffres différents divisibles par 5:

72 + 64 = 136

c

d

0

d = {0, 1, 2, … 9} => 9

c = {0, 1, 2, … d … 9} => 8

c

d

5

d = {0, 1, 2, …5c … 9} => 8

c = {0, 1, 2, … 5 … 9} => 8

Subtilité

on a examiné les centaines

avant les dizaines

du fait du rôle particulier du 0

Il est permis pour les dizaines

et pas pour les centaines

Voir ci-dessous

Attention

Reprenons le calcul précédent lorsque l'unité est 5

*    En choisissant les dizaines en premier, on trouve 9 x 7 = 63 possibilités

*    Alors que la réalité est 8 x 8 = 64

*    À 1 près, du fait du rôle non symétrique du 0 en position des dizaines et celle des centaines

c

d

5

d = {0, 1, 2, …5… 9} => 9

c = {0, 1, 2, … 5d… 9} => 7

TOTAL

< 1000

avec des chiffres différents

Total de nombres inférieurs à 1000 divisibles par 5

1 + 17 + 136 = 154

Un calcul direct n'est pas possible

2 x A29 = 144

Il faut décomposer le calcul en dizaines et milliers

 

 

 

Vous pouvez continuer le calcul en remarquant

 

Divisible par 5

Chiffres différents

< 10

 

 

2

< 100

 

+ 17

19

< 1 000

17 x 8 =>

+ 136

155

< 10 000

136 x 7 =>

+ 952

1 107

< 100 000

952 x 6 =>

+ 5 712

6 819

< 1 000 000

5 712 x 5 =>

28 560

35 379

< 10 000 000

28 560 x 4 =>

 

 

Voir Tableau explicatif complet avec tous les nombres

 

 

 

 

 

 

Suite

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