NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Nombres en général

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Nombre à k chiffres différents

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Sommaire de cette page

>>> Quatre chiffres dont deux différents au plus

>>> Quatre chiffres dont trois différents exactement

>>> Cinq   chiffres dont deux différents exactement

>>> Cinq   chiffres dont trois différents exactement

>>> Bilan

>>> Programmation

 

 

 

 

 

NOMBRES avec k chiffres différents

 

Compter les nombres à n chiffres formés de k chiffres différents (exactement ou au moins).

Tableau récapitulatif in fine.

 

 

Quatre chiffres dont deux différents au plus

 

Pour commencer un problème classique qui circule sur les forums.

 

Problème

Nombre de quatre chiffres,

composé de deux chiffres au plus.

 

Combien y en a-t-il?

 

 

Exemples

 

 

Observations

Le tableau montre des exemples numériques de ce que nous attendons.

Quatre configurations possibles. Voyons cela.

 

Configuration aaab

Les plages en jaune montrent ce qui se passe pour la configuration aaab. Effectivement b peut prendre toutes les valeurs de 0 à 9, sauf la valeur de a. Soit 9 nombres de ce type pour chaque valeur de a. Or, le chiffre de tête (a), peut prendre les valeurs de 1 à 9, soit 9 cas.
Bilan aaab => 9 x 9 = 81 possibilités.

 

Configuration ab..

Les plages en rose montrent deux exemples d'une telle configuration. Dans les deux cas, il existe quatre possibilités pour les deux derniers chiffres.

Comptons:

*    pour a => 9 possibilités (pas de 0)

*    pour b => 9 possibilités (pas de a)

*    pour les deux suivants => 4 possibilités

Bilan ab.. => 9 x 9 x 4 possibilités.

 

Configuration aa..

Exemple avec les plages en bleu. Dans ce cas, on ne compte que deux possibilités pour les deux derniers.

Comptons:

*    pour aa => 9 possibilités

*    pour le troisième chiffre => 9 possibilités

*    pour le quatrième => 2 possibilités

Bilan ab.. => 9 x 9 x 2 possibilités.

 

Configuration aaaa

La plus simple.

Bilan aaaa => 9 possibilités.

 

Total

 

Vérification

Le tableau à droite compte 63 lignes pour chaque chiffre de tête 1 ou 2. Soit 9 x 63 = 567 pour les neuf chiffres.

Sans oublier les 9 nombres à chiffre unique: 567 + 9 = 576.

 

 

Exemple: tableau avec le premier chiffre à 1 et à 2

 

 

Présentation résumée

Nombres à quatre chiffres

formés de deux types de chiffres exactement.

 

Exemple de lecture pour aab.

*    La configuration aa existe pour les chiffres de 1 à 9 (par le 0). On indique 9.

*    Pour b, les chiffres de 0 à 9 conviennent sauf a, soit 9 valeurs. On indique 9.

*    Pour la dernière position marquée par un point, elle prend la valeur a ou b, soit deux valeurs. On indique 2.

*    Toutes ces possibilités s'ajoutent: 567

 

Note: pour retrouver le cas vu ci-dessus, il faudrait ajouter les 9 cas de nombres à chiffres uniques.

 

 

 

Quatre chiffres dont trois différents exactement

Problème

Nombre de quatre chiffres,

composé de trois chiffres exactement.

 

Combien y en a-t-il?

 

Commentaires

 

Le dénombrement n'est pas difficile, une fois assimilé le principe exposé ci-dessus.

Par contre, plus difficile, identifier les toutes les configurations, sans doublons.

 

Les deux exemples suivants vont aider à comprendre.

 

Résolution

 

 

Cinq chiffres dont deux différents exactement

Problème

Nombre de cinq chiffres,

composé de deux chiffres exactement.

 

Combien y en a-t-il?

 

Commentaires

 

 Observez la régularité des comptes: 9² x puissance de 2.

 

Résolution

 

 

 

Cinq chiffres dont trois différents exactement

 

Problème

Nombre de cinq chiffres,

composé de trois chiffres exactement.

Combien y en a-t-il?

 

Commentaires

 Une méthode plus rassurante consiste à examiner tous les cas avec le 1 pour en-tête.

On commence par dessiner les blocs de configuration (bleus) jusqu'au bout à droite, puis on compte en remontant vers la gauche.

Les chiffres en rouge sont ceux qui peuvent prendre toutes les valeurs sauf celles déjà utilisées.

 

 

Résolution

 

Nombres à cinq chiffres dont trois différents exactement: 16 200.

 

 

Bilan

 

Exemple de lecture: il existe:

*         243 nombres à 3 chiffres ayant exactement 2 chiffres différents ou encore

*    16 200 nombres à 5 chiffres ayant exactement 3 chiffres différents.
 

 

 

Programmation

 

 

 

L'instruction restart (redémarre) efface tout ce qui pourrait rester des calculs précédents.

Initialisation à 0 d'un compteur nommé kt.

Mise en route de trois boucles qui vont explorer les paramètres a, b et c représentant les chiffres du nombre à étudier.

L est la liste qui donne par exemple [1, 1, 2].

S est l'ensemble formé à partir de la liste. Ici: {1, 2}. Cette opération a pour effet de supprimer les doublons.

q est la quantité de nombres dans S; cad. la quantité de chiffres différents dans le nombre.

Si cette quantité est égale à 3, faire croitre le compteur d'une unité. Fin de la condition (fi)

Fin des trois boucles (od:od:od)

Imprimer la valeur du compteur.

Dans ce cas, 3 chiffres différents dans un nombre à 3 chiffres, la quantité calculée est 648.

 

Voir Programmation

 

 

 

 

 

 

 

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