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Niveau terminale = compréhensible par un élève de
terminale
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INVERSION avec le CERCLE Ou comment transformer un cercle en
droite
L'inversion est un outil mathématique bien
utile. Il est parfois plus facile de raisonner sur l'inverse d'une figure que
sur la figure elle-même. Outil très utile pour réaliser des constructions,
comme le cercle passant par deux points et tangent à un autre cercle. Le cercle C est transformé en droite D par l'inversion de centre 0 et de puissance R² (R, rayon du cercle bleu). |
Inverse d'un point
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Un cercle de centre O et de rayon r. Deux point sur une demi-droite issue de O sont des inverses si OP.OP'
= r². Le point P' est l'inverse de P par rapport au cercle C. De même P est
l'inverse de P' |
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Cercle directeur de l'inversion en rose. Cercle quelconque Image du
petit cercle bleu ? Choisir trois
points quelconques sur ce cercle. Construire l'inverse de chacun. Construire
le cercle passant par les trois points image. Le grand cercle externe est l'image du petit
interne. Cercle passant par O Image du
cercle bleu passant par le centre d'inversion ? Choisir deux
points sur le cercle bleu et construire leur inverse. La droite
passant par les deux points images est l'inverse du cercle passant par O, le
centre d'inversion. La droite externe est l'image du petit cercle
interne. Si le petit cercle, passant par O est tangent au
cercle d'inversion (rose), la droite image est tangente aux deux cercles (Voir image du
titre). |
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Passage par l'inversion
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Les constructions
présentées ci-dessous sont faisables en utilisant l'inversion et en profitant
de la conservation de la propriété des tangences. Il s'agit de:
On suivra le premier
exemple avant de passer au suivants, décrits plus succinctement. |
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Objectif (à gauche) Trouvez la construction du cercle bleu tangent à
D et passant par A et B. Principe (encadré à droite) Retrouver la propriété de conservation des
tangences à travers l'inversion. Le cercle bleu C à pour image la droite bleue T. La droite D à pour image le cercle rouge E. La tangence est conservée en P. Problème Trouvez un point permettant de tracer la tangente
T au cercle E. Choix de l'inversion L'un des points (A) sert de centre d'inversion
avec un cercle directeur de rayon quelconque (jaune). Avec cette inversion, le point B de C a pour
image le point B' de T. La tangente au cercle E est désormais connue, et avec
elle, le point de tangence P. Construction Cercle de centre A et de rayon quelconque (le
cercle d'inversion).
Notes Il existe un deuxième cercle, en prenant l'autre
tangente à E à partir de B'. Il existe des dispositions sans solution (A et B
de chaque côté de D, par exemple). |
Principe "à rebours" de la construction
Construction
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Voir Construction
des inverses des droites et des cercles
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Objectif Trouvez la construction du cercle rouge tangent
au cercle bleu et passant par les points A et B. Principe La droite D est tangente au cercle image C' du
cercle bleu C; son inversion est un cercle E tangent au cercle bleu (points
orange). Construction Inversion de centre A et puissance quelconque
(cercle jaune). Inversion du cercle C en C' (bleus). Inversion du point B en B'. Une tangente D parmi deux aux cercles C' et passant par B'. Inversion de la droite D en cercle E (rouge). Il
sera tangent au cercle bleu et passera par les points A et B. Note: il existe deux solutions. |
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Historique: Edward
Frenkel, un mathématicien d'origine russe, explique qu'il s'est vu confié
la résolution de cet exercice lors d'un examen d'admission à la MGU
(Université d'État de Moscou): étant donné un cercle et deux points du plan
en dehors du cercle, construire un autre cercle passant par ces deux points
et touchant l'autre cercle en exactement un point – Amour et Maths – page 55. |
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Objectif Trouvez la construction du cercle rouge tangent
aux deux cercles bleus et passant par le point A Principe La droite D est tangente aux deux cercles images
des cercles bleus; son inversion est un cercle tangent aux deux cercles bleus
(points orange). Construction Inversion de centre A et puissance quelconque
(cercle jaune). Inversion des deux cercles C1 et C2
en C'1 et C'2. Une tangente D parmi quatre aux cercles C'1 et C'2. Inversion de la droite D en cercle C. Il sera
tangent aux cercles bleus et passera par le point A. Note: il existe quatre solutions. |
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