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Sommaire de cette page

>>> Théorème

>>> Triangle équilatéral

>>> Démonstration avec inversion

 

 

 

 

 

Théorème de Ptolémée

 

Relations entre les diagonales et les côtés d'un quadrilatère inscrit dans un cercle.

Anglais: Ptolemy’s Theorem says that in any cyclic quadrilateral ABCD …

 

 

THÉORÈME DE PTOLÉMÉE (v.90 – v.168)

 

Théorème

 

*    Pour un quadrilatère inscrit, le produit des diagonales est égal à la somme des produits des côtés opposés

m.n = a.c + b.d

 

 

Démonstration

 

*    Construire  (angles en jaune)

*    Interceptant le même arc AD,  (angles en bleu)

*    Les triangles ABE et ACD sont semblables (imaginez que le triangle ABE pivote, et grossisse un peu, autour de A pour prendre la position de ACD)
Même chose pour les triangles AED et ABC

*    Les mesures de leurs côtés sont proportionnelles (Thalès)

 

 

NB. Si l'on écrit bien les noms des triangles semblables, les lettres dans les proportions s'en déduisent automatiquement

 

*    En développant (produit en croix)

AC.BE = AB.CD

AC.ED = AD.BC

*    En ajoutant

AC (BE + ED) = AB.CD + AD.BC

AC (BD) = AB.CD + AD.BC

m.n = a.c + b.d

 

 

 

 

Voir Ptolémée et ses contemporains

 

 

 

AVEC TRIANGLE ÉQUILATÉRAL

 

 

*    ABC est un triangle équilatéral

*    Quelle que soit la position du point D sur l'arc AC

 

Relation générale:

m.n = a.c + b.d

Avec le triangle équilatéral:

a = b = m

La relation devient

a.n = a.c + a.d

n = c + d

 

 

 

 

Démonstration avec inversion*

Données

Les points A, B, C et D son cocycliques. Ils sont situés sur le cercle bleu.

 

Démontrer

 

 

Inversion

Cercle directeur de l'inversion centré en A et avec un rayon tel que le cercle bleu est intérieur.

Le cercle bleu passant par le centre d'inversion, son image est une droite et les points  images B', C' et D' sont situées sur cette droite. Le point A est renvoyé à l'infini "sur cette droite".

Avec les inversions, on a (cf. définition de l'inversion):

AB . AB' = AC . AC' = AD . AD' = R²

 

Triangles semblables

Des égalités précédentes, on tire:

Avec l'angle A commun, les triangles ABC et AC'B' sont semblables. Idem pour les triangles ADC et AC'D' et aussi ABD et AD'B'.

 

 

L'inversion offre une démonstration originale

Avec une inversion, le cercle bleu est transformé en droite rouge et les points images sur la droite sont alignés.

 

Dans ces trois paires de triangles semblables

 

 

B', C' et D' sont colinéaires

 

Et, en rempaçant

B'D' = B'C' + C'D'

 

En mulipliant par

  AB.AC.AD / R²

AC . BD = AD . BC + AB . CD

                                                                 

 

 

 

 

Suite

*    Théorème de Ptolémée en trigonométrie

*    Formule de Brahmagupta

*    Calcul de l'aire du quadrilatère inscriptible

*    Loi des cosinus

*    Théorèmes des cordes sécantes

Voir

*    Carré

*    DicoMot

*    Éléments de géométrie

*    Polygone

*    Ptolémée

*    Quadrilatère

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