NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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CERCLE

 

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Sommaire de cette page

>>> Quadrilatère, réflexions et inversions

>>> Chaine de Pappus et inversion

>>> Cercle et corde

Niveau terminale = compréhensible par un élève de terminale

 

 

 

INVERSION avec le CERCLE

Démonstrations

 

L'inversion est un outil mathématique bien utile. Il est parfois plus facile de raisonner sur l'inverse d'une figure que sur la figure elle-même. Outil très utile pour réaliser certaines démonstrations ou certaines constructions.

 

Analogie

Les nombres complexes vous envoie dans le monde imaginaire pour y résoudre un problème et vous renvoie dans le monde réel avec la solution. Même effet avec l'inversion qui vous fait passer dans un monde où la solution s'avère abordable puis, revenir par l'inversion inverse dans le monde initial avec la solution en poche.

 

Un minimum de connaissances sur les inversions est utile pour aborder cette page.

 

 

 

 

Quadrilatère, réflexions et inversions

 

Problème

Un quadrilatère ABCD dont les diagonales sont perpendiculaires.

Les quatre points symétriques de O par rapport aux côtés.

 

Monter que les quatre points-images sont cocycliques.

 

Principe

Comment quatre cercles passant par un point forment un rectangle par inversion

Le rectangle est toujours inscriptible dans un cercle

 

 On se donne

Une inversion de centre O et de puissance arbitraire (vert pointillé).

Les quatre cercles passant par O et deux des points réfléchis X, Y, Z, V (roses).

 

Démonstration

Les cercles, passant par 0, sont inversés en droites perpendiculaires aux rayons OA, OB, OC et OD, délimitant ainsi un rectangle.

Les points X, Y, Z et V, chacun intersections de deux cercles se retrouvent en X', Y', Z' et V', intersections de deux droites (l'inversion conservent les intersections.

Ces points sont les sommets du rectangle X'Y'Z'V'.

 Or, le rectangle est inscriptible dans un cercle. Son image XYZV par inversion l'est aussi.

 

 

Représentation de l'inversion utilisée

 

Cercle directeur de l'inversion en vert pointillé.

Cercles à inverser en rose.

Droites images de l'inversion en vert.

 

Note: la construction de l'inversion n'est pas utile. Elle sert à se rassurrer. Pour la construire simplement, souvenez-vous que le cerle et son image se coupent aux mêmes endroits. Ci-dessus, trois cas faciles pour B, C et D; pour A, il faut construire l'inversion.

 

 

 

 

Chaine de Pappus et inversion

Arbelos ou tranchet du cordonnier

Problème

On part des trois demi-cercles bleus et on construit les cercles tangents dans l'espace entre les deux plus grands.

 

Montrez que les points de tangence sont sur le même cercle.

 

Montrer que la hauteur Hn du centre du  cercle n est égale à n fois le diamètre de ce cercle

 

 

L'inversion transforme le croissant de cercles différents en pile de cercles identiques. Exemple avec le cercle n= 3.

Inversion

Centre d'inversion en A

Cercle directeur tel qu'il soit orthogonal au cercle n (petites lignes en orange).

Alors, le cercle n (coloré en rose) est invariant avec l'inversion.

 

 

Explications

Les deux demi-cercles bleus passant par A sont transfomés en droites perpendiculaires à AB, donc parallèles.

Le cercle n est tangent aux deux cercles bleus; son image (lui-même) est tagent aux images des cercles bleus, les deux parallèles.

Toutes les cercles intermédiares conservent leur point de tangence et s'enfilent entre les deux parallèles.

 

La figure montre que Hn = n .Dn     (ici H3 = 3 Dn)

La ligne verte centrale passe par tous les points de tangence des cercles verts; elle se transforme en cercle par lequel passe tous les points de tangence des cercles roses (pointillé noir).

   

Voir Aire de l'arbelos  / Anglais Pappus chain and shoemaker's knife)

 

 

 

Cercle et corde

 

Inversion avec cercle directeur de centre I et de rayon OA.

Dans cette configuration, la droite D passant par la corde AB est l'inverse du cercle C, passant par I, le centre d'inversion.

 

On montre la construction de l'inverse de M en N

pour se rassurer.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Retour

*  Inversion

*  Inversion – Constructions

*  Inversion- Dispositif de Paeucellier-Lipkin

Suite

*  Théorème de Ptolémée démontré par inversion

*  Cercles orthogonaux

*  Arc de cercle – Coordonnées du point milieu

*  Calcul de l'aire du cercle par intégrale

*  Cercle d'Apollonius

*  Théorèmes

*  Cercle unité et triplets de Pythagore

*  Programmation du dessin du cercle

Voir

*  CercleIndex

*  GéométrieIndex

Sites

*  Inversion de cercles – Descartes et les mathématiques – Patrice Debart

*  Une transformation non linéaire – Xavier Hubaut

*  Inversion – Wikipédia

*   Inversion in a circle – Tom Davis

*   Inversion – Wolfram MathWorld

*   Inversion – Chapter 8

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Cercle/InverseD.htm