NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Polygones

 

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Polygones

 

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Sommaire de cette page

>>>  Dodécagone régulier

>>>  Mesures

>>>  Pavage du dodécagone

>>> Triangles équilatéraux dans le dodécagone

>>> Dodécagone régulier et ses diagonales

>>> Diagonales du dodécagone – Calcul des longueurs

 

 

 

 

 

 

DODÉCAGONE

 

Polygone à douze côtés ou douze angles (du grec: duodeka, douze et gonia, angle).

Dodécaèdre régulier: 12 côtés égaux* et 12 angles de 150°. Il est constructible.

La pièce de 50 cents australienne est découpée selon un dodécaèdre régulier.

* On dit plutôt de même mesure ou de même longueur

Anglais: a dodecagon is a 12-sided polygon / regular dodecagon

 

 

Galerie de dodécagones

 

 

 

DODÉCAGONE RÉGULIER

Sommets

12

Droites

66 = 11x12/2

Côtés

12

Diagonales

54

Triangles

10 (avec diagonales issues d'un sommet)

Angle interne

150°

Somme des angles

1 800° = 180 (12-2)

Longueur du côté

a

Rayon du cercle Inscrit

r

Rayon du cercle circonscrit

R  =  a / 0,515 638 …

Apothème

 

Aire

Voir Calcul de l'aire

Approximation de Pi

3, 105 828 …

 

 

 

MESURES dans le dodécagone

Le dessin montre 1/6 du dodécaèdre de côté AO'

Le segment AB serait le côté de l'hexagone.

Le triangle OAB est équilatéral.

 

 

OA = OO' = OB = AB = R

– Rayon du cercle circonscrit au dodécaèdre.

AO' = O'B = a

– Côté du dodécaèdre.

 

OH² = OA² - AH² = R² - (R/2)² = ¾ R²

OH = R

O'H = R (1 – )

 

AO'² = AH² + HO'² = (R/2)² + R² (1 –

        = R² {  (1/2)² + (1 – )² }

        = R²/4  {  (1)² + (2 – )² }

        = R²/4  {  1 +  4 – 4 + 3 }

        = R²/4  {  8 – 4}

        = R²  {  2 – }

 

 

a / R = 0, 517 638 090 205 041 524 70 …

 

 

 

 

Calcul approché de

 

*           Le rapport entre le périmètre du dodécagone 12a et son diamètre D = 2R donne 6 x 0,517… = 3,106 … = Pi12, est une valeur approchée de .

*           Avec 24 côtés on trouverait un rapport de 0,261 052 38 et une approximation de  qui vaut 12 fois cette valeur, soit: Pi24 = 3,132 …

 

*           Un calcul trigonométrique avec un nombre de côté égal à n donne :

 

*           En fait Pin  tend vers  lorsque n tend vers l'infini.
Voici un tableau montrant la vitesse (lente) de convergence:

 

Diagonales du dodécagone

Voir Dénombrement des diagonales, intersections et régions

 

 

Pavage du dodécagone en douze parts

Pavage monohédral (en parts égales) du dodécagone avec des parties non centrales.

Les pointillés montrent la construction.

Les douze quadrilatères sont irréguliers, mais congruents (égaux, superposables).

Ils sont formés d'un triangle équilatéral adjacent à un triangle isocèle.

 

Voir Pavage du disque et autres

 

 

 

Un pavage possible avec un carré et deux triangles équilatéraux

(Déduit de celui présenté ci-dessus)

Proposé par Jean-Louis Breuil

 

Triangles équilatéraux dans le dodécagone

 

Notez les points d'intersection selon la taille des triangles équilatéraux.

Voir Calculs dans l'octogone

 

 

Dodécagone régulier et ses diagonales

Longueur de la diagonale k, avec k la quantité de côtés interceptés par la diagonale.

 

k

Longueur

Formule

2

1,931851652

3

2,732050807

4

3,346065216

 

5

3,732050808

6

3,863703305

 

Voir Son calcul / Tables / Quantité d'intersections des diagonales

 

 

 

Diagonales du dodécagone – Calcul des longueurs

 

Exercice de géométrie

 

Angle au sommet interceptant un côté

*     

Diagonales

*      d1 = AG = D

*      d2 = AF

*      d3 = AE

*      d4 = AD

*      d5 = AC

 

Rayon des cercles

*      circonscrit: MA = R = D/2

*      inscrit: MO = r

 

Apothème

*      MO = r

 

Calculs des longueurs pour une longueur du côté: a = 10.

 

Grande diagonale d1 = AG, diamètre du cercle circonscrit (D):

Deuxième diagonale d2 = AF = BG:

Petite diagonale d5 = AC:

Rayon du cercle inscrit, apothème: r = OM = AP

Quatrième diagonale d4 = AD:

Troisième diagonale d3 = AE:

 

 

 

 

Suite

*    Dodécagone – Construction

*    Dodécaèdre

*    Heptadécagone

Voir

*    Polygone

*    Hexagone

*    Calcul de Pi

*    Partage du cercle en parts égales

Aussi

*    Constructibilité

*    GéométrieIndex

*    Partage du cercle

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