NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Polygones

 

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Dodécagone

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Sommaire de cette page

>>> Dodécagone régulier

>>>  Mesures

>>> Pavage du dodécagone

 

 

 

 

 

 

DODÉCAGONE

 

Polygone à douze côtés ou douze angles (du grec: duodeka, douze et gonia, angle).

Dodécaèdre régulier: 12 côtés égaux et 12 angles de 150°. Il est constructible.

La pièce de 50 cents australienne est découpée selon un dodécaèdre régulier.

Anglais: a dodecagon is a 12-sided polygon / regular dodecagon

 

 

Galerie de dodécagones

 

 

 

DODÉCAGONE RÉGULIER

Sommets

12

Droites

66 = 11x12/2

Côtés

12

Diagonales

54

Triangles

10 (avec diagonales issues d'un sommet)

Angle interne

150°

Somme des angles

1 800° = 180 (12-2)

Longueur du côté

a

Rayon du cercle Inscrit

r

Rayon du cercle circonscrit

R  =  a / 0,515 638 …

Apothème

 

Aire

Approximation de Pi

3, 105 828 …

 

 

 

MESURES dans le dodécagone

Le dessin montre 1/6 du dodécaèdre de côté AO'

Le segment AB serait le côté de l'hexagone.

Le triangle OAB est équilatéral.

 

 

OA = OO' = OB = AB = R

– Rayon du cercle circonscrit au dodécaèdre.

AO' = O'B = a

– Côté du dodécaèdre.

 

OH² = OA² - AH² = R² - (R/2)² = ¾ R²

OH = R

O'H = R (1 )

 

AO'² = AH² + HO'² = (R/2)² + R² (1

        = R² {  (1/2)² + (1 – )² }

        = R²/4  {  (1)² + (2 – )² }

        = R²/4  {  1 +  4 – 4 + 3 }

        = R²/4  {  8 – 4}

        = R²  {  2}

 

 

a / R = 0, 517 638 090 205 041 524 70 …

 

 

 

 

Calcul approché de

 

*           Le rapport entre le périmètre du dodécagone 12a et son diamètre D = 2R donne 6 x 0,517… = 3,106 … = Pi12, est une valeur approchée de .

*           Avec 24 côtés on trouverait un rapport de 0,261 052 38 et une approximation de  qui vaut 12 fois cette valeur, soit: Pi24 = 3,132 …

 

*           Un calcul trigonométrique avec un nombre de côté égal à n donne :

 

*           En fait Pin  tend vers  lorsque n tend vers l'infini.
Voici un tableau montrant la vitesse (lente) de convergence:

 

 

Pavage du dodécagone en douze parts

Pavage monohédral (en parts égales) du dodécagone avec des parties non centrales.

Les pointillés montrent la construction.

Les douze quadrilatères sont irréguliers, mais congruents (égaux, superposables)

 

Voir Pavage du disque et autres

 

 

 

 

 

 

 

Suite

*    Dodécagone – Construction

*    Dodécaèdre

*    Heptadécagone

Voir

*    Polygone

*    Hexagone

*    Calcul de Pi

Aussi

*    Constructibilité

*    GéométrieIndex

*    Partage du cercle

*    Rosaces

DicoNombre

*    Nombre 12

*    Nombre 0,517

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