NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Construction

>>> Évaluation de la hauteur du pentagone

 

 

 

PENTAGONE RÉGULIER

Une construction étonnante !

  

Cette construction particulièrement étonnante m'a été proposée par Jean-Louis Breuil, un amateur passionné de géométrie.

Il s'agit d'une construction inattendue mêlant carré, triangles équilatéraux et bissectrice.

La chute de l'histoire est tout aussi étonnante, car, la figure est un pentagone régulier, ou presque, à 1,5 pour mille. Une coïncidence mêlant racines de 2, de 3 et de 5.

 

 

Construction

Étapes de construction du pentagone régulier ABCDE

 

*      Carré de base AB;

*      Triangles équilatéraux en bas et en haut du carré (verts);

*      Bissectrice (rouge) de l'angle FBH, lequel vaut 15°;

*      Point G intersection de la bissectrice et de la droite FH, laquelle est l'axe de symétrie de la figure;

*      Le milieu D de HG, qui est le troisième sommet du pentagone;

*      Trois cercles de rayon AB et de centre A, B et D; et

*      Les points C et E, intersections des cercles, lesquels sont les deux derniers sommets du pentagone.

 

Valeur de l'angle

Repérez les deux losanges verts: AFHI et BFHJ. Losanges car quatre côtés égaux: BF = BJ = HJ = HF qui sont aussi égaux à AB  = 1.

L'angle au sommet du losange (30°) est partagé en deux  angles de 15° par la diagonale du losange. À son tour la bissectrice BG (en rouge) partage l'un d'eux en deux angles de 7,5°.

L'angle ABG vaut 60 + 7,5 = 67,5° = 3Pi/8 radians. Sa tangente vaut 1 + racine de 2.

Voir Angles en pi/8 – Calcul des lignes trigonométriques / AnglesIndex

 

 

Évaluation de la hauteur du pentagone

 

Évaluation de la hauteur du pentagone

 

De ce côté (à gauche), la hauteur H du pentagone vaut:

H = 1, 5388 … à comparer à la hauteur de la figure H'.

 

Un écart de 0,00227, soit 0,15%.

 

 

Évaluation de la hauteur de la figure construite

 

 

 

 

Construction avec GeoGebra

 

Valeurs relevées

 

Comparaison

e est la hauteur du pentagone.

f1 et g1 sont les hauteurs aux points G et H

Le point milieu est à la hauteur (demi-somme):    9,2196

À comparer à 9,2333

Écart: 0,1366, soit 0,15 %.

 

 

Formule exprimant  la différence

 

 

 

Merci à Jean-Louis Breuil

 

 

Suite

*    Centre de gravité du pentagone

*    Octogone et triangle équilatéral

*    Pentagone et le nombre d'or

*    Pentagones de Dürer

*    Hexagone

Retour

*    Pentagone – Généralités

Voir

*    Calcul de Pi

*    Construction géométrique des nombres

*    Dodécagone

*    GéométrieIndex

*    Pentagone et racines de 1

*    Polygone

*    Pavage avec polygones

*    Hexagone – Généralités 

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http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Polygone/PentaCur.htm