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		Sommaire de cette page >>> Construction médiévale >>> Construction de Ian Mansour de Grange >>> Construction de J.-L. Breuil >>> Évaluation de la hauteur du pentagone

PENTAGONE RÉGULIER

Constructions approchées étonnantes !

D'abord une construction médiévale particulièrement simple.

Puis, deux constructions tout aussi simples proposées par Ian, à partir d'un triangle équilatéral implanté dans un carré. Précision 4 et 3 pour mille.

La construction suivante, tout aussi étonnante, m'a été proposée par Jean-Louis Breuil. Il s'agit d'une construction inattendue mêlant carré, triangles équilatéraux et bissectrice.

Voir La construction exacte / Approchée de Dürer

Construction médiévale avec règle graduée

Pour commencer, une construction approchée particulièrement simple à réaliser.

Construction de l'angle

Sur l'axe vertical marquer B en (0, 10) et C en (0, -7)

Cercle (B, BC). Intersection en D et E avec la droite horizontale en A.

L'angle DBE est pratiquement celui du pentagone régulier à 0,06 ° près. Une approximation à 0,6 pour mille.

Approximation

sin 36° = cos 54°	= 0,587785252…
10 / 17	= 0,588235294…
Écart	= 0,000450042…

BA = 10

BD = 17

Construction approchée du pentagone pour géomètre ou arpenteur

Construire l'angle en B et les deux côtés BD et BE du pentagone (Cf. ci-dessus).

Reporter l'angle de B en D et E (en vert) à l'aide d'un rapporteur d'angle réglable

Demi-droites DF et EG.

Cercles (D, BC) et (E, BC). Intersections F et G, les deux derniers sommets du pentagone.

Un agrandissement montre le pentagone régulier en pointillés bleus. L'écart entre les deux points est inférieure à 1 mm pour une hauteur du pentagone de 25 cm.

Voir Angles en Pi / 5 / Construction approchée avec arctan(3) voisin de 72 °

Constructions proposées par Ian
Une construction approchée particulièrement simple à réaliser au prix d'une trisection. Construction approchée du pentagone pour géomètre ou arpenteur Un carré et un triangle équilatéral emmanché en ses 2/3. Trois arcs de cercles selon les pointillés. Ils créent deux points d'intersections externes. Ces deux points, le sommet du triangle et les deux sommets à la base du carré forment un pentagone pratiquement régulier. Figure Pentagone approché en bleu. Pentagone régulier en pointillés roses, à peine visible à la pointe supérieure.
Longueur la hauteur verticale en pointillés pour chacun des pentagones.
Précision de 0,4 % (4 mm pour 1 mètre)

Voir Nombres en 1,53… / Brève 664

Une autre construction approchée très simple. Un triangle équilatéral ABC dont un côté est une médiane d'un carré. Le point E est le milieu de CD. Cercle (E, EA) Demi-droites CF et CK qui déterminent les points F et K. Segments FG et KH de même longueur que CF et CK, quatre côtés du pentagone. Le segment GH est le cinquième côté avec une longueur approchée à 0, 3% (0,292%). Précision du même ordre que la construction qui suit, basée sur un principe analogue.

Merci à Ian Mansour de Grange pour ces petites "cerises", comme il appelle ces constructions

Construction proposée par J.-L. Breuil
Étapes de construction du pentagone régulier ABCDE Carré de base AB; Triangles équilatéraux en bas et en haut du carré (verts); Bissectrice (rouge) de l'angle FBH, lequel vaut 15°; Point G intersection de la bissectrice et de la droite FH, laquelle est l'axe de symétrie de la figure; Le milieu D de HG, qui est le troisième sommet du pentagone; Trois cercles de rayon AB et de centre A, B et D; et Les points C et E, intersections des cercles, lesquels sont les deux derniers sommets du pentagone.
Note La construction exacte du pentagone selon ce type de méthode est très proche. En effet Point D exact = intersection des cercles (B, BE) et (A, AC) Cercles en rouge qui se croisent sur le point D de la figure. Il faudrait grossir beaucoup pour observer la différence.

Valeur de l'angle

Repérez les deux losanges verts: AFHI et BFHJ. Losanges car quatre côtés égaux: BF = BJ = HJ = HF qui sont aussi égaux à AB = 1.

L'angle au sommet du losange (30°) est partagé en deux angles de 15° par la diagonale du losange. À son tour la bissectrice BG (en rouge) partage l'un d'eux en deux angles de 7,5°.

L'angle ABG vaut 60 + 7,5 = 67,5° = 3Pi/8 radians. Sa tangente vaut 1 + racine de 2.

Voir Angles en pi/8 – Calcul des lignes trigonométriques / Angles – Index

Évaluation de la hauteur du pentagone
Évaluation de la hauteur du pentagone De ce côté (à gauche), la hauteur H du pentagone vaut: H = 1, 5388 … à comparer à la hauteur de la figure H'. Un écart de 0,00227, soit 0,15%.		Évaluation de la hauteur de la figure construite
Construction avec GeoGebra	Valeurs relevées		Comparaison e est la hauteur du pentagone. f1 et g1 sont les hauteurs aux points G et H Le point milieu est à la hauteur (demi-somme): 9,2196 À comparer à 9,2333 Écart: 0,1366, soit 0,15 %.
Formule exprimant la différence

Merci à Jean-Louis Breuil

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Suite	Dissection du pentagone Centre de gravité du pentagone Octogone et triangle équilatéral Pentagone et le nombre d'or Pentagones de Dürer Hexagone
Voir	Calcul de Pi Construction géométrique des nombres Dodécagone Géométrie – Index Pentagone et racines de 1 Polygone Pavage avec polygones Hexagone – Généralités
Sites	Pentagons in Medieval Sources and Architecture – Krisztina Fehér, Brigitta Szilágyi, Attila Bölcskei & Balázs Halmos – 2019
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Polygone/PentaCur.htm