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TRIANGLES

 

Débutants

Triangle

Triangles ISOCÈLES

 

Glossaire Triangle

 

 

INDEX

 

Triangle

Types de triangles

Isocèle

Isocèle: intersections

Débutants

Isocèle 45°

Isocèle – Bissection

Isocèle – 20 80 80

Isocèle – Construction

 

Sommaire de cette page

>>> Triangle isocèle rectangle – Exemple de démonstration

>>> Intersection – Triangle isocèle rectangle et bissectrice

>>> Intersection – Cas général

>>> Tangente Pi / 8 = 22,5° – Construction par pliage

>>> Calcul des sinus … de Pi/8 – Exemples de calculs

 

 

 

 

TRIANGLE ISOCÈLE – Calculs  

 

Où il est question d'un triangle isocèle, de bissectrices et de calculs de coordonnées.

Généralisation à un triangle quelconque.

Mise en jeu de l'angle 22,5° = Pi/8, occasion de calculer ses lignes trigonométriques et de faire des exercices de calculs.

Pour commencer, un petit problème simple de géométrie.

 

 

 

Triangle isocèle rectangle – Exemple de démonstration

 

Problème

Un triangle isocèle rectangle ABC, inscrit dans un cercle.

Les trois bissectrices (en vert).

Deux de leurs intersections avec le cercle en E et en F.

 

Montrer que la droite EF est parallèle à la base AC du triangle ABC.

 

Observations

Une figure bien dessinée montre l'évidence (EF //AC) du fait des symétries dans la figure.

On se souvient que les angles d'un triangle isocèle rectangle sont 90°, 45° et 45°, et que leur bissectrice les partage en deux parties égales: 45° et 22,5°.

 

Notez que l'angle ABC étant droit, il intercepte un diamètre. AC est un diamètre du cercle.

 

Résolution

Dans le triangle isocèle rectangle ABC les angles valent 90° en B et 45° en A et C.

La bissectrice CE forme deux angles de 22,5° en C.

 

L'angle en F intercepte le même arc AE que l'angle ECA; il vaut 22,5°.

 

Les bissectrices forment des angles de 22,5° en A et de 45° en B.

La somme des angles du triangle ABO est égale à 90° et, angle AOB = 180 ° – 45° – 22,5° = 112,5°

 

L'angle HOF = 180° – 112,5° = 67,5°

Dans le triangle HOF, l'angle en H  = 180° – 67,5°– 22,5° = 90°

 

Le triangle ABI est isocèle rectangle en I; l'angle AIB est droit.

 

Les deux droites AC et EF, perpendiculaires à la même droite BD, sont parallèles.

 

 

 

La démonstration peut se faire directement sur la figure en suivant l'ordre des indices précédant la valeur des angles.

 

 

 

 

Intersection –

Triangle isocèle rectangle et bissectrice

 

Un triangle isocèle rectangle ABC.

              Ses angles à la base sont égaux à 45°.

              Sa base mesure 20 cm.

La bissectrice BM coupe le côté opposé en M.

Coordonnées du point M?

 

Réponse selon la figure
 

 

Explications complémentaires

x et y sont les longueurs des deux côtés d'un triangle isocèle rectangle; ces longueurs sont égales.

Dans le triangle rectangle BHM, la tangente de l'angle MBH = 45° / 2 est égale au rapport MH / BH et BH = 20 – x.

 

 

Notez que nous n'avons fait aucune hypothèse particulière sur la valeur de l'angle MBH = .

Soit la formulation générale avec a la longueur de la base AB:

 

Voir Calcul de tangente 22,5°

 

 

 

Intersection – Cas général

 

Un triangle ABM

Angles alpha en A et bêta en B, quelconques

Coordonnées du point M?

Autrement dit quelle est la mesure de la hauteur et où se trouve-t-elle sur la base AB?

 

Réponse selon la figure
 

 

Explications complémentaires

La hauteur y intervient dans les deux triangles rectangles BHM et AHM.

En utilisant les tangentes (rapport entre les deux côtés de l'angle droit du triangle rectangle), cette valeur de y est connue deux fois en fonction de x. Nous obtenons une simple équation pour x dont la racine est un calcul algébrique.

 

Note: Nous avons recours à la trigonométrie (tangente). Le théorème de Pythagore, pour une fois, ne peut pas être utilisé car nous ne connaissons pas les mesures des hypoténuses.

 

 

 

Tangente Pi/8

 

Voir Valeurs sinus et cosinus de Pi/8 / Octogone

 

 

Construction muette à partir d'un rectangle de dimensions: (Racine de 2) x 1

 

 

 

Construction par pliage d'une feuille ordinaire (A4)

 

Dimension d'une feuille A4 : 21 x 29,7 avec 29,7 = 21 x (1 ) = 21 x 0,4142...

 

L'angle Pi/8 = 22,5° est obtenu à la suite de deux pliages seulement:

 

Calculs des lignes trigonométriques

Voir Formules trigonométriques de l'angle moitié / Calcul avec les racines

 

 

Exemple de calcul avec l'aide du cercle trigonométrique

Pour calculer l'expression indiquée, le cercle trigonométrique est découpé en 16 secteurs égaux.

 

Les valeurs des cosinus sont repérées par des segments au bas du cercle.

 

Les lignes bleues (valeurs positives, compensent les lignes vertes (valeurs négatives).

 

Souvent un dessin fait du bien avant de s'embarquer dans des calculs littéraux compliqués.

 

 

 

L'expression trigonométrique T à calculer est représentée par les surfaces bleues et vertes. Elle vaut:

 

Ici, la lecture sur le cercle n'est pas suffisante. E se calcule en employant les formules de linéarisation (élimination des carrés):

 

Dernière valeur à multiplier par 2 pour calculer E.

 

 

 

 

Suite

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*    Triangle de Pythagore

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