NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Bissection des triangles

 

Sommaire de cette page

>>> Triangles quelconques

>>> Triangle isocèle particulier

>>> Triangle équilatéral

>>> Exploration

>>> Triangle équilatéral – Bissection avec courbe

 

 

 

 

 

 

BISSECTION des TRIANGLES

 

Comment couper en deux parties égales (même aire) des triangles de diverses natures?

Contrainte: la ligne de bissection doit être la plus courte possible. Le cercle va encore frapper!

 

 

 

 

Triangles quelconques

 

*    La médiane possède la propriété de couper un triangle quelconque en deux parties de même aire. Mais, est-ce l'optimum?

 

*    Par optimum, on entend, ligne de découpe la plus courte possible.



 

 

Triangle isocèle: un exemple particulier

 

Bissection par la médiane                               Bissection par une parallèle à la base

 

Dans ce cas très particulier de triangle isocèle, la longueur de la médiane est égale à celle du segment de bissection transversale.

Note: sur la figure de droite, le trait bleu mesure bien 2x.

 

Calculs

 

Ici, nous avons une égalité. Il existe des triangles pour lesquelles le segment bissecteur est plus court que la médiane, donc plus efficace (selon notre recherche).

C'est le cas de tous les triangles isocèles dont l'angle au sommet sera plus aigu que celui-ci. Alors la médiane s'allonge, alors que le segment de bissection rétrécit.

 

 

 

 

Triangle équilatéral

 

Dans le cas du triangle équilatéral, la droite de bissection parallèle à la base est plus courte que la médiane: Racine de 2 (= 1,414 ..) contre racine de 3 (= 1,732…)


 

 

Nous venons de travailler sur un triangle équilatéral de côté 2; avec un côté unité, divisez les longueurs par 2.

 

 

Exploration

 

*    Nos avons vu qu'une médiane partage le triangle en deux parties égales.

*    Dans le cas des triangles isocèles, selon l'angle au sommet, une droite parallèle à la base offre une bissection avec un segment plus court que les médianes.

*    En imaginant une jonction entre les deux côtés opposés, on ne trouve pas plus court.

*    Mais avec un arc de courbe? Réponse: oui pour le triangle équilatéral !  

 

 

 

 

Bissection du triangle équilatéral avec courbe

 

*    La démonstration est assez sympathique car elle ne fait pas appel à des calculs compliqués.

*    Elle repose sur deux faits connus:

*      le cercle est l'enveloppe qui englobe le maximum de surface pour le minimum de périmètre; et

*      le triangle équilatéral peut être répliqué six fois pour former un hexagone.

 

*    Alors dessinons l'hexagone et le cercle intérieur. En calculant le rayon du cercle dont le disque couvre la moitié de la superficie de l'hexagone nous aurons tous les éléments du calcul.
 

 

 

 

 

 

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