NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 20/06/2021 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
	Géométrie
Débutants Géométrie	CONSTRUCTIONS			Glossaire Bissectrice
INDEX Triangle Géométrie	Constructible	Bissection	Trisection
		Bissection des triangles
		Sommaire de cette page >>> Bissection du périmètre >>> Droite couperet (cleaver) >>> Bissection de la surface >>> Triangles quelconques >>> Triangle isocèle particulier >>> Triangle équilatéral >>> Exploration >>> Triangle équilatéral – Bissection avec courbe >>> Cas général

BISSECTION des TRIANGLES

Bissection du périmètre: obtenir deux sous-triangles de même périmètre.

Bissection de l'aire: Comment couper en deux parties égales (même aire) des triangles de diverses natures?

Contrainte: la ligne de bissection doit être la plus courte possible. Le cercle va encore frapper!

Bissection du périmètre – Perimeter bisector		haut
But Partager le périmètre en deux parties égales. Créer deux triangles de même périmètre à partir du triangle d'origine. Construction 1 Triangle ABC. Cercle (A, BC). Intersection E. Cercle (B, AC). Intersection D. Relier C au milieu de DE. Les triangles CJA et CJB ont le même périmètre.
Construction 2 Triangle ABC. Cercle (A, AB). Intersection D avec AC. Cercle (C, CD). Intersection E avec BC. Relier A au milieu de BE. Les triangles AFB et AFC ont le même périmètre.

Droites Couperet – Cleaver		haut
But Cas particulier: partager le périmètre en deux parties égales par une droite issue du milieu des côtés Construction 1 Il se trouve que ces droites sont parallèles aux bissectrices (pointillés roses). Ce sont les bissectrices des angles du triangle médian (vert). Les trois droites-couperets se rencontrent en un seul point: le centre de Spieker (bleu).

Voir Triangle quelconque – Aire et périmètre / Points remarquables

Bissection de la surface du triangle –Area Bisector

Ce problème de découpe de la surface du triangle en deux parties de même aire comprend plusieurs sous-problèmes:

1) découpe par une droite passant par le sommet;

2) découpe par une droite quelconque;

3) découpe par une courbe de longueur minimale.

Triangles quelconques et découpe via le sommet
La médiane possède la propriété de couper un triangle quelconque en deux parties de même aire. Mais, est-ce l'optimum? Par optimum, on entend, ligne de découpe la plus courte possible.

Triangle isocèle: un exemple particulier
Bissection par la médiane Bissection par une parallèle à la base
Dans ce cas très particulier de triangle isocèle, la longueur de la médiane est égale à celle du segment de bissection transversale. Note: sur la figure de droite, le trait bleu mesure bien 2x. Calculs Ici, nous avons une égalité. Il existe des triangles pour lesquelles le segment bissecteur est plus court que la médiane, donc plus efficace (selon notre recherche). C'est le cas de tous les triangles isocèles dont l'angle au sommet sera plus aigu que celui-ci. Alors la médiane s'allonge, alors que le segment de bissection rétrécit.

Triangle équilatéral
Dans le cas du triangle équilatéral, la droite de bissection parallèle à la base est plus courte que la médiane: Racine de 2 (= 1,414 ..) contre racine de 3 (= 1,732…) Nous venons de travailler sur un triangle équilatéral de côté 2; avec un côté unité, divisez les longueurs par 2.

Exploration
Nos avons vu qu'une médiane partage le triangle en deux parties égales. Dans le cas des triangles isocèles, selon l'angle au sommet, une droite parallèle à la base offre une bissection avec un segment plus court que les médianes. En imaginant une jonction entre les deux côtés opposés, on ne trouve pas plus court. Mais avec un arc de courbe? Réponse: oui pour le triangle équilatéral !

Bissection du triangle équilatéral avec courbe
La démonstration est assez sympathique car elle ne fait pas appel à des calculs compliqués. Elle repose sur deux faits connus: le cercle est l'enveloppe qui englobe le maximum de surface pour le minimum de périmètre; et le triangle équilatéral peut être répliqué six fois pour former un hexagone. Alors dessinons l'hexagone et le cercle intérieur. En calculant le rayon du cercle dont le disque couvre la moitié de la superficie de l'hexagone nous aurons tous les éléments du calcul.

Cas général		haut
Dans le cas général d'une droite découpant le triangle en deux triangles dans un rapport k (y compris k = 50%), il existe une infinité de droites comme illustrée sur cette figure. Ces droites sont toutes tangentes à trois hyperboles dont les asymptotes sont les droites portant les côtés du triangle. Avec k = 50 % à gauche, trois droites sont issues des sommets, les médianes. Les asymptotes dessinent un triangle courbe dit deltoïde. À l'intérieur, tout point voit passer trois droites coupant le triangle en deux et à l'extérieur, il n'y a qu'une seule droite. Les sommets du deltoïde sont les points milieux des médianes. Avec un triangle isocèle rectangle, l'aire du deltoïde est 0, 019860 … celle du triangle (1/4 (3 ln(2) – 2)). Avec k < 50 % à droite, ce sont six droites qui sont issues des sommets. Cette fois, les droites sont tangentes à deux jeux de trois hyperboles.
k = 50%	k = 33%

Source images Triangle Area Bisectors – Wolfram – Démonstration interactive

Voir Partage du triangle en deux partes égales – Cas particuliers

Suite	Triangle – Partage en k parts égales Bissectrice Trisection
Voir	Allumettes Construction de racine de 2 Centre du cercle Pentagone ou étoile à cinq branches
Autres	Cycloïde Géométrie – Index Heptagone Illusions d'optique Jeux – Index Médiatrice	Neusis (construction-) Pliages et découpages Polyèdres Polygones Quadrature du cercle Triangles
Sites	Medians and Area Bisectors of a Triangle – Henry Bottomley
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Pavage/Dissecti/BisseTrg.htm