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Sommaire de cette page

>>> Centre de gravité du  triangle quelconque

>>> Propriétés métriques

>>> Coordonnées cartésiennes de G

>>> Centre de gravité  = point de concours des médianes

>>> Somme de vecteurs issus de G

>>> Centre de gravité – Relation vectorielle

>>> Cas du tétraèdre

>>> Anglais

 

 

 

 

Centre gravité du TRIANGLE

Centre géométrique, isobarycentre

Centre de masse, centre d'inertie

Centroid (anglais)

Point médian  

 

Tous ces vocables pour un seul point dans un triangle quelconque !

Nous allons positionner le centre de gravité, énoncer quelques relations géométriques et, calculer les coordonnées du centre de gravité. Nous démonterons par la méthode des vecteurs que le ces coordonnée sont la moyenne arithmétique des coordonnées des sommets.

Voir BarycentreGlossaire

 

 

 

Centre de gravité du  triangle quelconque

 

Le centre de gravité (G) du triangle quelconque se trouve à l'intersection des trois médianes (AMA , BMB , CMC).

 

En effet chaque médiane partage un triangle en deux triangles de même aire.

 

Le centre de gravité est situé au 2/3 de la médiane en partant du sommet.

CG = 2/3 CMC

 

En prenant la hauteur issue du même sommet, celle-ci est partagée également en tiers (théorème de Thalès)

 

Suite en Médianes et triangles

 

 

 

Propriétés métriques

Relation cousine de celle du théorème de Pythagore;

Mais celle-ci qui découle du théorème d'Apollonius.

 

 

3 (m² + n² + p²)  = a² + b² + c²

 

Théorème d'Apollonius.

a² + b² – ½ c² = 2 (p + p')²

b² + c² – ½ a² = 2 (m + m')²

c² + a² – ½  b² = 2 (n + n')²

Propriété du point de concours des médianes.

m + m' = m + ½ m = 3/2 m

n + n' = 3/2 n

p + p' = 3/2 p

En remplaçant:

a² + b² – ½ c² = 2 (3/2 p)² = 9/2 p²

b² + c² – ½ a² = 2 (3/2 m)² = 9/2 m²

c² + a² – ½  b² = 2 (3/2 n)² = 9/2 n²

On additionnant tout cela.

2a² – ½ a² + 2 b² – ½ b² + 2c² – 1/2c²

= 9/2 (m²  n² + p²)

Un peu de calcul.

3/2 (a² + b² + c²) = 9/2 (m²  n² + p²)

En simplifiant par 3/2.

a² + b² + c² = 3 (m²  n² + p²)   

Autre relation pour un point M quelconque:

AM² + BM² + CM²  = AG² + BG² + CG² + 3MG²

 

 

 

Coordonnées cartésiennes de G

Formule fondamentale

 

Les coordonnées cartésiennes du centre de gravité du triangle quelconque sont égales à la moyenne arithmétique des coordonnées des sommets.

 

 

 

 

A (0, 0);   B (18, 0);  C (11, 12);   G(29/3 = 9,66…, 12/3 = 4 )

 

 

Exemple


Voir Démonstration vectorielle de ces relations

 

 

Centre de gravité et médianes

 

Démonstration

 

Montrer que G est aussi le point de concours des médianes G'.

 

Ce que nous savons:

 

*    Les coordonnées du centre de gravité (G):

*    Les médianes se coupent en G'

 

Nous allons démontrer que AM et AG sont colinéaires.

Démonstration qui peut se répéter pour les deux autres médianes. Alors G et G' sont confondus.

 

 

AM (médiane)

et AG (centre de gravité)

 colinéaires?

L'équation de la droite AM avec K son coefficient directeur.

Valeur de K.

Coefficient directeur de AG.

Égalité des coefficients directeurs K et H.

 

Les deux droites AG et AM sont colinéaires et, étant toutes deux issues de A, elles sont confondues.

Idem pour BG et BN.

Ces droites se coupent au même point G.

G et G' représentent le même point.

 

 

 

Somme des vecteurs

 

Il s'agit de démontrer que la somme des vecteurs issus du centre de gravité et joignant les sommets est nulle (ici, avec l'exemple du triangle).

 

 

Propriétés vraies pour tous les polygones plans.

Coordonnées des vecteurs

 

GA = (xA – xG , yA – yG)

GB = (xB – xG , yB – yG)

GC = (xC – xG , yC – yG)

 

Somme (S) de ces trois vecteurs

 

xS = xA – xG + xB – xG + xC – xG

      = xA + xB + xC – 3xG 

yS = yA – yG + yB – yG + yC – yG

      = yA + yB + yC – 3yG

 

Or, on connait les coordonnées du centre de gravité.

En remplaçant dans la somme des vecteurs:

 

xS = 0

yS = 0

 

La somme des vecteurs issus de G

est égale au:

 

 vecteur nul.

Illustration géométrique pour le polygone

 

Propriété

 

Le centre de gravité d'un polygone (plan) est tel que la somme des vecteurs issus de ce point vers chacun des sommets est nulle.

Exemple

*      Le point G est le centre de gravité du polygone ABCDE.

*      La somme des vecteurs (bleus) issus de G est nulle.

*      Vérifions-le par construction géométrique de la somme (vert):

 

 

 

 

Centre de gravité – Relation vectorielle

 

Démonstration

 

Démontrer la relation vectorielle associée au centre de gravité.

 

 

On sait que le centre du triangle est aussi le point de concours des médianes, situé au 2/3 des sommets.

 

La démonstration fait intervenir la méthode des vecteurs. Nous allons caractériser les points du triangle par des vecteurs, tous issus de la même origine quelconque.

 

(On aurait pu choisir G comme point origine. Choix d'une origine quelconque pour le plaisir d'un calcul vectoriel général).

 

 

Exemple de relation

 

 

Pour alléger l'écriture, nous allons omettre la flèche pour les vecteurs.

Avec les trios (u, v, w) et (a, b et c).

a = v – u

b = w – v

c = u – w

Avec le trio (x, y et z) caractérisant les milieux des côtés.

x = u + ½ a = u + ½ (v – u)  = ½ (u + v)

y = ½ (u + w)

z = ½ (v + w)

Les vecteurs sur les médianes.

ma = x – w = ½ (u + v) – w

mb = z – u = ½ (v + w) – u

mc = y – v = ½ (u + w) – v

En prenant le vecteur g, on caractérise également des portions de médianes.

m'a = g – w

m'b = g – u

m'c = g – v

Or les portions de médianes (ma) et et les médianes (ma') sont colinéaires

Les vecteurs sont proportionnels dans le rapport 2/3.

ma = ½ (u + v) – w = 2/3 (g – w)

mb = ½ (v + w) – u  = 2/3 (g – u)

mc = ½ (u + w) – v = 2/3 (g – v)

En additionnant tout cela, les termes à gauche s'annulent.

0 = 2/3 (g – w) + 2/3 (g – u) + 2/3 (g – v)

Simplification.

0 = 3g – u – v – w

g = 1/3 (u + v + w)  

Formule fondamentale

 

En reprenant la notation vectorielle.

 

En projetant les vecteurs sur les axes, les coordonnées cartésiennes du centre de gravité du triangle quelconque sont égales à la moyenne arithmétique des coordonnées des sommets.

 

 

 

Cas du tétraèdre

 

Tétraèdre régulier ou non

 

 

 

 

Exemple:

A (2,     4,     0)

B (6,     8,     0)

C (8,   -2,     0)

D (4,    2,   10)

G (5,    3,   2,5)

 

Tétraèdre régulier

Distance du centre de gravité à la base:

 

Le centre géométrique ou centre de gravité se situe à l'intersection des droites joignant un sommet au centre géométrique de la face opposée. Ces droites sont les médianes du tétraèdre.

Pour tout tétraèdre, les médianes sont partagées en 1/4, 3/4 par le centre géométrique.

Pour le tétraèdre régulier, AG s'appuie sur la hauteur du tétraèdre et découpe cette hauteur au 3/4.

 

 

Anglais

Centroid of a Triangle: The centroid of a triangle is kind of the center of the triangle. If you try to balance the triangle on the tip of your finger, the centroid is where you'll put your finger to keep it level.  The bisectors of each of the angles of the triangle intersect in the centroid.

The four medians of a tetrahedron concur in a point that divides each of them in the ratio 1:3, the longer segment being on the side of the vertex of the tetrahedron

 

 

 

 

Suite

*  Trapèze

*  Centre de gravité – Intégration (demi-cercle)

*  Centre de gravité et barycentreGlossaire

*  Trisection du segment avec les médianes

Voir

*  ArchimèdeBiographie

*  Euréka

*  Forces

*  Histoire

*  Multiplication

*  SciencesIndex

*  Treuil

Aussi

*  Gravité dans DicoMot

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