NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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PHYSIQUE

 

Débutants

Base de la physique

Centre de Gravité

 

Glossaire

Barycentre

 

 

INDEX

 

Barycentre

 

Géométrie

 

Sciences 

Débutant

Calcul

Forme simple

Multiforme

Table

Forme complexe

Intégration

Triangle

Trapèze

Demi-cercle

 

Sommaire de cette page

>>> Centre de gravité et centre de masse

>>> Centre de gravité du  triangle quelconque

>>> Propriétés métriques

>>> Coordonnées cartésiennes de G

>>> Centre de gravité  = point de concours des médianes

>>> Somme de vecteurs issus de G

>>> Centre de gravité – Relation vectorielle

>>> Cas du tétraèdre

>>> Anglais

 

 

 

 

Centre gravité du TRIANGLE

Centre géométrique, isobarycentre

Centre de masse, centre d'inertie

Centroid (anglais)

Point médian  

 

Tous ces vocables pour un seul point dans un triangle quelconque !

Nous allons positionner le centre de gravité, énoncer quelques relations géométriques et, calculer les coordonnées du centre de gravité. Nous démonterons par la méthode des vecteurs que le ces coordonnée sont la moyenne arithmétique des coordonnées des sommets.

Voir BarycentreGlossaire

 

 Centre de gravité et centre de masse

Géométrie

Physique

Centre géométrique ou centroïde: moyenne arithmétique de tous les points d'une figure. Ne pas confondre avec le centre de la figure.

Identique au centre de masse si la figure est "homogène".

 

Centroid

Geometric center

 

Centre de masse ou centre d'inertie.

 

Identique au centre de gravité si le champ de gravitation est uniforme.

 

Center of mass

Physique

Mathématique

Centre de gravité: point d'application de la résultante des forces de gravité ou de pesanteur.

Fonction du champ de gravitation.

C'est le point d'application du poids.

 

Center of gravity

Barycentre: centre de gravité d'un objet pour lequel chaque point peut être affecté d'un coefficient de pondération.

Généralisation de la notion de centre de gravité.

 

Barycenter

Bilan

Si tout est simple (matériaux homogène, champ de gravitation uniforme), tous ces points sont confondus, et on parle le plus souvent de centre de gravité.

Analogie: il est le point où une découpe de la forme pourrait être parfaitement équilibrée sur la pointe d'une épingle.

En géométrie pure, les Anglais ont inventé le mot "centroid", alors que les Français utilisent le mot "centre de gravité".

 

Le mot "centre géométrique" est peu usité.

Le mot "centroïde" commence à apparaître.

 

 

Centres de gravité (de masse) du triangle (physique)

Surface

Plaque homogène

G

Sommets

Boules identiques

G

Périmètre

Tiges homogènes

Point de Spieker

Voir Coordonnées barycentriques

 

 

 

 

Centre de gravité du  triangle quelconque

 

Le centre de gravité (G) du triangle quelconque se trouve à l'intersection des trois médianes (AMA , BMB , CMC).

 

Le centre de gravité est situé au 2/3 de la médiane en partant du sommet.

CG = 2/3 CMC

 

En prenant la hauteur issue du même sommet, celle-ci est partagée également en tiers (théorème de Thalès)

 

Le centre de gravité du triangle est situé

au (1/3, 2/3) de la médiane.

 

Recherche du centre de gravité

Le triangle homogène est découpé en fines bandes par des droites parallèles à un des côtés. Le centre géométrique (centroïde) de chaque bande-trapèze (point de concours des diagonales) est le centre de gravité de la bande.

Procédé reconduit pour des bandes de plus en plus fines, alors la succession des centres de gravité se situent sur une droite qui est la médiane du triangle.

La même méthode reconduite avec les deux autres côtés engendre les deux autres médianes. Le centré de gravité est leur point de concours.

 

Les centres géométriques des bandes, aussi fines que possible, dessinent la ligne médiane du triangle.

 

Centre de gravité (autre vision)

Chaque médiane partage un triangle en deux triangles de même aire (car même hauteur et bases de même longueur).

Chacun de ces triangles peut également être partagé en deux par les médianes et produire quatre triangles de même aire.

De sorte que le centre de gravité du grand triangle est la résultante des deux centres de gravité des triangles latéraux, chacun à égale distance du centre principal (trait vert).

 

Dit-autrement: si le centre principal est le point d'appui d'une balance, et les plateaux sont les centres de gravités latéraux. Alors la masse de chacun des triangles latéraux, placés sur les plateaux, mettront la balance en position d'équilibre.

 

Ce procédé peut être renouvelé à loisir en poursuivant le partage en deux de chaque triangle.

 

Le centre de gravité du triangle est le barycentre

des centres de gravité des triangles latéraux.

Suite en Médianes et triangles

Voir Partage du triangle par une droite et centre de gravité

Merci à  JM Allard pour ses remarques

 

 

 

Coquin! Je vous surprends à chercher le point G!

Voir Pensées & humour

 

 

Propriétés métriques

Relation cousine de celle du théorème de Pythagore;

Mais celle-ci qui découle du théorème d'Apollonius.

 

 

3 (m² + n² + p²)  = a² + b² + c²

 

Théorème d'Apollonius.

a² + b² – ½ c² = 2 (p + p')²

b² + c² – ½ a² = 2 (m + m')²

c² + a² – ½  b² = 2 (n + n')²

Propriété du point de concours des médianes.

m + m' = m + ½ m = 3/2 m

n + n' = 3/2 n

p + p' = 3/2 p

En remplaçant:

a² + b² – ½ c² = 2 (3/2 p)² = 9/2 p²

b² + c² – ½ a² = 2 (3/2 m)² = 9/2 m²

c² + a² – ½  b² = 2 (3/2 n)² = 9/2 n²

On additionnant tout cela.

2a² – ½ a² + 2 b² – ½ b² + 2c² – 1/2c²

= 9/2 (m²  n² + p²)

Un peu de calcul.

3/2 (a² + b² + c²) = 9/2 (m²  n² + p²)

En simplifiant par 3/2.

a² + b² + c² = 3 (m²  n² + p²)   

Autre relation pour un point M quelconque:

AM² + BM² + CM²  = AG² + BG² + CG² + 3MG²

 

 

 

Coordonnées cartésiennes de G

Formule fondamentale

 

Les coordonnées cartésiennes du centre de gravité du triangle quelconque sont égales à la moyenne arithmétique des coordonnées des sommets.

 

 

 

 

A (0, 0);   B (18, 0);  C (11, 12);   G(29/3 = 9,66…, 12/3 = 4 )

 

 

Exemple


Voir Démonstration vectorielle de ces relations

 

 

Centre de gravité et médianes

 

Démonstration

 

Montrer que G est aussi le point de concours des médianes G'.

 

Ce que nous savons:

 

*    Les coordonnées du centre de gravité (G):

*    Les médianes se coupent en G'

 

Nous allons démontrer que AM et AG sont colinéaires.

Démonstration qui peut se répéter pour les deux autres médianes. Alors G et G' sont confondus.

 

 

AM (médiane)

et AG (centre de gravité)

 colinéaires?

L'équation de la droite AM avec K son coefficient directeur.

Valeur de K.

Coefficient directeur de AG.

Égalité des coefficients directeurs K et H.

 

Les deux droites AG et AM sont colinéaires et, étant toutes deux issues de A, elles sont confondues.

Idem pour BG et BN.

Ces droites se coupent au même point G.

G et G' représentent le même point.

 

 

 

Somme des vecteurs

 

Il s'agit de démontrer que la somme des vecteurs issus du centre de gravité et joignant les sommets est nulle (ici, avec l'exemple du triangle).

 

 

Propriétés vraies pour tous les polygones plans.

Coordonnées des vecteurs

 

GA = (xA – xG , yA – yG)

GB = (xB – xG , yB – yG)

GC = (xC – xG , yC – yG)

 

Somme (S) de ces trois vecteurs

 

xS = xA – xG + xB – xG + xC – xG

      = xA + xB + xC – 3xG 

yS = yA – yG + yB – yG + yC – yG

      = yA + yB + yC – 3yG

 

Or, on connait les coordonnées du centre de gravité.

En remplaçant dans la somme des vecteurs:

 

xS = 0

yS = 0

 

La somme des vecteurs issus de G

est égale au:

 

 vecteur nul.

Illustration géométrique pour le polygone

 

Propriété

 

Le centre de gravité d'un polygone (plan) est tel que la somme des vecteurs issus de ce point vers chacun des sommets est nulle.

Exemple

*      Le point G est le centre de gravité du polygone ABCDE.

*      La somme des vecteurs (bleus) issus de G est nulle.

*      Vérifions-le par construction géométrique de la somme (vert):

 

 

 

 

Centre de gravité – Relation vectorielle

 

Démonstration

 

Démontrer la relation vectorielle associée au centre de gravité.

 

 

On sait que le centre du triangle est aussi le point de concours des médianes, situé au 2/3 des sommets.

 

La démonstration fait intervenir la méthode des vecteurs. Nous allons caractériser les points du triangle par des vecteurs, tous issus de la même origine quelconque.

 

(On aurait pu choisir G comme point origine. Choix d'une origine quelconque pour le plaisir d'un calcul vectoriel général).

 

 

Exemple de relation

 

 

Pour alléger l'écriture, nous allons omettre la flèche pour les vecteurs.

Avec les trios (u, v, w) et (a, b et c).

a = v – u

b = w – v

c = u – w

Avec le trio (x, y et z) caractérisant les milieux des côtés.

x = u + ½ a = u + ½ (v – u)  = ½ (u + v)

y = ½ (u + w)

z = ½ (v + w)

Les vecteurs sur les médianes.

ma = x – w = ½ (u + v) – w

mb = z – u = ½ (v + w) – u

mc = y – v = ½ (u + w) – v

En prenant le vecteur g, on caractérise également des portions de médianes.

m'a = g – w

m'b = g – u

m'c = g – v

Or les portions de médianes (ma) et et les médianes (ma') sont colinéaires

Les vecteurs sont proportionnels dans le rapport 2/3.

ma = ½ (u + v) – w = 2/3 (g – w)

mb = ½ (v + w) – u  = 2/3 (g – u)

mc = ½ (u + w) – v = 2/3 (g – v)

En additionnant tout cela, les termes à gauche s'annulent.

0 = 2/3 (g – w) + 2/3 (g – u) + 2/3 (g – v)

Simplification.

0 = 3g – u – v – w

g = 1/3 (u + v + w)  

Formule fondamentale

 

En reprenant la notation vectorielle.

 

En projetant les vecteurs sur les axes, les coordonnées cartésiennes du centre de gravité du triangle quelconque sont égales à la moyenne arithmétique des coordonnées des sommets.

 

 

 

Cas du tétraèdre

 

Tétraèdre régulier ou non

 

 

 

 

Exemple:

A (2,     4,     0)

B (6,     8,     0)

C (8,   -2,     0)

D (4,    2,   10)

G (5,    3,   2,5)

 

Tétraèdre régulier

Distance du centre de gravité à la base:

 

Le centre géométrique ou centre de gravité se situe à l'intersection des droites joignant un sommet au centre géométrique de la face opposée. Ces droites sont les médianes du tétraèdre.

Pour tout tétraèdre, les médianes sont partagées en 1/4, 3/4 par le centre géométrique.

Pour le tétraèdre régulier, AG s'appuie sur la hauteur du tétraèdre et découpe cette hauteur au 3/4.

 

 

Anglais

Centroid of a Triangle: The centroid of a triangle is kind of the center of the triangle. If you try to balance the triangle on the tip of your finger, the centroid is where you'll put your finger to keep it level. 

A median of a triangle is a segment joining any vertex to the midpoint of the opposite side. The medians of a triangle are concurrent. The intersection of the medians is called the centroid.

The four medians of a tetrahedron concur in a point that divides each of them in the ratio 1:3, the longer segment being on the side of the vertex of the tetrahedron

 

 

 

 

Suite

*  Illustration en 3D du centre de masse

*  Trapèze

*  Centre de gravité – Intégration (demi-cercle)

*  Centre de gravité et barycentreGlossaire

*  Trisection du segment avec les médianes

*  Partage du triangle isocèle en deux parts égales

Voir

*  ArchimèdeBiographie

*  Euréka

*  Forces

*  Histoire

*  Multiplication

*  SciencesIndex

*  Treuil

Aussi

*  Gravité dans DicoMot

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