NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Motifs complets

>>> Motifs pseudo-complets

>>> Résolution avec k = 4

>>> Résolution avec k = ?

 

 

 

 

Nombres retournés

en proportions

 

Nombres tels que ABC … = …CBA x k

Le nombre est divisible par son propre retourné (ou inversé).

 

Allez directement au problème classique >>>

 

 

Devinette

 

*      Avec ces 4 chiffres on forme une somme de 79.

Avec les mêmes chiffres, faire une somme égale à 100.

Solution

 

 

 

 

Approche

 

*      Il s'agit de trouver des nombres tels que

 

8712 = 2178 x 4

Ce motif est complet car le nombre est divisible par son retourné. Ce type de motif est rare. En fait, il en existe deux familles dont les parents sont 8 712 et 9 801.

 

540 = 45 x 12

Ce motif pseudo-complet car c'est dix fois le nombre qui est divisible par son retourné. Ce type de motif est assez répandu.

 

*      Ce type de motif se retrouve dans certaines énigmes du type:

 

ABCDE

x        4

EDCBA

 

Voir Résolution / Cryptarithme

 

 

 

Seuls motifs complets

2 chiffres

*      Aucun

3 chiffres

*      Aucun

4 chiffres

 

*      Deux cas

 

8712 = 2178 x 4

9801 = 1089 x 9

 

5 chiffres

 

*      Deux cas. Les mêmes avec un 9 intercalé.

 

87912 = 21978 x 4

98901 = 10989 x 9

 

 b

6 chiffres

 

*      Deux cas. Un nouveau 9 intercalé.

 

879912 = 219978 x 4

989901 = 109989 x 9

 

7 chiffres

 

*      Deux cas. Un nouveau 9 intercalé.

 

8799912 = 2199978 x 4

9899901 = 1099989 x 9

 

8 chiffres

 

 

*      Quatre cas. Les deux cas nouveaux cas sont identiques à ceux à quatre chiffres, mais avec ces chiffres doublés.

 

87999912 = 21999978 x 4

98999901 = 10999989 x 9

 

87128712 = 21782178 x 4

98019801 = 10891089 x 9

 

9 chiffres

 

 

*      Quatre cas.

 

879999912 = 219999978 x 4

989999901 = 109999989 x 9

 

871208712 = 217802178 x 4

980109801 = 108901089 x 9

 

 

 

 

Motifs pseudo-complets (avec facteur 10)

 

 

2 chiffres

*      9 cas triviaux car la proportion est 10
On donne successivement N, son retourné R et le facteur multiplicatif k = N/R.

10, 1, 10

20, 2, 10

30, 3, 10

40, 4, 10

50, 5, 10

60, 6, 10

70, 7, 10

80, 8, 10

90, 9, 10

 

 

3 chiffres

*      Trois cas, hors triviaux (désormais omis de la liste)

 

510, 15, 34

540, 45, 12

810, 18, 45

 

 

 

4 chiffres

*      Onze cas, dont certains pseudo avec facteur 100, comme 2100 et son retourné 0012 devenant 12.

 

2100, 12, 175

4200, 24, 175

5200, 25, 208

5610, 165, 34

5700,  75, 76 En bleu, les motifs remarquables.

5940, 495, 12

6300, 36, 175

8400, 48, 175

8910, 198, 45

8712, 2178, 4  En jaune, les motifs complets.

9801, 1089, 9

 

*      Le cas de 5 700 est remarquable car le R = 75 et k = 76, deux nombres consécutifs.

 

 

 

5 chiffres

 

23100, 132, 175

27000,  72, 375

46200, 264, 175

51510, 1515, 34 Motif à 2 chiffres seulement

52200, 225, 232

52800,  825, 64

54540, 4545, 12

56610, 1665, 34

57200, 275, 208

59940, 4995, 12

65340, 4356, 15

69300, 396, 175

81810, 1818, 45

87912, 21978, 4

89910, 1998, 45

98901, 10989, 9

 

 

 

6 chiffres

*      Limité à k < 100

 

217800,  8712, 25 Nouveau motif

510510, 15015, 34 Idem ci-dessus, avec 0 intercalé

540540, 45045, 12 Idem ci-dessus, avec 0 intercalé

566610, 16665, 34 Idem ci-dessus, avec 0 intercalé

575700,  7575, 76 Nouveau motif

599940, 49995, 12 Idem ci-dessus, avec 9 intercalé

659340, 43956, 15 Idem ci-dessus, avec 9 intercalé

810810, 18018, 45 Idem ci-dessus, avec 0 intercalé

879912, 219978, 4 Idem ci-dessus, avec 9 intercalé

899910, 19998, 45 Idem ci-dessus, avec 9 intercalé

989901, 109989, 9 Idem ci-dessus, avec 9 intercalé

 

 

 

7 chiffres

2197800,  87912, 25

5100510, 150015, 34 Motifs en couple

5151510, 151515, 34 Ici avec 51 et 15

5400540, 450045, 12

5454540, 454545, 12

5604390,  934065, 6

5615610, 165165, 34

5641020, 201465, 28

5666610, 166665, 34

5705700,  75075, 76

5945940, 495495, 12

5999940, 499995, 12

6599340, 439956, 15

8100810, 180018, 45

8181810, 181818, 45

8799912, 2199978, 4

8918910, 198198, 45

8999910, 199998, 45

9899901, 1099989, 9

 

 

 

 

8 chiffres

 

21997800, 879912, 25

51000510, 1500015, 34

51561510, 1516515, 34

52852800, 825825, 64

54000540, 4500045, 12

54594540, 4549545, 12

56094390, 9349065, 6

56105610, 1650165, 34

56461020, 2016465, 28

56666610, 1666665, 34

56923020, 2032965, 28

57005700, 750075, 76

57575700, 757575, 76

59405940, 4950495, 12

59999940, 4999995, 12

65999340, 4399956, 15

81000810, 1800018, 45

81891810, 1819818, 45

87128712, 21782178, 4

87999912, 21999978, 4

89108910, 1980198, 45

89999910, 1999998, 45

98019801, 10891089, 9

98999901, 10999989, 9

 

 

 

9 chiffres

219997800,  8799912, 25

510000510, 15000015, 34

510510510, 15015015, 34

515151510, 15151515, 34

515661510, 15166515, 34

528052800,  8250825, 64

528600600,  6006825, 88

540000540, 45000045, 12

540540540, 45045045, 12

545454540, 45454545, 12

545994540, 45499545, 12

560994390,  93499065, 6

561005610, 16500165, 34

561515610, 16515165, 34

564661020, 20166465, 28

566156610, 16651665, 34

566666610, 16666665, 34

569743020, 20347965, 28

570005700,  7500075, 76

594005940, 49500495, 12

594545940, 49545495, 12

599459940, 49954995, 12

599999940, 49999995, 12

653465340, 43564356, 15

659999340, 43999956, 15

810000810, 18000018, 45

810810810, 18018018, 45

818181810, 18181818, 45

818991810, 18199818, 45

871208712, 217802178, 4

879999912, 219999978, 4

891008910, 19800198, 45

891818910, 19818198, 45

899189910, 19981998, 45

899999910, 19999998, 45

980109801, 108901089, 9

989999901, 109999989, 9

 

 

 

Résolution du cas classique avec k = 4

 

Énigme

*      Remplacer les lettres par des chiffres de 1 à 9 tous différents pour satisfaire la justesse de la multiplication.

 

*      Cette énigme est posée sachant que
la seule solution est 21 978 x 4 = 87 912. Le but est de trouver cette solution par le raisonnement.

 

Solution

*      Tous les produits des chiffres par 4

1

2

3

4

5

6

7

8

9

4

8

12

16

20

24

28

32

36

 

 

 

 

 

*      Tous les produits sont pairs; 4xE donne un produit pair. A est pair.

*      Or 4xA = E (plus retenue éventuelle). E est un nombre sans dizaines. De notre table, nous tirons que 4xA = 4 ou 8 (plus retenue éventuelle). Et A vaut 1 ou 2. Or A est pair, A vaut 2.

*      Du côté gauche: 4A = 8, ou 9 si retenue.

Du côté droit: 4x8 = 32 ou 4x9 = 36. Seul 32 qui se termine par A = 2 est bon.  

 

*      Ce que nous savons

 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

4

8

12

16

20

24

28

32

36

 

A est pair

 

A = 1 ou 2

 

A = 2

E = 8

 

 

 

*      Du côté gauche: 4xB ne doit pas produire de retenue pour conserver le 8 final. B = 1.

*      La somme 3 + v => unité 1, implique que v = 8 et que le produit 4xD se termine par v = 8; soit, 7 x 4 = 28. ce qui donne la valeur de D = 7.

 

 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

4

8

12

16

20

24

28

32

36

 

 

 

*      La valeur pour w + 4 => unité 7, implique que w = 3

*      Alors 4xC = 36 seule valeur disponible dans les trentaines. Donc, C = 9.

 

*      Solution finale.

*      La résolution n'est pas très compliquée.
Elle aurait été un plus dure en laissant découvrir le facteur 4. On sait qu'alors, il y aurait eu deux solutions.

*      Notez que la recherche des solutions est grandement facilitée en posant les produits intermédiaires (cases bleues).

 

 

Résolution du cas k = ?

 

*      Nous nous contenterons de 4 chiffres; le principe est le même pour plus de chiffres.

 

*      k = 1 n'est évidemment pas possible

 

*      k = 2 est vite éliminé. Le principe s'appuie sur le fait que D est un nombre à un seul chiffre; ce qui limite les possibilités pour A. Alors:

 

*      on dispose les valeurs possibles de A

*      en dessous, les valeurs de D = kA

*      puis, encore en dessous, les valeurs de kD, dont l'unité est égale à A.

*      On cherche les cas d'égalité entre le A de départ et le A d'arrivée.

 

*      k = 3, avec le même principe, ce cas est éliminé.

 

 

 

D est un nombre à un seul chiffre. A ne dépasse pas 4. On compare les valeurs de A à gauche et A à droite. Aucune égalité. k = 2 est à rejeter.

 

 

 

Aucune égalité entre A haut et A bas; k = 3 ne marche pas.

 

 

*      k = 4, c'est faisable
La solution complète est données ci-dessus.

 

Bingo! A = 2 et D = 8 sont propices à une solution. On trouve: 2178 x 4 = 8712

 

*      k = 5, pour conserver D à un seul chiffre A vaut 1 et D vaut 5. Alors kD = 5x5 = 25, soit A = 5.

*      Le tableau ci-contre donne les valeurs de A initiales  et finales pour k de 5 à 9. Seul le cas A= 1 et D = 9 est propice à une solution.

 

Avec k = 9,  A = 1 et D = 9. on trouve la solution 1089 x 9 = 9801. Résolution dans l'ordre: noir, rouge et vert.

 

 

Famille qui grandit

 

*      Existe-t-il un nombre A qui, placé au milieu du nombre N = 2178 et de son retourné R = 7812, conserve la même propriété de proportion:

87A12 = 21A78 x 4

*      Mettons cela en équations:

*      en développant 21 A78 en bleu

*      et 87 A12 en rouge

*      puis en comparant les deux expressions qui doivent être égales;

 

 

84 000 + 400xA + 312 = 87 000 + 100xA + 12

300 A = 3 000 – 300

A =  10 – 1 = 9

*      Il existe bien une solution et elle est égale à 9.
Et nous avons que la famille se poursuit indéfiniment.

Ex: 2199999999999999978 x 4 = 8799999999999999912

 

 

 

 

ENGLISH CORNER

 

*      A five-digit number that, when it is quartered, gives an answer which is its digits in reverse order.

 

 

 

 

 

Solution de la devinette

 

 

Retour

 

 

 

 

 

Suite

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*       Nombres en 4 fois 4

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*       Puissances de 2 retournées

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