NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

Accueil                           DicoNombre            Rubriques           Nouveautés      Édition du: 27/03/2018

Orientation générale        DicoMot Math          Atlas                   Références                     M'écrire

Barre de recherche          DicoCulture              Index alphabétique       Brèves de Maths    

            

Nombres particuliers

 

Débutants

Général

111 111

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

Uniformes

 

Nombre 11

Nombre 101

111 111

 

Sommaire de cette page

>>> Divisibilité

>>> Permutation circulaire

>>> Fibonacci

>>> Tour de magie avec 111 111

>>> Tour de magie avec  10101

 

 

 

 

111 111

Nombre uniforme en 1 ou repunit  

 

Facteurs:

3 x 7 x 11 x 13 x 37

Diviseurs:

 

{1, 3, 7, 11, 13, 21, 33, 37, 39, 77, 91, 111, 143, 231, 259, 273, 407, 429, 481, 777, 1 001, 1 221, 1 443, 2 849, 3 003, 3 367, 5 291, 8 547, 10 101, 15 873, 37 037, 111 111}

Quantité de diviseurs:

Somme des diviseurs:

Somme des diviseurs propres:

 

         32

204 288

  93 177        Nombre déficient

 

  Un bon tour de magie en prime! >>>

 

 

 

Nombre 111 111 - Divisibilité

 

*      111 111  est un nombre repunit ou uniforme.
La somme de ses chiffres est divisible par 3, il est divisible par 3.
La somme des chiffres pairs et égale à la somme des chiffres impairs, il est divisible par 11.

 

111 111 = 

3

 

x 37 037

=

 

11

x 10 101

=

3

x 11

x   3 367

*      111 111 est divisible par 3 et 37, donc par 111. Il est égal à une différence de carrés

 

111 111 = 556² – 445²

               = (556 – 445) (556 + 445)

               = 111 x 1001

 

 

 

 

Permutations circulaires

 

*      Variations autour d'un nombre: 706 320 182 568.

*    nombre et ses permutations circulaires: 12 nombres.

*    nombre inversé et ses permutations circulaires: 12 nombres.

*    compléments à 999 999 999 999 de ces nombres: 24 nombres.

*      Ces 48 nombres sont tous divisibles par 111 111.

 

*      Voici la liste des ces nombres selon leur construction.

Le chiffre en rouge permet de suivre à l'œil les permutations circulaires.

 

 

 

*      Voici la liste des ces 48 nombres par valeurs croissantes

 

  

 

*      À notez pour 134 718 976

Somme deux à deux des chiffres des unités.

Seule l'unité de la somme est conservée; le chiffre des dizaines est éliminé.

Sorte de nombre de Fibonacci     mod 10

 

1    3    4     7      1    8     9       7       6      3     9     2

1 + 3 = 4

       3 + 4 + 7

             4 + 7 = 11

                    7 +   1 = 8

                             1 + 8 = 9

                                    8 + 9 = 17

                                           9 +   7 = 16

                                                    7 +   6 = 13

                                                              Etc.

 

 

*      En poursuivant le procédé, le nombre est périodique

 

134718976392 134718976392 134718976392

 

*      Qui conduit au nombre rationnel

 

134718976392/999999999999  = 0, 134718976392 …

 

*      En et simplifiant par 111 111

1212472/9000009 = 0, 134718976392

 

 

 

 

Tour de magie avec comme base le nombre 111 111

 

Le tour

Demander à quelqu'un de taper un nombre de 100 à 900 sur la calculette.

 

Multipliez par 3, puis par 7, par 37, par 11 et enfin par 13

 

Demandez à voir le nombre.

 

Vous retrouvez le nombre de départ qui semble pourtant bien caché!

 

Exemples des calculs successifs

 

Votre esprit divinatoire …

Vous allez immédiatement retrouver le nombre du départ masqué dans le produit.

 

Solution

Le premier chiffre est 1 celui du nombre;

Le dernier chiffre est 3, celui du nombre; et

Le chiffe du milieu est égal à l'avant-dernier (5) diminué des unités (3), soit: 5 – 3 = 2.

Réponse: 123.

 

 

L'astuce du tour

Les multiplications successives se ramènent à une seule.

3x7x37x11x13 = 111 111

 

123 x 111 111 = 13 666 653

Décomposition de la multiplication

 

En posant la multiplication, la réponse est évidente pour les deux chiffres extrêmes (rouge). Le chiffre du milieu se déduit lui aussi, assez rapidement par soustraction (5 – 3 = 2).

 

Cas des retenues

 

Avec le nombre 876,

le produit est: 97 333 236

 

Premier chiffre 9

Dernier chiffre 6

Chiffre du milieu: 3 – 6  ??

 

Prenons une retenue: 13 – 6 = 7

et reportons celle-ci sur le premier chiffre 9 – 1 = 8

Le nombre est: 876

 

 

Méthode SANS retenue

 

Le 1 des centaines est le huitième chiffre

 

Méthode AVEC retenue

 

Pratique (d = chiffre des dizaines)

100 => 11 111 100 => 1d0 et d = 0 – 0 = 0

205 => 22 777 755 => 2d5 et d = 5 – 5 = 0

900 => 99 999 900 => 9d0 et d = 0 – 0 = 0

901 => 100 111 011 => 10d1 avec 10 comme huitième et neuvième chiffres et d = 1 – 1 = 0.

 

Ça ne marche pas. D'où la limitation à 900 sans compliquer la règle. Par contre, avec prudence, on peut dépasser 1000.

 

1234 => 137 110 974 => 12d4 et d = 7 – 4 = 3 => 1234

 

Nombres inférieurs à 100

25 => 2 777 775 => 0d5 car pas de huitième chiffre et d = 7 – 5 = 2

89 => 9 888 879 => 0d9 et d = 17 – 9 = 8 avec retenue => 89

99 => 10 999 989 => 1d9 et d = 18 – 9 = 9 avec retenue => 099

 

Il y a retenue dès que la somme des deux chiffres dépasse 9.

 

Voir MagieIndex

 

Merci à Alexandre R pour ses remarques

 

Magie avec 10 101 = 3 x 7 x 13 x 37

Tour

Exemple

Explication

*       Nombre à deux chiffres

73

*       Multipliez par 3

219

3 N

*       Par 7

1 533

21 N

*       Par 13

19 929

273 N

*       Par 37

73 73 73

10 010 N

Faire apparitre trois fois le nombre du départ.

Voir Nombre 10 101

 

 

 

 

 

 

Suite

*  Nombre 111 111 dans Diconombre

*  Nombre 111 111 en tant que repunit

*  Ce nombre dans un tour de magie

*  Autres tours de magie avec nombres

Voir

*  Divisibilité

*  Nombres à motifs

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Nombre/N111111.htm