NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 29/11/2018 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Brèves de Maths
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111 111

Nombre uniforme en 1 ou repunit  

Facteurs:	3 x 7 x 11 x 13 x 37
Diviseurs:	{1, 3, 7, 11, 13, 21, 33, 37, 39, 77, 91, 111, 143, 231, 259, 273, 407, 429, 481, 777, 1 001, 1 221, 1 443, 2 849, 3 003, 3 367, 5 291, 8 547, 10 101, 15 873, 37 037, 111 111}
Quantité de diviseurs: Somme des diviseurs: Somme des diviseurs propres:		32 204 288 93 177 Nombre déficient

Un bon tour de magie en prime! >>>

Nombre 111 111 - Divisibilité

111 111 est un nombre repunit ou uniforme.
La somme de ses chiffres est divisible par 3, il est divisible par 3.
La somme des chiffres pairs et égale à la somme des chiffres impairs, il est divisible par 11.

111 111 =	3		x 37 037
=		11	x 10 101
=	3	x 11	x 3 367

111 111 est divisible par 3 et 37, donc par 111. Il est égal à une différence de carrés

111 111 = 556² – 445²

= (556 – 445) (556 + 445)

= 111 x 1001

Permutations circulaires
Variations autour d'un nombre: 706 320 182 568. nombre et ses permutations circulaires: 12 nombres. nombre inversé et ses permutations circulaires: 12 nombres. compléments à 999 999 999 999 de ces nombres: 24 nombres. Ces 48 nombres sont tous divisibles par 111 111. Voici la liste des ces nombres selon leur construction. Le chiffre en rouge permet de suivre à l'œil les permutations circulaires.

Voici la liste des ces 48 nombres par valeurs croissantes

À notez pour 134 718 976

Somme deux à deux des chiffres des unités.

Seule l'unité de la somme est conservée; le chiffre des dizaines est éliminé.

Sorte de nombre de Fibonacci mod 10

1 3 4 7 1 8 9 7 6 3 9 2

1 + 3 = 4

3 + 4 + 7

4 + 7 = 11

7 + 1 = 8

1 + 8 = 9

8 + 9 = 17

9 + 7 = 16

7 + 6 = 13

Etc.

En poursuivant le procédé, le nombre est périodique

134718976392 134718976392 134718976392 …

Qui conduit au nombre rationnel

134718976392/999999999999  = 0, 134718976392 …

En et simplifiant par 111 111

1212472/9000009 = 0, 134718976392 …

Tour de magie avec comme base le nombre 111 111
Le tour Demander à quelqu'un de taper un nombre de 100 à 999 sur la calculette. Multipliez par 3, puis par 7, par 37, par 11 et enfin par 13 Demandez à voir le nombre. Vous retrouvez le nombre de départ qui semble pourtant bien caché!		Exemples des calculs successifs
Votre esprit divinatoire … Vous allez immédiatement retrouver le nombre du départ masqué dans le produit.	Solution Le premier chiffre est 1 celui du résultat; Le dernier chiffre est 3, celui du résultat; et Le chiffe du milieu est égal à l'avant-dernier (5) diminué des unités (3), soit: 5 – 3 = 2. Réponse: 123. Voir la méthode générale, rapport aux retenues!
L'astuce du tour Les multiplications successives se ramènent à une seule.	3x7x37x11x13 = 111 111 123 x 111 111 = 13 666 653
Décomposition de la multiplication En posant la multiplication, la réponse est évidente pour les deux chiffres extrêmes (rouge). Le chiffre du milieu se déduit lui aussi, assez rapidement par soustraction (5 – 3 = 2).
Faisons la somme pour la colonne des milliers pour vérifier Pourquoi vérifier? On imagine très bien que la colonne des dizaines aurait pu induire une retenue et patatras le tour serait par terre!	1 + 2 + 3 = 6, ce qui est correct On note c + d + u = C (centaines, dizaines, unités du multiplicateur et Centaines du résultat)

Cas des retenues La retenue éventuelle est la dizaine de la somme b + c; c'est la valeur de la somme divisée par 10, privée de ce qui est derrière la virgule. c'est la fonction plancher (crochet vers le bas). 7 + 6 = 13 => 13/10 = 1,3 => 1	Calcul litteral de la colonne des milliers C = c + d + u + Retenue éventuelle
Exemple Avec le nombre 876, le produit est: 97 333 236 L'opération de calcul de "a" doit se faire modulo 10. En pratique, on ajoute la dizaine qui convient pour que la soustraction soit un nombre à un chiffre positif.	On calcule c et b comme précédemment c = 6 et b = 13 – 6 = 7 (avec une retenue !) Horreur! Puisqu'il y a des retenues, prenons le nombre rond positif immédiatement supérieur et retranchons: 20 – 12 = 8 = a, c'est notre chiffre des unités.
Bilan et généralisation En fait, mod 10 veut dire: ne conserver que le reste de la division par 10. Éventuellement ajouter des dizaines pour obtenir un chiffre positif. Ces formules s'appliquent aussi pour 111, 1111, 11111, etc.	Multiplication d'un nombre à trois chiffres par un repunit ayant au moins trois 1. Si Alors

Exemples

800 x 111 111 = 88 888 800 u = 0 d = 0 – 0= 0 c = 8 – 0 – 0 = 8	819 x 111 111 = 90 999 909 u = 9 d = 0 – 9 => 10 – 9 = 1 c = 9 – 1 – 9 - 1 => 19 – 1 – 9 – 1 = 8
987 x 111 111 = 109 666 557 u = 7 d = 15 – 7 = 8 c = 5 – 8 – 7 – 1 = 25 – 16 = 9	999 x 111 111 = 110 999 889 u = 9 d = 18 – 9 = 9 c = 8 – 9 – 9 – 1 => 28 – 19 = 9
Résoudre cette multiplication à trous	Solution de l'opération à trous Unité du multiplicateur = 9 Dizaines = 15 – 9 = 6 (dizaine ajoutée pour un résulat positif) Centaines = 19 – 6 – 9 – 1 = 3 Le multiplicateur est 369.

En pratique

Méthode valable pour tout repunit ayant au moins trois fois le chiffre "1".

Vérification par programmation
	Commentaires Pour tous les nombres de 100 à 999, le produit par 111 111 est mémorisé en n1, puis converti en base 10 de manière à disposer des chiffres isolés. Les trois chiffres du multiplicateur sont retrouvés en appliquant les formules indiquées plus haut. Le nombre est recomposé en nt. Il est comparé au nombre initial. On imprime leurs valeurs en cas d'inégalité. Pour tester le calcul, on a adjoint une sortie spéciale pour le nombre 999. Hormis, le résultat demandé pour 999, le programme ne détecte aucune anomalie dans le calcul a posteriori des chiffres du multiplicateur.

Voir Programmation – Index

Merci à Cybrenot pour avoir pointé l'imperfection initiale de la méthode

Magie avec 10 101 = 3 x 7 x 13 x 37
Tour	Exemple	Explication
Nombre à deux chiffres	73
Multipliez par 3	219	3 N
Par 7	1 533	21 N
Par 13	19 929	273 N
Par 37	73 73 73	10 010 N
Faire apparaitre trois fois le nombre du départ.

Voir Nombre 10 101

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Voir	Magie – Index Divisibilité Nombres à motifs
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