NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Loto en groupe

 

Sommaire de cette page

>>> Jeux équivalents

>>> Avec un dé et un ou plusieurs joueurs

>>> Je joue plusieurs combinaisons

>>> Tombola – Billet unique

>>> Tombola – Billet multiple

>>> Conclusion

 

 

 

 

 

LOTO en groupe

ou achats de plusieurs tickets

 

Quelle est la probabilité de gagner en groupe? Soit à plusieurs joueurs, soit en achetant plusieurs tickets pour le même tirage.

 

Avec k tickets ayant des numéros différents, on a k fois plus de chance de gagner le gros lot. C'est vrai, et ça vous semble sans doute évident, et pourtant, pas si sûr!

Anglais: buying multiple lottery tickets /

Customers are trying to improve their odds by buying multiple tickets

 

 

Jeux équivalents

Jeu de dés à six faces

Je mise sur un numéro entre 1 et 6 et je lance un dé à 6 faces.

Je gagne si le numéro du dé correspond à mon numéro.

La probabilité de gagner est P = 1/6.

Celle de perdre est PP = 5/6

Loterie avec grille de 100 cases

Chacun coche un numéro sur une grille.

La société des jeux tire une boule parmi 100 boules numérotées de 1 à 100 dans une urne.

Je gagne si la boule montre mon numéro.

 La probabilité de gagner est P = 1/100.
Celle de perdre est PP = 99/100.

Jeu de dés à 100 faces

Ce jeu est équivalent à celui décrit pour la loterie à 100 cases.

Chaque boule de l'urne correspond à une face du dé.

Loto à 49 boules

Je choisi 6 boules parmi 49.

Je gagne si ma combinaison sort parmi 13 983 816.

Imaginons un immense dé à 13 983 816 faces.

Je gagne si la combinaison tirée correspond à la mienne.

On pourrait penser également à une grande urne dans laquelle, au lieu des 49 boules, on aurait 13 983 816 boules chacune marquée d'une combinaison de 6 des 49 nombres.

Bilan

Pour comprendre ce qui se passe au Loto, je peux raisonner sur un dé à 6 faces et généraliser à 13 983 816 faces.

Attention, il s'agit d'un seul dé. Ne pas raisonner avec plusieurs dés, car les numéros seraient redondants.

 

 

Avec un dé et un ou plusieurs joueurs

Principe

Je mise sur un numéro entre 1 et 6 et je lance un dé à 6 faces.

La probabilité d'avoir choisi le numéro donné par le dé est P = 1/6 = 0,166.

Deux joueurs

Deux cas se présentent:

*      les deux joueurs ne se connaissent pas et chacun joue sa combinaison, ou

*      les deux joueurs sont de connivence et jouent des numéros différents. Ce  cas correspond aussi, au cas où un joueur joue seul deux combinaisons différentes.

 

 

Deux joueurs quelconques

Configurations typiques (selon le tableau):

Colonne 11: le premier joueur joue le 1 et le second le 1 également. Le tirage donne 6. Ni l'un ni l'autre ne gagne. Pour les deux c'est perdu (P). Comptez les cas de ce type (un tableur peut faire l'affaire), vous trouverez 25. Soit 25 cas sur 36.

Colonne 16: les deux joueurs jouent séparément le 1 et le 6. Il y a un gagnant lorsque le 6 sort. Il existe 10 cas de cette sorte (5 pour l'un et 5 pour l'autre). Probabilité: 10/36.

Colonne 66: les deux jouent le 6 et c'est le 6 qui sort. Il existe un seul cas de ce type où les deux gagnent. Notez que s'il s'agit du Loto, le gain est partagé.

 

Mise

11

16

66

Tirage

6

6

6

Bilan

P

G

G

Compte

25

5+5 = 10

1

Total

36

36

36

Probabilité

0,694

0,277

0,027

 

 

P = 11/36 = 0,305

 

Explications

La probabilité de gagner de deux joueurs indépendants est P = 11/36 avec une probabilité de 1/36 qu'ils aient à se partager le gain au cas où ils auraient gagné tous les deux.

 

Calcul

Probabilité de perdre pour chacun: 5/6

Probabilité de perdre pour les deux réunis: (5/6)²

Probabilité de gain pour les deux: P2  = 1 – (5/6)² = 11/36

Voir Principe multiplicatif

Généralisation

Il est clair que six joueurs, jouant chacun dans son coin, n'ont pas la certitude de gagner le gros lot! Pas plus que 10 ou 20 joueurs

 

P2   = 1 – (5/6)2 = 0,305

P6   = 1 – (5/6)6 = 0,665

P10 = 1 – (5/6)10 = 0,838

P20 = 1 – (5/6)20 = 0,974

 

 

 

Je joue plusieurs combinaisons

Principe

Dans ce cas qui nous intéresse particulièrement, les deux joueurs sont de connivence et évitent de jouer les mêmes numéros. Cas du jeu en groupe ou en syndicat comme disent les anglo-saxons

Même cas de figure: je peux décider de ne pas partager et de jouer les deux configurations pour mon propre compte. 

 

Deux joueurs de connivence

 

Configuration typique selon le tableau:

Premier constat à faire, et c'est la clé du calcul: on ne joue jamais les mêmes numéros. On élimine donc 6 combinaisons. Sur 36, il en reste 30.

Colonne 12: le premier joueur joue le 1 et le second le 2. Le tirage donne 6.. Pour les deux c'est perdu (P). Il existe 20 de ce type cas sur 30.

Colonne 16: les deux joueurs jouent le 1 et le 6. Il y a un gagnant. Il existe 10 cas de cette sorte. Probabilité: 10/30.

Colonne 55: les deux joueraient leur nombre fétiche, le 5; mais c'est interdit. Les numéros doivent être différents.

 

Mise

12

16

55

Tirage

6

6

6

Bilan

P

G

Interdit

Compte

20

5+5 = 10

6

Total

30

30

/

Probabilité

0,66

P = 0,33

/

 

Explications

Si deux personnes jouent de connivence sur deux numéros différents, on élimine les doublons du décompte des jeux possibles: 11, 22, 33, 44, 55 et 66 ne seront pas joués. Le total des cas possibles est donc: 36 – 6 = 30.

On retrouve les cas de gain unique avec joueurs quelconques (10) et la probabilité de gain à deux devient: P2 = 10/30 = 1/3 = 0,333 contre 0,305 dans le cas de deux joueurs quelconque.

La concertation augmente les chances de gain (un peu!)

Mais, observation plus importante:

 

La probabilité est rigoureusement égale à 2 fois la probabilité de gagner seul (2 x 1/6 = 1/3).

 

Calcul

Ayant choisi, un numéro sur 6, il en reste seulement 5 pour le second.

En effet, le second joueur ne joue pas le n° du premier, mais joue au hasard sur les 5 numéros qui restent.

On calcule la probabilité (PP) que les deux soient perdants: 5 cas sur 6 pour l'un et 4 cas sur 5 pour l'autre. Les deux événements s'enchainent. Le principe multiplicatif s'applique.

 

On retrouve bien deux fois plus de chances avec deux jeux qu'avec un seul.

Trois joueurs de connivence

 

 

PP est une fraction simple, car avec les simplifications, on obtient le numérateur 3 final (comme 3 joueurs) et le dénominateur 6 (total) initial.

Six joueurs de connivence

 

 

On retrouve une probabilité de 100% de gagner en misant sur chacun des numéros.

 

Transposition au LOTO

Un immense dé avec une face par combinaison ou alors, toutes les combinaisons dans une urne

 

Bilan

Au Loto pour le même tirage, si on achète k tickets avec des combinaisons différentes, la probabilité de gagner est multipliée exactement par k. Attention, les gains sont à partager si un autre joueur se trouve avoir joué les mêmes combinaisons que vous. 

 

Toutes les mises

Il est évident qu'en misant sur les 13 983 816 combinaisons à la fois, la combinaison gagnante figurera parmi celles misées. Faisant cela, vous auriez deux problèmes:

1) il faudra partager les gains avec tous ceux qui auront misés sur les mêmes numéros gagnants; et

2) plus grave, vous aurez payé beaucoup plus que la somme gagnée (le retour au Loto est estimé à 68%).

Voir Miser toute sa vie

 

Le numéro chance (powerball en anglais)

L'introduction d'une balle particulière dans le tirage du Loto ne change pas les conclusions. On peut multiplier par 10, la probabilité de gagner le gros lot en jouant tous les numéros chance.

 

 

 

Tombola – Billet unique

La tombola met 100 tickets en vente dont un seul est gagnant.

Cette fois il n'y a pas de tirage; le billet gagnant est inscrit à l'avance.

Achat d'un billet.

P = 1/100

Achat de 2 billets

Ce que l'on croit à tort.

P = 2/100 = 0,02

La véritable probabilité

La subtilité: il y a forcément un ticket perdant parmi les deux achtés.

On écarte cette possibilité, il en reste 99.

Donc 1 chance sur 99 de gagner.

P = 1/99 = 0,0101

 

 

Tombola – Billets multiples

Tombola

 

100 billets avec cinq billets gagnants.

On achète quatre billets parmi les 100 disponibles

Quelle est la probabilité d'avoir au moins un billet gagnant?

Calcul de probabilité pour cette tombola

Probabilité de prendre un billet perdant:

P1 = 95/100

95, car il y a 5 billets gagnants (le 5 de l'énoncé est ici).

Une fois cela fait, probabilité d'avoir un second billet perdant:

P2 = 94/99

94, car 95 moins le premier billet choisi.

En cumulant: probabilité que les deux premiers soient perdants:

P12 = 95/100 x 94/99 = 0,9020…

Principe multiplicatif

En poursuivant, probabilité de quatre perdants:

(le 4 de l'énoncé est ici).

Probabilité d'avoir un billet gagnant parmi ces quatre billets:

Calcul combinatoire  - Autre méthode de calcul

Quantité de combinaisons de quatre billets parmi 100:

Quantité avec aucun billet gagnant:

Quantité ayant au moins un gagnant:

Probabilité d'un billet gagnant, au moins:

Variante

Cinquante billets sont déjà vendus sur les 100.

On achète deux billets parmi les 50 restants.

Probabilité avec achat d'un billet:

Le gagnant est dans les vendus ou dans l'un des 50 restants, soit 51 possibilités:

P = 1 / 51  =                        0,019607

Probabilité avec achat de deux billets.

Elle n'est pas doublée!

Les deux gagnants sont dans les vendus ou dans l'un des 50 restants, soit 52 possibilités:

P = 2 / 52 = 0,038461 < 2 x 0,019230 = 0,039215

 

 

 

Conclusion selon la presse américaine

Là-bas la probabilité de gagner le gros lot est 1/ 292 millions

En multipliant vos chances par 10 ou même par 100 en achetant ces quantités de tickets, la probabilité de gagner au loto reste ridiculement faible, si incroyablement faible que c'est juste 10 ou 100 fois une perte d'argent. – d'après Wasserstein

Même avec 100 tickets, vous avez encore trois fois plus de chances de vous faire tuer par un éclair dans l'année et, environ 300 fois plus de probabilités de vous tuer dans un accident de voiture. Jouer au Loto vous donne cependant le droit de rêver un peu à "peu de frais" – d'après George Loewenstein

 

 

 

Merci à David L. pour cette idée de page

 

 

   

 

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Sites

Peu de choses sur Internet concernant le sujet multi-joueurs.

*             Exercice 22. Tombola à cinq billets gagnants – Université de Lyon – D'où j'ai tiré un des exemples

*           Lotteries mathematicsWikipedia (anglais)

*             Lotteries – Math is fun

*            If I buy 2 lottery tickets do I double my chance of winning? – Mathematics – Forum – Il y a à boire et à manger comme dans de nombreux forums

*            Statisticians question logic of buying multiple lottery tickets – The Baltimore Sun

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