NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Définition

>>> Propriétés

>>> Entier algébrique

 

 

 

 

 

NOMBRES ALGÉBRIQUES

 

 

= Nombres RÉELS – nombres TRANSCENDANTS

 

= Nombres RATIONNELS + nombres IRRATIONNELS ALGÉBRIQUES

 

= Tous les nombres, racines d'une ÉQUATION non nulle à coefficients rationnels.

 

 

 

Définition

 

Un nombre algébrique est solution d'une équation polynomiale non-nulle à coefficients rationnels.

Autrement-dit: il peut être défini par une expression plus ou moins compliquée.

Par exemple, racine de deux est solution de l'équation x² – 2 = 0. Ce nombre est algébrique. Il est aussi irrationnel. C'est un nombre algébrique irrationnel.

Voir Diagramme

L'expression générale est un polynôme de la forme:

Les nombres algébriques sont un sous-ensemble des nombres réels, excluant les nombres transcendants.

 

Algebraic Numbers: any number that is a solution to a polynomial equation with rational coefficients.

Include all Rational Numbers, and some Irrational Numbers.

 

 

 

 

Propriétés

 

*    Tous les nombres rationnels (a fortiori les entiers) sont algébriques.

*    Les nombres irrationnels sont soit algébriques ou transcendants.

*    Un nombre algébrique est définissable et calculable.

*    L'ensemble des nombres algébrique est dénombrable.

*    Le nombre imaginaire i est algébrique, car solution de x2 + 1 = 0.

 

*    Les nombres sont dénombrables, car ils sont définis par des équations, elles-mêmes dénombrables et ayant un nombre fini de solutions.

 

 

Entier algébrique

 

Entier algébrique: nombre réel ou complexe, solution (ou racine) d'une équation polynomiale de degré quelconque, dont tous les coefficients sont des nombres entiers, et dont le coefficient du terme de plus haut degré vaut 1.

 

 

 

Solution de: x² – 2 = 0

est un entier algébrique.

 

Solution de: 2x² – 3 = 0

n'est pas un entier algébrique.

 

Solution de: x² +1 = 0

est un entier algébrique.

 

 

 

 

 

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Site

*       Théorie des nombres algébriques – ChronoMath – Serge Mehl

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