NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Définition

>>> Propriétés

 

 

 

 

 

NOMBRES ALGÉBRIQUES

 

 

= Nombres RÉELS – nombres TRANSCENDANTS

 

= Nombres RATIONNELS + nombres IRRATIONNELS ALGÉBRIQUES

 

= Tous les nombres, racines d'une ÉQUATION non nulle à coefficients rationnels.

 

 

 

Définition

 

Un nombre algébrique est solution d'une équation polynomiale non-nulle à coefficients rationnels.

Autrement-dit: il peut être défini par une expression plus ou moins compliquée.

Par exemple, racine de deux est solution de l'équation x² – 2 = 0. Ce nombre est algébrique. Il est aussi irrationnel. C'est un nombre algébrique irrationnel.

Voir Diagramme

L'expression générale est un polynôme de la forme:

Les nombres algébriques sont un sous-ensemble des nombres réels, excluant les nombres transcendants.

 

Algebraic Numbers: any number that is a solution to a polynomial equation with rational coefficients.

Include all Rational Numbers, and some Irrational Numbers.

 

c

 

 

Propriétés

 

*    Tous les nombres rationnels (a fortiori les entiers) sont algébriques.

*    Les nombres irrationnels sont soit algébriques ou transcendants.

*    Un nombre algébrique est définissable et calculable.

*    L'ensemble des nombres algébrique est dénombrable.

*    Le nombre imaginaire i est algébrique, car solution de x2 + 1 = 0.

 

*    Les nombres sont dénombrables, car ils sont définis par des équations, elles-mêmes dénombrables et ayant un nombre fini de solutions.

 

 

 

 

 

 

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