NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Polygones

 

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Avec Racine de 5

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Pentacle

Segments

 

Avec bissectrices

Approchée originale

 

Méthode Euclide

Dissection

Sommaire de cette page

>>> Pentagones gigognes

>>> Triangles rectangles de base

>>> Mesures dans le pentagone

>>> Hauteur du pentagone

>>> Dissection du pentagone

>>> Pentagones et triangles équilatéraux

Voir Pentagones de Dürer

 

Accès aux autres polygones

Noms

-1-

-2-

-3-

-4-

-5-

-6-

-7-

-8-

-9-

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

 

 

23

 

 

 

 

 

 

 

 

 

PENTAGONE RÉGULIER

sous toutes les coutures

  

Toutes les mesures du pentagone régulier convexe. Notez la propriété fondamentale de ses diagonales: longueur égale au nombre d'or et découpe des diagonales en inverse du nombre d'or (Illustration ci-dessous).

 

Angles

Voir Approximation de la tangente de 72°

 

 

 

Diagonales et leur découpe en nombre d'or  /  Pentagones gigognes

Sachant que de base: diagonale / côté = nombre d'or (phi)

Voir Puissances du nombre d'or Phi (Phi² = Phi + 1) / Nombres de Fibonacci

 

Merci à Bruno Capelle pour l'idée de mettre en valeur les relations métriques dans cette figure gigogne

 

 

Triangle rectangle de base dans le pentagone

Les deux triangles colorés sur la figure sont importants car ils permettent le calcul des longueurs des divers segments inclus dans le pentagone régulier.

 

Ci-dessous, les principaux éléments de calcul.

 

Dans le pentagone, on trouve deux triangles rectangles 36 – 54.

 

Ils sont assemblés par un côté de l'angle droit pour former deux triangles isocèles (voir figure ci-dessous).

 

 

 

La dimension de référence est l'hypoténuse de l'un d'eux: R = 1, le rayon du cercle circonscrit du pentagone.

Ce triangle (celui du bas sur le dessin du pentagone complet) est répété dix fois pour couvrir complètement le pentagone.

 

 

On passe de l'un à l'autre en prenant le côté c/2 pour former l'hypoténuse c de l'autre triangle. Notez bien qu'ils sont de tailles différentes.

 

 

Voir Triangles rectangles typiques / Angles du pentagone

 

 

 

Mesures dans le pentagone

 

*      R = rayon du cercle circonscrit; ici, pris comme mesure unité.

*      a = r =  apothème ou rayon du cercle inscrit (distance du centre à l'un des côtés).

*      c = côté du pentagone.

*      d = l'une des diagonales (relie deux sommets non voisins).

*      H = hauteur du pentagone (distance du sommet au côté opposé).

*      h = distance d'un sommet à une diagonale.

*      p = périmètre; A = aire

 

Formules principales connaissant la longueur du côté (c)

 

Côté et rayon du cercle circonscrit

Diagonale

Rayon du cercle inscrit

Hauteur du pentagone

H = R + r

 

Hauteur des triangles au sommet

Hauteur des trapèzes

He = H –h

Périmètre

 

Aire

Pour relations avec nombre d'or, voir notes de calcul.

Voir Calcul de la hauteur H selon deux méthodes

 

Relations illustrées pour R = 1

 

Relations croisées pour c = 1 ou R = 1 ou r = 1

 

 

Formules développées en racine de 5 et avec le nombre d'or

 

*      Prenons un pentagone inscrit dans un cercle de rayon R = 1. R est aussi le rayon du cercle circonscrit du pentagone régulier.

 

*      Alors, l'apothème, qui est aussi le rayon du cercle inscrit dans le pentagone, mesure la moitié du nombre d'or.

a = 1,618/2 = 0,809…

 

*      D'une manière générale la longueur de l'apothème  (a) ou du rayon inscrit (r) vaut:

 

 

*      Et le côté du pentagone:

 

 

 

Merci à Jean-Louis Beuil pour ses précisions

 

             Notes de calcul pour mise en évidence du nombre d'or:


 

*      Aire du pentagone

A = 5/2 a.c

 

Exemples:

Si c = 16 alors a = 11, 011… et A = 440, 442…

Si c =   1 alors a =   0, 688… et A =     1, 720…

Si c = 10 alors a =   6, 882… et A = 172,047…

 

*      Aire du cercle circonscrit et du cercle inscrit

 

 

Cercle

inscrit

Pentagone

Cercle

circonscrit

Mesure

a = 0,809

c = 1,175

R = 1

Aire

3,14 x (0,809)²

2,5 x 0,809 x 1,175

3,14 x 1

Valeur

2,05

2,37

3,14

Ratio

0,86

1

1,32

 

 

Voir Angles et trigonométrie dans le pentagone / Aire du pentagone / Autres mesures dans l'étoile / Apothème

Liste de nombres irrationnels

 

 

Hauteur du pentagone

La hauteur est la perpendiculaire à un côté issue du sommet opposé.

Elle est égale à la somme des rayons des cercles inscrit et circonscrit. 

 

 

 

 

 

Méthode 1

Avec la diagonale et le théorème de Pythagore

Méthode 2

Avec les rayons : H = R + r

 

Ici, le calcul avec les radicaux est difficile; on passe aux carrés. "On enlève le chapeau le temps des calculs et on le remet à la fin".

 

 

 

 

Dissection du pentagone

 

Comment partager un pentagone régulier en quatre triangles isocèles et former un trapèze isocèle avec ces quatre pièces.

 

Solution

 

Formulation et application numérique

 

 

 

Pentagones et triangles équilatéraux

Figure formées avec un pentagone et les triangles équilatéraux intérieurs et extérieurs tracés sur les côtés.

 

 

 

 

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Diconombre

*    Nombre 12

*    Nombre 0,517

Site

*    Pentagone régulier convexe - Wikipédia

*    Regular polygon calculator

*    Pentagon – Wolfram MathWorld – Nombreuses autres formules .

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http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Polygone/Pentagon.htm