NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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   CARRÉ

 

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Dissection

 

 

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Carré

 

Géométrie 

Carré

Propriétés

Rigide

Ptolémée

Carré (suite)

Pavage

Allumette

Carré en 5 et 20

Aire du carré

Dissections

 Trisection (paraboles)

 

Sommaire de cette page

>>> Dissections élémentaires (2, 5 et 9)

>>> Trisection d'Abu’l-Waf'a

 

 

 

Carré – Dissections

 

Quelques exemples typiques de dissection du carré puis le fameux exemple de trisection du carré par un mathématicien arabe de la fin du premier millénaire, et tous les calculs associés.

 

 

Dissections élémentaires

Deux carré en un

 

Les conditions d'assemblage en un grand carré sont évidentes.

 

Aire du grand carré:

c² = (a)² = 2a²

Confirme l'utilisation des deux petits carrés.

Cinq carré en un

 

Les paramètres indiqués sur la figure permettent de confirmer les conditions d'assemblage en un grand carré.

 

Aire du grand carré:

c² = (a)² = 5a²

Confirme l'utilisation des cinq petits carrés.

Neuf carrés en un

 

Les paramètres d'assemblage sont les mêmes que ci-dessus.

 

Aire du grand carré:

c² = (3a = 9a²

Confirme l'utilisation des neuf petits carrés

 

 

 

Trisection d'Abu’l-Waf'a – Trois carrés en un

 

Il s'agit de construire un grand carré à partir de trois carrés égaux ou, réciproquement de découper un carré pour former trois carrés égaux en assemblant les moreaux découpés.

Ce problème a été résolu par le mathématicien arabe médiéval Abu'l-Wafa' ( 940-998). La solution figure dans son livre: Constructions géométriques utiles à l'artisan.

Sa solution comporte 9 pièces. Au cours des siècles d'autres solutions avec 8, 7 et même 6 pièces (Henri Perigal en 1891) ont été trouvées.  Une nouvelle solution à 6 pièces avec grande symétrie a été trouvée par Christian Blainvillain en 2010.

 

Trisection

1.   Trois carrés égaux: un bleu et deux jaunes, ces deniers sont partagés par une des diagonales et forment quatre triangles isocèles rectangles.

2.   Les quatre triangles sont positionnés à la périphérie du carré bleu comme indiqué sur la figure (1).

3.   Les sommets sont réunis pour former le carré à bordure bleue.

4.   Les petits triangles extérieurs (pointillés) sont rabattus (2) à l'intérieur (mauves).

5.   Le carré à bordure bleue est bien rempli par les trois carrés initiaux.

 

Figure

 

 

 

 

 

 

Assemblage correct (voir le détail de la figure =>)

 

Les petits triangles sont bien égaux et peuvent les uns combler les vides produits par les autres. En effet:

*    deux côtés égaux = côtés des petits carrés;

*    Angles au sommet (rouges) égaux; et

*    Angles verts égaux à 45°.

 

Étant démontré le bien fondé de l'assemblage, l'aire du grand carré est:

c² = 3a²

et la longueur de son côté:

 

 

 

Angles dans les petits triangles

 

Les principales grandeurs ont été calculées et indiquées sur la figure.

AB = a est le côté du petit carré, et AC = c est le côté du grand carré.

Notez que BD est la partie de la diagonale (a) qui dépasse le côté du carré (a).

                BD et DF ne sont pas égaux. Par contre, ABCD est bien un losange.

 

..

 

 

 

 

 

 

Calcul des angles internes à alpha

 

 

 

Notez bien que les angles 3 et 4 ne sont pas égaux.

 

Voir Angles

 

 

La solution de Christian Blainvillain (2010)

Voir Référence, notamment pour sa construction

 

 

 

 

Suite

*   Dissection du carré en chaise à porteur

*    Dissection du carré en décagone

*    Dissection du carré en triangles

*    Trisection de l'angle

Voir

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*    Tangram

Sites

*    Mathematics and Arts: Connections between Theory and Practice in the Medieval Islamic World – Alpay Özdura – 1999

*    Square Trisection – Dissection of a Square in Three Congruent Partitions – Christian Blanvillain, Janos Pach

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http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Carre/Cardiss.htm