NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Arithmétique et Théorie des nombres

 

>>> INDEX

Théorie

Carrés

Cubes

Carrés et Cubes

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Observation

>>> Propriétés

>>> Valeur 1

 

 

 

CONGRUENCE avec des CUBES

 

Quelles sont les propriétés des cubes via leurs modulos?

Quelles sont les conditions pour qu'ils soient  égaux à 1?

Voir Cubes et somme de cubes modulo 9

 

 

 

Approche – Quelques valeurs

 

*    Prenons le cas des premiers nombres au cube modulo 3.


 

*    Amusant: le modulo du cube est égal à celui du nombre. Est-ce toujours le cas?

 

Pourquoi est-ce vrai avec m = 3 ?

 

*    Le reste de la division par 3 est soit 0,1 ou 2. Autrement dit:

 

*     Or

*    Voyons les trois cas possibles:

 0 x 0 x 0 = 0 

 1 x 1 x 1 = 1 

 2 x 2 x 2  2  mod 3

*    Effectivement

 

En modulo 2

 

 0 x 0 = 0

 1 x 1 = 1

 

Notes

*    Observez que pour a = 0, le reste est nul et 03 = 0, soit 0 mod m quelle que soit la valeur de m.

*    Observez que pour a = 1, le reste vaut1 et 13 = 1, soit 1 mod m quelle que soit la valeur de m.

 

 

Voir Introduction sur ce thème

 

 

Observations et propriétés

 

*    Tableau des nombres de 1 à 10, de leur cube, et des modulos de 2 à 10


 

Voir Tables - Index

 

Propriétés

 

 

Première propriété: les valeurs prises

 

*    Voici le récapitulatif des valeurs prises par a3 mod m (en rouge) parmi toutes les valeurs possibles de a mod m.

 

*    Ces valeurs en rouge sont les résidus cubiques mod p. Les autres sont non-résidus cubiques. Anglais: cubic residue and cubic nonresidue.

 

Deuxième propriété: les égalités entre a mod m et a3 mod m

 

*    Toujours vraie pour a = 0 et les multiples de m quelle que soit la valeur de m. Également pour tout multiple plus 1. (Voir notes).

 

 

 

*    Toujours vraie, quelle que soit la valeur de a:

 

*    Souvent vraie selon la valeur de a:

    sauf a = 4k + 2

    sauf a = 5k + 2 ou a = 5k + 3

 sauf a = 5k + 2 ou a = 5k + 3

    sauf a = 8k + 2 ou a = 8k + 4 ou a = 8k + 6

 

*    Cas de m = 9: vraie pour les valeurs limitées à 0, 1 et 8 sur neuf possibilités.

    que si a = 9k – 1 ou a = 9k ou a = 9k + 1

 

*    Cas de m = 7: vraie pour les valeurs limitées à 0, 1 et 6 sur sept possibilités.

    que si a = 7k – 1 ou a = 7k ou a = 7k + 1

 

 

 

Cas de a3  1 mod m

 

*    Observons tous les cas où cette égalité apparaît (lignes marron clair)
On porte deux indications complémentaires: la valeur du plus grand commun diviseur (pgcd) de a et m; et, les cas pour lesquels a est un multiple de m plus 1.

 

 

Conclusions

 

*    a3  a mod m pour a = k.m + 1, quelle que soit la valeur de m. Et ce sont les seuls cas.
Dans ce cas pgcd (a, m) = 1.

 

Explications

 

*    Congruence d'un cube:
            si a
 b mod m    alors   a3  b3 mod m

 

*    Congruence égale à 1 selon notre hypothèse:

            si b3 = 1 alors b = 1

*    Valeur de c en remplaçant dans la première expression:
            a
 1 mod m ou exprimé autrement a = k.m + 1

*    Dans la mesure où a  est égal à un multiple de m plus 1, ces deux nombres sont premiers entre eux et leur pgcd vaut 1.

 

*    Attention:

            Il est vrai que a3  1 mod m alors a  1 mod m et a et m sont PEE.

            Par contre, ce n'est pas parce que a et c sont PPE que a3  1 mod m.

            Exemple: 8 et 5 sont bien PEE mais: 83 = 512  2 mod 5. (Dans le tableau, ce sont tous les cas de 1 en jaune, sans ligne marron clair en face)

 

 

 

 

Suite

*         Carrés et Cubes

*        Cubes et somme de cubes modulo 9

*         Congruences – Introduction

Voir

*         Unités des puissances

*         Division

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