NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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MODULAIRE

 

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Nombres

 

 

INDEX

 

Théorie des nombres

Introduction

Théorie

Propriétés

Formulaire

Applications

Calculs

Carrés

Cubes

Jeux

Sun Zi

Mod 9, 10, 11

Carrés et Cubes

Parité

7 ^ 7 ^ 7

Log modulaire

1110 = 32 mod 71

 

Sommaire de cette page

>>> Modulo 10

>>> Modulo 9

>>> Modulo 11

 

 

 

 

  

MODULO 10

Les unités

1  1 mod 10

2  2 mod 10

3  3 mod 10

a  a mod 10

 

1 – 1  est multiple de 10

2 – 2  est multiple de 10

3 – 3  est multiple de 10

a – a  est multiple de 10

Puissances de 10

    10  0 mod 10

  100  0 mod 10

1000  0 mod 10

   10x  0 mod 10

 

    10 – 0  est multiple de 10

  100 – 0  est multiple de 10

1000 – 0  est multiple de 10

   10x – 0  est multiple de 10

a. puissance de 10

a .     10  0 mod 10

a .   100  0 mod 10

a . 1000  0 mod 10

a .   10x   0 mod 10

 

    10.a – a  est multiple de 10

  100.a – a  est multiple de 10

1000.a – a  est multiple de 10

   10x a – a  est multiple de 10

On peut ajouter ces expressions

 

                                 b . 10 + a º            0 + a mod 10

                  100. c + b . 10 + a º       0 + 0 + a mod 10

1000 . d + 100. c + b . 10 + a º 0 + 0 + 0 + a mod 10

                                         etc.

Or

n = 1000 . d + 100. c + b . 10 + a

est l'expression développée d'un nombre n = dcba

Exemple

1234 = 1 . 1000 + 2 . 100 + 3 . 10 + 4

 

Conclusion

 

Tout nombre

n = … + 1000 . d + 100. c + b . 10 + a

divisé par 10 donne a pour reste

 

 Évident, bien sûr! Mais voir ce que cela donne avec 9

 

 

 

 

MODULO 9

 

Tout nombre

n = … + 1000 . d + 100. c + b . 10 + a

diminué de la somme de ses chiffres

r = ... d + c + b + a

est divisible par 9

 

Voir en Preuve par 9

 

 

 

MODULO 11

Puissances de 10

    10           10                  – 1 mod 11

  100 =   10 x 10  (–1)( –1)   1 mod 11

1000 = 100 x 10  (1)( –1)   –1 mod 11

 

On peut utiliser les nombres négatifs (10 – 11 = –1).

On peut multiplier les "modulo".

a. puissance de 10

a .     10  –a    mod 11

a .   100    a    mod 11

a . 1000  –a    mod 11

a .   10x  (–a)x mod 11

 

    10.a + a est multiple de 11

  100.a – a est multiple de 11

1000.a + a est multiple de 11

Alternance de –a et +a

On peut ajouter ces expressions

                               b . 10 + a             –b + a mod 11

                 100. c + b . 10 + a          c – b + a mod 11

1000 . d + 100. c + b . 10 + a  –d + c – b + a mod 11

                     etc.

 

Conclusion

 

Tout nombre

n = … + 1000 . d + 100. c + b . 10 + a

diminué de la somme alternée de ses chiffres

r' = …  – d + c – b + a

est divisible par 11

 

Voir Preuve par 11

 

 

 

 

Suite

*       Modulo – Applications

Voir

*       Clé de divisibilité,
une application de la théorie du modulo

*       La division

Aussi

*       Calcul mental

*       Clé de divisibilité

*       Divisibilité par 11

*       Géométrie

*       Nombres Cycliques

*       Nombres Rationnels

*       PreuveGlossaire

*       Preuve par 9

*       Preuve par 9 - Débutant

*       Théorie des nombres

Diconombre

*       Nombre 9

*       Nombre 10

*       Nombre 11

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