NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Nombres PREMIERS

 

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Nombres

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QUANTITÉ

 

Glossaire

Nombres

Premiers

 

 

INDEX

 

Nombres premiers

 

Quantité

Fonction Pi (n)

Théorème des NP

Historique de Pi (n)

Tables Pi (n)

Intervalle minimum

Quantité de jumeaux

Premiers de Ramanujan

 

Sommaire de cette page

>>> Théorème et ses formes équivalentes

>>>  Autres formulations

>>>  Explications et suite

 

NP: Nombres premiers

 

 

Théorème des

NOMBRES PREMIERS

 

La proportion de nombres premiers  tend vers 0 pour n très grand.

 

Autrement dit:

Le pourcentage de nombres premiers existants est nul.

Voir Pourcentage

 

 

Théorème fondamental

des nombres premiers

Formes équivalentes

 

Le k-ième nombre premier est voisin de : 

 

La quantité  de nombres premiers inférieurs à n est environ:

 

La densité de nombres premiers

autour de n est environ d  1 / ln (k).

 

L'écart  moyen entre deux premiers

consécutifs est environ e   ln (n).

 Notez bien la mention "environ". Valeurs d'autant plus proches que n est grand.

 

Exemple de calcul pour n = 100 et  k = 25

Anglais: Prime Number Theorem 

Voir Écarts entre nombres premiers  / Barre magique des nombres premiers

 

Merci à Jean-Michel Moinade pour ses remarques

 

Autres formulations

 

Théorème

 

 

 

Autre formulation

 

 

 

Encore plus proche

 

*      Legendre (1752-1833) donna cette première approximation.

 

*      Gauss (1777-1855) aurait découvert cette relation à l'âge de 15 ans en 1792.

 

*      En 1896, indépendamment, Hadamard et La Vallée-Poussin,  l'ont démontré.

 

 

*      En 1949, Erdös et Selberg découvrent une démonstration plus simple.

 

 

*      La formulation ci-contre est de Hardy et Wright (1979). La fonction avec crochets-bas est la fonction plancher.

 

 

*    On notera bien que: ces formules ne permettent pas, de trouver directement les nombres premiers.

 

 

Explications et suite

 

Théorème

 

La quantité de nombres premiers inférieurs à x tend asymptotiquement vers x/log x:

 

On a amélioré l'approximation en prenant:

Tableau en puissances de dix

 

n

Pi(n)

n/log n

n/(log n -1)

1000

10000

100000

1000000

10000000

100000000

168

1229

9592

78498

664579

5761455

145

1086

8686

72382

620420

5428681

169

1218

9512

78030

661459

5740304

 

 

*    La distribution des premiers semble aléatoire, mais la fonction Pi(n) est étrangement bien réglée 

 

Voir Historique

Théorème

 

La probabilité que n soit

un nombre premier est

environ 1 / ln n

 

*    Puisque n / ln n des n entiers positifs inférieurs à n sont premiers, la probabilité pour l'un d'eux soit premier est environ 1 / ln n.

 

 

Exemple

 

*      Pour trouver une nombre premier à 1000 chiffres, il faudra 1/(1/log n) soit 2302 test d'entiers pour en trouver un premier.

*      En éliminant les nombres divisibles par 2 et par trois, je réduis ce nombre par 1/2 x 2/3

Théorème

 

Le nième premier est approximativement

p(n)  n ln n

ou mieux,

p(n)  n(ln n + ln ln n – 1)

Le millionième premier est: 

 

n ln n

n(ln n + ln ln n – 1)

 

Réalité

13 800 000

15 400 000

 

15 485 863

 

Mieux

*    On a trouvé de meilleures estimations des limites d'un nombre premier de rang élevé:

 

p(n) minimum

p(n) maximum

n > 8 601

n (ln n + ln ln n – 1,0073)

n (ln n + ln ln n – 0,9385)

n > 15985

 

n (ln n + ln ln n – 0,9427)

n > 13

 

n (ln n + ln ln n – 1 + 1.8 ln ln n / ln n)

Robin et Massias

 

 


 

alerte.jpg  Attention – Notations 

*    Logarithme base e ou logarithme népérien ou logarithme naturel

ln(x) ou Log (x)

*    Logarithme base 10 ou
Logarithme décimal

log(x)

*    On passe de l'un à l'autre par la formule:

ln(x) = 2,3026…  x log(x)

 

 

 

 

Suite

*    Historique de Pi(n)

*    Fonction Pi (n)

*    Propriétés des nombres premiers

*    Hypothèse de Riemann

Voir

*    Nombres premiersIndex

*    FAQ sur les nombres premiers

Aussi

*    Liste de nombres premiers

 

*    Consécutifs

 

*    Facteurs premiers autour de 1000

*    Jumeaux

*    Nombres composés

*    Premiers en tableaux, en spirales …

*    Représentation des nombres

*    Séquences

Site

*    Fonction de compte des nombres premiers – Wikipédia

*    Prime counting function – Wolfram MathWorld

*    OEIS A000720 – pi(n), the number of primes <= n

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