NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

Accueil                           DicoNombre            Rubriques           Nouveautés      Édition du: 15/12/2015

Orientation générale        DicoMot Math          Atlas                   Références                     M'écrire

Barre de recherche          DicoCulture              Index alphabétique                               

     

Nombres PREMIERS

 

Débutants

Nombres

Premiers

QUANTITÉ

 

Glossaire

Nombres

Premiers

 

 

INDEX

 

Nombres premiers

 

Quantité

Fonction Pi (n)

Théorème des NP

Historique de Pi (n)

Tables Pi (n)

Intervalle minimum

Quantité de jumeaux

 

Sommaire de cette page

>>> Théorème et ses formes équivalentes

>>>  Autres formulations

>>>  Explications et suite

 

NP: Nombres premiers

 

 

 

 

 

Théorème des

NOMBRES PREMIERS

 

La proportion de nombres premiers  tend vers 0 pour n très grand.

 

Autrement dit:

Le pourcentage de nombres premiers existants est nul.

Voir Pourcentage

 

 

 

Théorème fondamental

des nombres premiers

Formes équivalentes

 

La densité de nombres premiers

autour de n est environ 1/ ln (n).

 

Le nième premier est environ n . ln (n).

 

La quantité de premiers inférieurs à n

est environ n / ln (n).

 

L'écart  moyen entre deux premiers

consécutifs est environ ln (n).

 Notez bien la mention "environ"

 

Anglais: Prime Number Theorem 

 

 

 

Autres formulations

 

Théorème

 

 

 

Autre formulation

 

 

 

Encore plus proche

 

*    Legendre (1752-1833) donna cette première approximation.

 

*    Gauss (1777-1855) aurait découvert cette relation à l'âge de 15 ans en 1792.

 

*    En 1896, indépendamment, Hadamard et La Vallée-Poussin,  l'ont démontré.

 

*    En 1949, Erdös et Selberg découvrent une démonstration plus simple.

 

*    La formulation ci-contre fait appel à la fonction dzêta de Riemann.

 

*    On notera bien que: ces formules ne permettent pas,

de trouver directement les nombres premiers.

 

 

Explications et suite

 

Théorème

 

La quantité de nombres premiers inférieurs à x tend asymptotiquement vers x/log x:

 

On a amélioré l'approximation en prenant:

Tableau en puissances de dix

 

n

Pi(n)

n/log n

n/(log n -1)

1000

10000

100000

1000000

10000000

100000000

168

1229

9592

78498

664579

5761455

145

1086

8686

72382

620420

5428681

169

1218

9512

78030

661459

5740304

 

 

*    La distribution des premiers semble aléatoire, mais la fonction Pi(n) est étrangement bien réglée 

 

Voir Historique

Théorème

 

La probabilité que n soit

un nombre premier est

environ 1 / ln n

 

*    Puisque n / ln n des n entiers positifs inférieurs à n sont premiers, la probabilité pour l'un d'eux soit premier est environ 1 / ln n.

 

 

Exemple

 

*      Pour trouver une nombre premier à 1000 chiffres, il faudra 1/(1/log n) soit 2302 test d'entiers pour en trouver un premier.

*      En éliminant les nombres divisibles par 2 et par trois, je réduis ce nombre par 1/2 x 2/3

Théorème

 

Le nième premier est approximativement

p(n)  n ln n

ou mieux,

p(n)  n(ln n + ln ln n - 1)

Le millionième premier est: 

 

n ln n

n(ln n + ln ln n - 1)

 

Réalité

13 800 000

15 400 000

 

15 485 863

 

Mieux

*    On a trouvé de meilleures estimations des limites d'un nombre premier de rang élevé:

 

p(n) minimum

p(n) maximum

n > 8 601

n (ln n + ln ln n – 1,0073)

n (ln n + ln ln n – 0,9385)

n > 15985

 

n (ln n + ln ln n – 0,9427)

n > 13

 

n (ln n + ln ln n – 1 + 1.8 ln ln n / ln n)

Robin et Massias

 

 


 

alerte.jpg  Attention - Notations 

*    Logarithme base e ou logarithme népérien ou logarithme naturel

ln(x) ou Log (x)

*    Logarithme base 10 ou
Logarithme décimal

log(x)

*    On passe de l'un à l'autre par la formule:

ln(x) = 2,3026…  x log(x)

 

 

 

 

Suite

*    Historique de Pi(n)

*    Fonction Pi (n)

*    Propriétés des nombres premiers

*    Hypothèse de Riemann

Voir

*    Nombres premiersIndex

*    FAQ sur les nombres premiers

Aussi

*    Liste de nombres premiers

 

*    Consécutifs

*    Facteurs premiers autour de 1000

*    Jumeaux

*    Nombres composés

*    Premiers en tableaux, en spirales …

*    Représentation des nombres

*    Séquences

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Premier\densite.htm

 

 

 

Renvois de liens

 

HISTORIQUE >>>

APPROCHE >>>